高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明

高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ；

（2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ∆的重心 （三角形三条中线的交点）．

【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1

111DD B D D =

∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，，

由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ∆的外心.又11A BC ∆是正三角形， ∴点H 为11A BC ∆的中心，也为11A BC ∆的重心．

1

A

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标1文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，

且四棱锥P-ABCD 的体积为

8

3

，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）326+． 【解析】分析：（1）由AB AP ⊥，AB PD ⊥，得AB ⊥平面PAD ；（2）设AB x =，则四棱锥

P ABCD

-的体积

311

33

P ABCD V AB AD PE x -=

⋅⋅=，解得2x =，可得所求侧面积．

解析：（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得

AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB

CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平

面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．

（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．

由（

1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，

可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知

可得AD =

，PE x =

．故四棱锥 P ABCD -的体积

311

33

P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得

318

33

x =，故2x

=．从而2PA PD ==， AD BC ==，PB PC ==．可得四

棱

锥

P A B -

的

侧面积为

112

2

PA PD PA AB ⋅+⋅

211

sin 60622

PD DC BC +⋅+︒=+【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为

定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，

如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．

【例3】【2017课标3文19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．

（1）证明：AC ⊥BD ；

（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

【答案】（1）详见解析；（2）1

【解析】分析：（1）取AC 中点O ，由等腰三角形及等比三角形性质得OD AC ⊥，OB AC ⊥，再根据线面垂直判定定理得⊥AC 平面OBD ，即得AC ⊥BD ；（2）先由AE ⊥EC ，结合平几知识确定EC AE =，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.

解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点，∴OD AC ⊥， 又∵ABC ∆是等边三角形，∴OB AC ⊥，又∵

OB OD O ⋂=，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.

（2）设2==CD AD ，∴22=AC ，

22==CD AB ，又∵BD AB =，∴

22=BD ，

∴≅∆ABD CBD ∆，∴EC AE =， 又∵EC AE ⊥，22=AC ，

∴2==EC AE ， 在ABD ∆中，设x DE =，根据余弦定理DE

AD AE DE AD BD AD AB BD AD ADB ⋅-+=

⋅-+=∠22cos 2

22222x x ⨯⨯-+=

⨯⨯-+=22222

222)22()22(2222222

解得2=

x ，∴点E 是BD 的中点，则

ACE B ACE D V V --=，∴

1=--ACE

B ACE

D V V .

【例4】【2016年全国Ⅱ卷】如图，菱形ABCD 的

对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在

AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置

.

（1）证明：'AC HD ⊥； （2）若5

5,6,4

A B A C A E

===

，'OD =求五棱锥D ABCEF '-体积.

【解析】（1）由已知得，,AC BD AD CD ⊥=．

又由=AE CF 得

=

AE CF

AD CD

，故AC EF ．

由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ， 所以.AC

HD '．