高考数学总复习选做几何证明选讲试题含解析

专题1 几何证明选讲

【三年高考全收录】

1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

∠=∠；

求证：（1）PAC CAB

（2）2

=⋅．

AC AP AB

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【考点】圆的性质、相似三角形

【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.

【答案】详见解析 【解析】

试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==

2

1

， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证.

试题解析：

证明：在ADB △和ABC △中，

因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角， 所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠. 在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠. 【考点】相似三角形

【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．

3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D

求证：ABD ∆∽AEB ∆

A

B

C

E D

O

（第21——A 题）

【答案】详见解析

【考点定位】相似三角形

4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为

__________.

【答案】

3

3

【解析】

试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =

，又2BD DE x

==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则22

3122BC =-=2

4

9AD x =-

BCE DAE ∆∆，则

BC EC AD AE =2

221

49x

x

=-，解得23x =

考点：相交弦定理

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,1

2

OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与

O 相切；

(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .

O

D

C

B

A

【答案】(I)见解析(II)见解析 【解析】

试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得1

2

OE AO =

,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,

因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．

在Rt AOE ∆中,1

2

OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．

E

O'D

C

O B

A

（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．

由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．

同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. 6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作

DF CE ⊥，垂足为F ．

(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；

(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1

2

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0

180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明

,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.