第六章 卡平方测验

2 1i
2 1
x2=154.04> x20.05(2) =5.99，差异显著。
结论：不同物种的Aph等位基因型频率有显著差别。
三、r×c联列表式经X2独立性测验
1.
r×c表的一般形式:
横行因素 1 2 ┊ R 总计 纵行因素
1 2 ………. c 总计 a11 a12 a1c R1 a21 a22 a2c R2
H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关
xBiblioteka Baidu n[ (
2
a
2 ij
ri c j
) 1]
2 2 2 2 146 7 7 16 2 547( ) 1 5.63 182 36 160 481 160 30 160 36
xC 5.63 x 2 0.05,4 9.49
+
2分布的累积函数F( 2)为
F( 2)P( 2 ≤ 2 )
i
f0(2)d(2)
i2
(图6.2)
二、x2测验公式
K.Pearson(1900)根据的x2上述定义从属性性状的分布
推导出用于次数资料(亦称计数资料)分析的x2公式：
2 ( O E ) 2 2 X 的基本公式： E i 当df=1的样本，必须用连续性矫正公式；当df≥2时，
总 数
76 384 460
假设：种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无关。
方法1： 基本公式
1 2 [O E ] 2 xc2 E [ 26 34.7 0.5]2 [ 200 208 .7 0.5]2 ... 34.7 208 .7 4.267
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可以不作连续性矫正。
X2连续性矫正公式：
1 2 [| O E | ] 2 2 xc E
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三、 x2测验的应用

用于适合性测验 用于独立性测验 用于方差同质测验
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四、 x2测验的具体步骤 ⑴ 提出无效假设与备择假设
⑵ 确定显著水平
结论：种子灭菌对防治小麦散黑穗病有一定效果。
思考题：请列出计算公式
某研究所对椰子主要害虫二疣犀甲对不同品种椰子 的为害作了调查，结果如下表，问不同品种的受害率有 否显著差异？
品种 马哇椰子 本地椰子
调查总株数 468 138
受害株数 313 17
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二、2×c联列表式经X2独立性测验
广品种有显著差异？ 假设H0：2 =02；HA：2 ≠02 显著水平α=0.05
2 2 (10-1) × 30 s ( n 1 ) =12.96 2 252 查附表4, 20.975,92.70， 20.025,919.02
2
计算2值在两者之间，故应接受H0。认为该抗 病品种亩产量的变异程度与原推广品种无显著差异。
df 1 2
f(χ )
2
(χ )
2
2
df 2
df ( Γ ) 2
e
2
χ
2
2分布的特性有：
⑴ 2分布的取值范围为[0， 。 ) ⑵2分布的形状决定于自由度df。 (图6.1)。 ⑶ 2分布曲线与横坐标轴所围成的面积等于1，即 P(0≤ 2 <+ ) f(02)d(2)=1
2
差异不显著。
结论：稻叶衰老情况与灌溉方式无关。
&6.4 方差同质性测验
方差的同质性(homogeneity of
variance)又称为方差的齐性或一致性。
方差的同质即指各总体的方差相等。
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一、样本方差与总体方差的同质性测验
这是测验单个样本方差s2所属总体方差σ2， 与给定总体方差σ20是否相同。 两尾测验：H0： σ2 ＝σ20，对HA： σ2 ≠σ20 一尾测验： H0： σ2≤σ20， HA： σ2 ＞σ20(否定区在右尾) 或H0：σ2≥σ20， HA： σ2 ＜σ20(否定区在左尾)
豌豆杂种F2代性状分离的观察次数与理论次数(n=556) 次数 实际次数(O) 理论次数(E) 黄子叶饱满 315 312.75 黄子叶皱缩 101 104.25 绿子叶饱满 108 104.25 绿子叶皱缩 32 34.75
假设 H0： F2代的分离符合9:3:3:1的理论比率，
HA： F2代的分离不符合9:3:3:1的理论比率。 显著水平
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按

2
1) s 2 dfs2 ( n 2 2
计算2值
附表6的2 值是自由度为 df 时右尾概率为α的临界2。
测验H0:σ2≤σ20，HA:σ2＞σ20，显著时， H0 :σ 2 ≥σ H0 :σ 2 ＝σ
2 0，对HA: 0，对HA:

2＞ 2 2
[例7.8] 调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的 小麦发生散黑穗病的穗数，得相依表7.7，试分析种子灭 菌与否和散黑穗病穗多少是否有关。
处 理 项 目 发 病 穗 数 未发病穗数
种子灭菌 种子未灭菌 总 数 26( 34.7) 184(175.3) 210 50( 41.3) 200(208.7) 250
312.75
a0.05。
2 2 2 2
(315-312.75) (101-104.25) (108-104.25) (32-34.75) 2 104.25 104.25 34.75
第六章
卡平方测验
&6.1 卡平方测验概述
&6.2 适合性测验
&6.3 独立性测验 &6.4 方差同质性测验(不要求）
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&6.1 卡平方测验概述
一、卡平方的定义与分布
2定义：在方差为σ2的正态总体中，随机独立抽取容量
为n 的样本，n个独立的正态离差u1、u2、…、un的平方
假设 H0：合格，即发芽:不发芽=4:1
2c
( Oi-Ei －0.5)2 =Σ i 1 Ei
k
( 150－160 －0.5)2 ( 50－40 －0.5)2 ＝2.82 40 160
df=k-1=2-1=1，由附表6查出20.05，1 3.84。
和则定义为χ2(chi square) ，即：
u u u u u (
2 2 1 2 2 2 i 2 n i 2 i i
xi i
i
)
2
自由度df=n。
当用样本来计算时，因为∑（xi-）2需由 ( xi x ) 2 来估计，而
S2
故
2 ( x x ) i
1.
2×c表的一般形式:
纵行因素 1 a11 a21 C1
2 2 1i
横行因素 1 2 总计
2
2 a12 a22 C2
2 1
…… …… ……
c a1c a2c Cc
总计
R1 R2 n
a R n x [ ] R1 R2 ci n
Df=(2-1)(c-1)=c-1
[例7.9] 进行大豆等位酶Aph的电泳分析，193份野生大 豆、223份栽培大豆等位基因型的次数列于表，试分析大 豆Aph等位酶的等位基因型频率是否因物种而不同。 物种 野生大豆 栽培大豆 总计 1 29 22 51 等位基因型 2 68 199 267 总计 3 96 2 98 193 223 416
一、２×２联列表式X2独立性测验
1.
2×2表的一般形式:
结果1 处理1 处理2 合计 a11 a21 C1 结果2 a12 a22 C2
2
合计 R1 R2 n
(|a11a 22 a12 a 21 |-n/2) n C1C 2 R1 R2
2 C
Df=(2-1)(2-1)=1
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⑶ 计算2值
确定a0.05或0.01等。
由样本资料和理论假设计算
2 2值；根据自由度，由附表6查出a ，df 。
⑷ 推断，若χ2＜χ2α.df，则p>α，故接受H0； χ2≥χ2α.df ，则p<α，故否定H0， 卡平方测验均为一尾测验，且是右尾测验。
&6.2 适合性测验
根据2分布的概率值来判断实际次数与预期
[例7.8] 对一小麦新品系的株高进行抽测，样本容 量n=30，s=3.1试测验株高变异是否显著低于规定标准 (0=5.0)。 H0:σ2≥σ20，对HA: σ2＜σ20， 显著水平α=0.05
2 2 (30-1) × 3.1 s ( n 1 ) =11.15 2 2 5.0 查附表4, 20.95,2917.71。
α ，df
2 (1-a),df
σ 2 ＜σ σ
2
0，显著时,
＜
2
2 ≠σ 2
0，显著时,
2 ＜

2
2 (1-a/2),df
或
2 ＞

(a/2),df
(见图6.3~6.5)
[例7.7] 某地已推广小麦品种亩产量0=25㎏/亩，
现引入一抗病品种，测10个小区亩产量的s=30㎏/亩。 问该抗病品种亩产量的变异程度（方差）是否与原推
n 1
2 2 ( x x ) ( n 1 ) S i
x2
( xi x ) 2

2

( n 1) S 2
2
此式中x2值的自由度为（n-1)
若从正态总体中抽取无数个样本，就
可形成2值的概率分布，称为2分布(chi
square distribution)，其概率密度函数为
┊ ┊ ┊
┊
ar1
C1
ar2
C2
arc
Cc
Rr
n
x n[ (
2
a
2 ij
ri c j
) 1]
df (r 1)(c 1)
[例7.10] 表7.11为不同灌溉方式下水稻叶片衰 老情况的调查资料。试测验稻叶衰老情况是否与 灌溉方式有关。
灌溉方式 深 水 浅 水 湿 润 总 计 绿叶数 146 183 152 481 黄叶数 7 8 14 30 枯叶数 7 13 16 36 总计 160 205 182 547
理论次数是否符合的假设测验，称为适合性测验 (goodness test)。
测验实际结果与理论比例是否符合； 测验产品质量是否合格； 测验实验结果是否符合某一理论分布；
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【例6.1 】孟德尔(1865)将黄子叶饱满 豌豆与绿子叶皱缩豌豆杂交，F2代观 察556株，黄子叶饱满315株，黄子叶 皱缩101株，绿子叶饱满108株，绿子 叶皱缩32株。试测验F2代的分离是否 符合9:3:3:1的理论比率。
0.470
df=k-1=4-1=3，
由附表6查出20.05，3 7.815。
2＜20.05，3 ，不能否定H0 ，认为豌豆杂种
F2代的分离是符合9:3:3:1的理论比率。
【例6.2 】有一批水稻种子，规定发芽率达80%合格， 即发芽:不发芽=4:1。随机抽200粒做发芽试验，发芽 种子数为150粒。这批水稻种子是否合格？
H0：等位基因型频率与物种无关 HA：两者有关，不同物种等位基因型频率不同
a R n x [ ] R1 R2 ci n
2
2 2 2 2 416 29 68 96 193 2 154.04 193 223 51 267 98 416 2
2
结论：c 2＜ 20.05，1 ，不能否定H0 ，认为这
批水稻种子是合格的。
&6.3 独立性测验

独立性测验(independence test)是 测验两个变数之间是相互独立还是彼 此相关的统计方法，是次数资料的一 种相关研究。
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X2独立性其方法和步骤是：
H0：两个变数相互独立， HA：两个变数彼此相关。 将资料按两向分组排列成r行、c列的相依表(表6.3)。 X2基本公式或变形公式计算x2值 按自由度df=(r-1)(c-1)查表进行2测验。 写统计结论
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方法2： 变形公式
xC
2
2 (| a11a22 a12a21 | n ) n 2 C1C2 R1 R2
df 1。
406 2 (| 26 200 184 50 | ) 406 2 4.267 210 250 76 384 2 xC 4.267 x 2 0.05,1 3.841 差异显著