11.2 贝塞尔方程
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x
2
d R dx
2
2
x
dR dx
x m
2
2
R 0
（11.4.1）
数学物理方法
令 i x , y ( ) R ( x ) 代入上式，则得到贝塞尔方程
y y m
2 2 2
y0
（11.4.2）
令 i x , 即可得到虚宗量贝塞尔方程的解。 定义虚宗量贝塞尔方程的解具有如下形式
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u 0, 0 u z 0 f 1 ( ), u
zL
f2 ( )
本例是圆柱内部的拉普拉斯方程定解问题， 柱侧是齐次的第 二类边界条件，故考虑 0 的情况。
况应舍弃。 故把特解叠加起来，有
v
Ap I0 (
p L
) sin
p z L
p 1
为确定系数，将上式代入柱侧的边界条件 q0 p p p z I '0 ( 0 ) sin Ap
p 1
L
L
L
k
数学物理方法
例 2 半径 0 ，高 L 的导体圆柱壳，用不导电的介质将柱壳 的上下底面和侧面隔离开，柱壳侧面电势为 u 0 z / L ，上底 面电势为 u 1 ，下底面接地，求柱壳外电势分布
v [ A J 0 ( ) B N 0 ( )]e
a t
2
A J 0 ( 1 ) B J 0 ( 1 ) 0 代入边界条件， ，从而解 AJ 0 ( 2 ) BJ 0 ( 2 ) 0
出本征值 ，从而定出相应系数，得解。
因此 e
2
称为整数阶贝塞尔函数的母函数。
数学物理方法
前面研究圆柱内部问题，由自然边界条件排除了诺依曼函 数，对于空心圆柱之类的区域，就不能排除诺依曼函数。 例 4 均质空心长圆柱体，内外半径分别为 1 和 2 ，初始 温度分布 f ( ) ，放入温度为 U 0 的烘箱里进行保温，设内 外表面温度保持 U 0 ，求各处温度变化。 解：对于长柱，只需要研究一个横剖面即可，三维问题化 为二维，剖面上用极坐标，定解问题为
2 2
首先要将边界条件齐次化。令 u u 0 v ，则
数学物理方法
vt a v 0 v 0 0, v z 0 0, v z z L 0 v t 0 f1 ( ) f 2 ( z ) 这是圆柱内部的热传导问题，边界条件全部是齐次的，查 看 9.1 节末表，并考虑到（1）上下底面的齐次边界条件， （2）柱轴的自然边界条件， （3）问题与 无关，即 m 0 ， 查得
co s( x v / 2 / 4 ) sin ( x v / 2 / 4 )
x
当 x 时，它们全部都 0 。
11.4 虚宗量贝塞尔方程
数学物理方法
在前面我们研究的圆柱形拉普拉斯方程定解问题都是 圆柱侧面有齐次边界条件的。对于那样的问题，只需要考虑 0 的情况。
x
k
x
l
数学物理方法
x (z 1 z
)
e
2
n
( 1)
l
k 0 l0
( ) k !l ! 2 ( 1)
l
x
k l
z x
k l
[
l0
( ) ( n l ) !l ! 2
n
2l n
]z
n
x (z 1 z )
n
Jn (x)z
u a 2 2u 0 t u 1 u 2 U 0 u t0 f ( )
首先要将边界条件齐次化。令 u U 0 v ，则
数学物理方法
v a 2 2v 0 t v 1 v 2 0, v t0 f ( ) U 0 查看 9.1 节末表， 平面极坐标不过是缺少 Z 轴的柱坐标 （1） 系，故不需要考虑表中的 Z ( z ) （2）问题与 无关，即 m 0 ，查得
数学物理方法
例 3 一均质圆柱半径 0 ，高 L 。侧面和下底面温度保持为
u 0 ，上底面绝热，初始温度为 u 0 f 1 ( ) f 2 ( z ) 。球圆柱体
内各处温度的变化情况。
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
ut a u 0 u 0 u 0 , u z0 u0 , u z zL 0 u t 0 u 0 f1 ( ) f 2 ( z )
m
，
故 I m ( x ), I m ( x ) 线性相关！
因此要求方程的通解，需要给出另一线性无关的特解。我们 定义
K ( x) π I ( x ) I ( x ) 2 sin π
（11.4.5）
称为虚宗量汉克尔函数。 令 v m ，得到 m 阶虚宗量汉克尔函数
2 sin π (11.4.4)和（11.4.6）是 m 阶虚宗量贝塞尔方程的两个线性独
2
把以上特解叠加起来，
v
[(
(0) xn
/ 0 )
2
( p 1 / 2 )
2
2
An p e
L
2
]a t
2
J 0 ( xn / 0 )
(0)
n 1 pห้องสมุดไป่ตู้ 0
sin
( p 1 / 2 ) L
z
为了决定系数，将上式代入初始条件，将右边展开，比较系 数即可。
数学物理方法
v m
K m ( x ) lim
π I ( x ) I ( x )
(11.4.6)
立解。
数学物理方法
x 0 和 x 时的性质
有 I 0 (0 ) 1 ， I m (0) 0 ， x 0 时， K m ( x )
因此， 如果研究区域包含圆柱轴 0 ， （ 从而 x v 0 ） ， 自然边界条件排除虚宗量汉克尔函数 K m ( x ) ， 值保留虚宗量 贝塞尔函数 I m ( x )
11.3 柱函数的渐近公式
柱函数的渐近公式 对于大 x ，柱函数有如下渐近公式
H v (x)
(1)
数学物理方法
2
x
2
e
i ( x v / 2 / 4 )
H v (x)
J v (x) N v (x) 2
(2)
x
x
2
e
i ( x v / 2 / 4 )
co s vz I 0 (v ) sin vz
2
上下底齐次边界条件决定了上面 cos vz 应舍弃，本征值 2 2 2 2 v p /L
数学物理方法
对于 v 0 ，并考虑到柱轴上自然边界条件以及 m 0 ，有
1 R( ) 1， Z (z) z 上下底齐次边界条件导致没有意义的 Z ( z ) 0 ， v 0 情 故
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第十一章 柱函数
1、三类柱函数
数学物理方法
2、贝塞尔方程
3、柱函数的渐近公式 4、虚宗量贝塞尔方程 5、球贝塞尔方程
11.2 贝塞尔方程
数学物理方法
（五）贝塞尔函数应用例 例 2 均质圆柱，半径 0 ，高 L 。柱侧绝热，上下底面温度 分布保持 f 2 ( ) 和 f 1 ( ) ，求解柱内的稳定温度分布。
2v 0 v q0 , k 0 v z 0 0, v z L 0
这是圆柱内部的拉普拉斯定解问题，查看 9.1 节末表，并考 虑到（1）上下底面的齐次边界条件（要求 0 ）（2）柱 ， 轴的自然边界条件， （3）问题与 无关，即 m 0 ，查得
这是 m 阶的虚宗量贝塞尔函数。
J m ( x ) ( 1) J m ( x )
m
数学物理方法
J m (i x )
根据
I m ( x ) ( i)
m
J m (i x ) ( i) ( i )
m
2 m
( i) J m (i x ) I m ( x )
当 x 时， I m ( x ) ， K m ( x ) 0 因此，如果研究区域伸向无限远，则要排除 I m ( x ) ，只保留
K m ( x) 。
数学物理方法
例 1 均质圆柱，半径 0 ，高 L 。柱侧有均匀分布的热流进 入，其强度为 q 0 ，上下底面恒定的温度 u 0 ，求解柱内的稳 定温度分布。
Im ( x)
m
1 i
m
J m ( ) ( i) J m (i x )
m
(11.4.3)
式中的 ( i) 是为了保证为 I m ( x ) 实数。
数学物理方法
Jm (x)
( 1)
k
k 0
( ) k ! ( m k 1) 2
1
x
m2k
I m ( x ) ( i)
e z J0( ) z e
( 第二类齐次边界条件指出本征值 n( 0 ) ( x n 0 ) / 0 ) 2 ，其中
x n 是 J '0 ( x ) 的第 n 个零点，也即 J 1 ( x ) 的第 n 个根，可以
(0)
查表给出。
数学物理方法
（六）母函数
1
将e2 和e
x
zx
1 2
x
1 z
分别展开为绝对收敛级数
( ) k 2 z k! x
k x 2
e2
z
z
1
e
k 0
l0
( ) 2 ( z )l l!
x
l
x
(z
1 z
)
e2
k 0
( ) ) ( k 2 2 ( z )l z k! l! l0
但是如果圆柱上下底面具有齐次的边界条件， 则与 0 对应 的 Z (z) e
z
和
Z (z) e
z
只能给出没有意义的
Z (z) 0 。 因此， 对这些问题， 需要考虑 0 的情况。 0
的比较简单，无需特别讨论；这里介绍 0 的情况。
在 v 2 0 情况下， R ( ) 是虚宗量贝塞尔方程的解。
对于 0 ，考虑到 m 0 ，有
1 Z (z) z
把以上特解叠加起来，
u ( , z ) A0 B 0 Z
( An e
xn
(0)
z / 0
Bne
xn
(0)
z / 0
) J 0 ( xn / 0 )
(0)
n 1
为了决定系数，将上式代入边界条件，然后将右边的 f 1 ( ) 和 f 2 ( ) 展开为傅里叶－贝塞尔级数，比较系数即可。
m
( 1)
k
1
k 0
k ! ( m k 1) 2
(
ix
)
m2k
( i) i
m
m
i ( 1)
2k
k
k 0
x m2k ( ) k ! ( m k 1) 2
1
Im ( x)
k 0
( ) k ! ( m k 1) 2
1
x
m2k
（11.4.4)
数学物理方法
对于 0 ，考虑到圆柱轴的自然边界条件，有
J m ( ) e z co s m z sin m N m ( ) e
由边界条件全都与 无关，故有 m 0 ，于是
2 2
J0(
) sin vze
k a t
2
2
， k 2 v2 ） （
数学物理方法
将 上 式 代 入 边 界 条 件 ， 可 以 求 得 本 征 值
v ( p 1 / 2)
2 2 2
/L
2
， 其 中 p 为 非 负 整 数 ；
(0)
n
(0)
( xn
(0)
/ 0 ) ，其中 x n 是 J 0 ( x ) 的第 n 个零点。
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u q0 , k 0 u z0 u0 , u zL u0
边界条件全部都是非齐次的，令 u u 0 v ，则变成上下底 面有齐次边界条件，其定解问题为
数学物理方法
2
d R dx
2
2
x
dR dx
x m
2
2
R 0
（11.4.1）
数学物理方法
令 i x , y ( ) R ( x ) 代入上式，则得到贝塞尔方程
y y m
2 2 2
y0
（11.4.2）
令 i x , 即可得到虚宗量贝塞尔方程的解。 定义虚宗量贝塞尔方程的解具有如下形式
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u 0, 0 u z 0 f 1 ( ), u
zL
f2 ( )
本例是圆柱内部的拉普拉斯方程定解问题， 柱侧是齐次的第 二类边界条件，故考虑 0 的情况。
况应舍弃。 故把特解叠加起来，有
v
Ap I0 (
p L
) sin
p z L
p 1
为确定系数，将上式代入柱侧的边界条件 q0 p p p z I '0 ( 0 ) sin Ap
p 1
L
L
L
k
数学物理方法
例 2 半径 0 ，高 L 的导体圆柱壳，用不导电的介质将柱壳 的上下底面和侧面隔离开，柱壳侧面电势为 u 0 z / L ，上底 面电势为 u 1 ，下底面接地，求柱壳外电势分布
v [ A J 0 ( ) B N 0 ( )]e
a t
2
A J 0 ( 1 ) B J 0 ( 1 ) 0 代入边界条件， ，从而解 AJ 0 ( 2 ) BJ 0 ( 2 ) 0
出本征值 ，从而定出相应系数，得解。
因此 e
2
称为整数阶贝塞尔函数的母函数。
数学物理方法
前面研究圆柱内部问题，由自然边界条件排除了诺依曼函 数，对于空心圆柱之类的区域，就不能排除诺依曼函数。 例 4 均质空心长圆柱体，内外半径分别为 1 和 2 ，初始 温度分布 f ( ) ，放入温度为 U 0 的烘箱里进行保温，设内 外表面温度保持 U 0 ，求各处温度变化。 解：对于长柱，只需要研究一个横剖面即可，三维问题化 为二维，剖面上用极坐标，定解问题为
2 2
首先要将边界条件齐次化。令 u u 0 v ，则
数学物理方法
vt a v 0 v 0 0, v z 0 0, v z z L 0 v t 0 f1 ( ) f 2 ( z ) 这是圆柱内部的热传导问题，边界条件全部是齐次的，查 看 9.1 节末表，并考虑到（1）上下底面的齐次边界条件， （2）柱轴的自然边界条件， （3）问题与 无关，即 m 0 ， 查得
co s( x v / 2 / 4 ) sin ( x v / 2 / 4 )
x
当 x 时，它们全部都 0 。
11.4 虚宗量贝塞尔方程
数学物理方法
在前面我们研究的圆柱形拉普拉斯方程定解问题都是 圆柱侧面有齐次边界条件的。对于那样的问题，只需要考虑 0 的情况。
x
k
x
l
数学物理方法
x (z 1 z
)
e
2
n
( 1)
l
k 0 l0
( ) k !l ! 2 ( 1)
l
x
k l
z x
k l
[
l0
( ) ( n l ) !l ! 2
n
2l n
]z
n
x (z 1 z )
n
Jn (x)z
u a 2 2u 0 t u 1 u 2 U 0 u t0 f ( )
首先要将边界条件齐次化。令 u U 0 v ，则
数学物理方法
v a 2 2v 0 t v 1 v 2 0, v t0 f ( ) U 0 查看 9.1 节末表， 平面极坐标不过是缺少 Z 轴的柱坐标 （1） 系，故不需要考虑表中的 Z ( z ) （2）问题与 无关，即 m 0 ，查得
数学物理方法
例 3 一均质圆柱半径 0 ，高 L 。侧面和下底面温度保持为
u 0 ，上底面绝热，初始温度为 u 0 f 1 ( ) f 2 ( z ) 。球圆柱体
内各处温度的变化情况。
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
ut a u 0 u 0 u 0 , u z0 u0 , u z zL 0 u t 0 u 0 f1 ( ) f 2 ( z )
m
，
故 I m ( x ), I m ( x ) 线性相关！
因此要求方程的通解，需要给出另一线性无关的特解。我们 定义
K ( x) π I ( x ) I ( x ) 2 sin π
（11.4.5）
称为虚宗量汉克尔函数。 令 v m ，得到 m 阶虚宗量汉克尔函数
2 sin π (11.4.4)和（11.4.6）是 m 阶虚宗量贝塞尔方程的两个线性独
2
把以上特解叠加起来，
v
[(
(0) xn
/ 0 )
2
( p 1 / 2 )
2
2
An p e
L
2
]a t
2
J 0 ( xn / 0 )
(0)
n 1 pห้องสมุดไป่ตู้ 0
sin
( p 1 / 2 ) L
z
为了决定系数，将上式代入初始条件，将右边展开，比较系 数即可。
数学物理方法
v m
K m ( x ) lim
π I ( x ) I ( x )
(11.4.6)
立解。
数学物理方法
x 0 和 x 时的性质
有 I 0 (0 ) 1 ， I m (0) 0 ， x 0 时， K m ( x )
因此， 如果研究区域包含圆柱轴 0 ， （ 从而 x v 0 ） ， 自然边界条件排除虚宗量汉克尔函数 K m ( x ) ， 值保留虚宗量 贝塞尔函数 I m ( x )
11.3 柱函数的渐近公式
柱函数的渐近公式 对于大 x ，柱函数有如下渐近公式
H v (x)
(1)
数学物理方法
2
x
2
e
i ( x v / 2 / 4 )
H v (x)
J v (x) N v (x) 2
(2)
x
x
2
e
i ( x v / 2 / 4 )
co s vz I 0 (v ) sin vz
2
上下底齐次边界条件决定了上面 cos vz 应舍弃，本征值 2 2 2 2 v p /L
数学物理方法
对于 v 0 ，并考虑到柱轴上自然边界条件以及 m 0 ，有
1 R( ) 1， Z (z) z 上下底齐次边界条件导致没有意义的 Z ( z ) 0 ， v 0 情 故
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第十一章 柱函数
1、三类柱函数
数学物理方法
2、贝塞尔方程
3、柱函数的渐近公式 4、虚宗量贝塞尔方程 5、球贝塞尔方程
11.2 贝塞尔方程
数学物理方法
（五）贝塞尔函数应用例 例 2 均质圆柱，半径 0 ，高 L 。柱侧绝热，上下底面温度 分布保持 f 2 ( ) 和 f 1 ( ) ，求解柱内的稳定温度分布。
2v 0 v q0 , k 0 v z 0 0, v z L 0
这是圆柱内部的拉普拉斯定解问题，查看 9.1 节末表，并考 虑到（1）上下底面的齐次边界条件（要求 0 ）（2）柱 ， 轴的自然边界条件， （3）问题与 无关，即 m 0 ，查得
这是 m 阶的虚宗量贝塞尔函数。
J m ( x ) ( 1) J m ( x )
m
数学物理方法
J m (i x )
根据
I m ( x ) ( i)
m
J m (i x ) ( i) ( i )
m
2 m
( i) J m (i x ) I m ( x )
当 x 时， I m ( x ) ， K m ( x ) 0 因此，如果研究区域伸向无限远，则要排除 I m ( x ) ，只保留
K m ( x) 。
数学物理方法
例 1 均质圆柱，半径 0 ，高 L 。柱侧有均匀分布的热流进 入，其强度为 q 0 ，上下底面恒定的温度 u 0 ，求解柱内的稳 定温度分布。
Im ( x)
m
1 i
m
J m ( ) ( i) J m (i x )
m
(11.4.3)
式中的 ( i) 是为了保证为 I m ( x ) 实数。
数学物理方法
Jm (x)
( 1)
k
k 0
( ) k ! ( m k 1) 2
1
x
m2k
I m ( x ) ( i)
e z J0( ) z e
( 第二类齐次边界条件指出本征值 n( 0 ) ( x n 0 ) / 0 ) 2 ，其中
x n 是 J '0 ( x ) 的第 n 个零点，也即 J 1 ( x ) 的第 n 个根，可以
(0)
查表给出。
数学物理方法
（六）母函数
1
将e2 和e
x
zx
1 2
x
1 z
分别展开为绝对收敛级数
( ) k 2 z k! x
k x 2
e2
z
z
1
e
k 0
l0
( ) 2 ( z )l l!
x
l
x
(z
1 z
)
e2
k 0
( ) ) ( k 2 2 ( z )l z k! l! l0
但是如果圆柱上下底面具有齐次的边界条件， 则与 0 对应 的 Z (z) e
z
和
Z (z) e
z
只能给出没有意义的
Z (z) 0 。 因此， 对这些问题， 需要考虑 0 的情况。 0
的比较简单，无需特别讨论；这里介绍 0 的情况。
在 v 2 0 情况下， R ( ) 是虚宗量贝塞尔方程的解。
对于 0 ，考虑到 m 0 ，有
1 Z (z) z
把以上特解叠加起来，
u ( , z ) A0 B 0 Z
( An e
xn
(0)
z / 0
Bne
xn
(0)
z / 0
) J 0 ( xn / 0 )
(0)
n 1
为了决定系数，将上式代入边界条件，然后将右边的 f 1 ( ) 和 f 2 ( ) 展开为傅里叶－贝塞尔级数，比较系数即可。
m
( 1)
k
1
k 0
k ! ( m k 1) 2
(
ix
)
m2k
( i) i
m
m
i ( 1)
2k
k
k 0
x m2k ( ) k ! ( m k 1) 2
1
Im ( x)
k 0
( ) k ! ( m k 1) 2
1
x
m2k
（11.4.4)
数学物理方法
对于 0 ，考虑到圆柱轴的自然边界条件，有
J m ( ) e z co s m z sin m N m ( ) e
由边界条件全都与 无关，故有 m 0 ，于是
2 2
J0(
) sin vze
k a t
2
2
， k 2 v2 ） （
数学物理方法
将 上 式 代 入 边 界 条 件 ， 可 以 求 得 本 征 值
v ( p 1 / 2)
2 2 2
/L
2
， 其 中 p 为 非 负 整 数 ；
(0)
n
(0)
( xn
(0)
/ 0 ) ，其中 x n 是 J 0 ( x ) 的第 n 个零点。
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u q0 , k 0 u z0 u0 , u zL u0
边界条件全部都是非齐次的，令 u u 0 v ，则变成上下底 面有齐次边界条件，其定解问题为
数学物理方法