概率论经典模型
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第七章 参数估计典型题解 1．设总体X 具有分布列 1
()(1)
,1,2,k P X k p p k -==-=
，求p 的矩估计
和极大似然估计． 解 （1）矩估计
1
1
2
1
1
1(1)
(1)
k k k k p EX k p p p kq
q p
∞
∞
--===
-==
=
-∑
∑．
令 X EX =，即 1X p
=
，解之得p 的矩估计为 1ˆp X
=．
注：这里用到了 12
1
11,
1(1)
k k kx x x p
∞
-==
=
<-∑．
事实上，令∑∞
=-=
1
1
)(k k kx
x S 逐项积分得
x
x x
dt t
k dt t S x
k k
k x
k -=
=
=
⎰∑
⎰
∑
∞
=-∞
=1)(0
1
1
1
，
两边对x 求导得 2
)
1(1)(x x S -=
．
（2）极大似然估计
()1
1
121
12(,,,;)(1)
(1)(1)
,
ln (,,,;)1)ln(1)ln .
n
i i i n
x n
x n nx n
n
n i n L x x x p p p p p p p L x x x p n x p n p =---=∑=
-=-=-=--+∏
令
12ln (,,,;)
0n d L x x x p dp
= ，即
(1)01n x n p
p
--+
=-，
解之得p 的极大似然函数估计为 1ˆp X
=．
2．总体X 的密度函数 1
12
2
1,[,],
()0,x f x θθ∈-
-
⎧=⎨
⎩其他.
求θ的矩估计与极大似
然估计．
解 （1）矩估计
1
212
1ˆ()22
E X xf x dx xdx X
θθ
θθθ+∞+-∞
-
=
=
=
⨯=⇒=⎰
⎰．
（2）极大似然估计
11
111,
,,,
()(,)2
2
0,n
n i i x x L f x θθθθ=⎧-
≤≤+
⎪=
=⎨
⎪⎩
∏
其他.
令 {}{}11212min ,,,,,,,n n n x x x x x man x x x **
== ．
则 111
111,2
2
2
2
n n x x x x θθθ**
*
*
-≤≤≤+
-
≤≤+
．
介于12
n X *-
与112
X *+
之间的任何点均为θ的极大似然估计．
3．设总体X 的密度函数 1,,0,
(;,)0,x a
b e x a b f x a b b -
-⎧≥>⎪=⎨⎪⎩
其他.求b a ,的矩估计
和极大似然估计．
解 （1）矩估计
()()()
.
x a x a x a x a x a b
b
b
x a b
x a b a
a
x a b
a
a
a
a
E X xf x dx xe
d xde
xe e
a b e
d a b e
a b ------+∞+∞+∞-
-
--∞
+∞
+∞+∞-
-
-
-+∞
-
=
=--
=-⎡⎤=-+=--⎣⎦⎡⎤=-=+⎣⎦⎰
⎰
⎰⎰
⎰
2
2
2
2
22
2
()()
222().
x a b
x a x a x a b
b
b
x a b a
a
a a
EX
x f x dx x e
d x de
x e xe dx
a EX a a
b ----+∞+∞-
--∞
+∞
+∞+∞
-
-
-
=
=--
⎡⎤=-=-+⎣⎦=+=++⎰
⎰⎰
⎰
设 221
1
1
1
,n
n
i
i
i i x x
a x n
n
===
=
∑∑，其中1
2,,,n
x x x 为X 的样本值．
令 2
2,2().x a b a a a b =+⎧⎨=++⎩ 解得
ˆˆa b X ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ （2）极大似然估计
1
(,)(,,)n
i i L a b f x a b ==
∏
1
1
,
,1,2,,,
0,x a i b
n
i n i e
x a i n b --
=⎧≥=⎪=⎨⎪⎩
∏ 其他.