最新二洛必达法则-教学目标与基本要求
高等数学：洛必达法则
洛必达法则一、基本内容洛必达法则：设函数)(x f 和)(x g（1）在0x 的某去心邻域（或M x >||，0>M ）内可导且0)(≠'x g ； （2）当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 和)(x g 都趋于零（或都是无穷大）； （3）)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→存在（或为无穷大），则)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→存在（或为无穷大），且)()(lim)()(lim)()(00x g x f x g x f x x x x x x ''=∞→→∞→→ 洛必达法则以导数为工具，给出了计算未定式极限的一般方法。
二、学习要求熟练掌握用洛必达法则求未定型极限的方法。
三、基本题型及解题方法 题型1 利用洛必达法则求“00”与“∞∞”型极限 解题方法：在验证了是这两种类型极限后，首先应该想到第一章中提到的各种方法，如约掉零因子，等价无穷小替换等等，然后再结合洛必达法则一起解题。
在应用该法则时要注意，分子分母同时取导数，当取导之后仍为“00”或“∞∞”，可以再次利用洛必达法则，而且当洛必达法则失败时，也不代表极限不存在，要重新研究。
【例1】 求下列极限： （1）22)2(sin ln limx x x -→ππ； （2）xx xx x tan tan lim20-→ （3）ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→ 解：（1）所给极限为型，由洛必达法则，有22)2(sin ln limx x x -→ππ)2(4cot lim 2/x xx --=→ππ仍为型，再利用洛必达法则，得 原式81sin 1lim 818csc lim 22/22/-=-=-=→→xx x x ππ （2）所给极限为型，且因为当 0→x 时，x x ~tan ，则 x x x x x tan tan lim 20-→30tan lim xxx x -=→)()(tan lim 30''-=→x x x x 22031sec lim x x x -=→ 31sec lim 316tan sec 2lim 202000==→→x x x x x x 洛必达法则型（3）e e x x x x -+-→ln 1lim 31 )()ln 1(lim 31'-'+-=→e e x x x x xx e x x 13lim 21+=→e4=(4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→[])arctan (1)1ln(lim 0'-'--+=→x x x e x x2011111lim x x e x x +--+=→111)1(lim 220-+⋅+-=→x x xe x x x 201)1(lim x e x x x +--=→x e x e xx x 2)1(lim 0-+-=→ 212lim 0-=-=→x xe x x题型2 利用洛必达法则求其他未定型极限解题方法：其它未定型极限主要包括∞-∞，∞⋅0，∞1，00 ，0∞，首先要把它们转化为00型或∞∞型，再用洛必达法则求之。
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
洛必达法则教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解洛必达法则的概念及其适用条件；（2）掌握洛必达法则的解题步骤；（3）能够运用洛必达法则解决相关的极限问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，让学生体会洛必达法则的应用价值；（2）通过小组讨论，培养学生的合作意识和探究能力；（3）通过课堂练习，提高学生的解题技巧。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学问题的探究精神；（2）提高学生的逻辑思维能力，培养学生的严谨学风；（3）使学生认识到洛必达法则在解决实际问题中的重要性。
二、教学内容1. 洛必达法则的概念及其适用条件；2. 洛必达法则的解题步骤；3. 洛必达法则的应用实例。
三、教学过程1. 导入新课通过回顾导数的概念，引导学生思考极限问题，从而引出洛必达法则。
2. 新课讲解（1）洛必达法则的概念及其适用条件：讲解洛必达法则的定义，并结合实例说明其适用条件。
（2）洛必达法则的解题步骤：详细讲解洛必达法则的解题步骤，包括判断适用条件、求导、代入原式等。
（3）洛必达法则的应用实例：通过典型例题，让学生掌握洛必达法则的解题技巧。
3. 小组讨论将学生分成小组，讨论以下问题：（1）洛必达法则与导数的概念有何联系？（2）洛必达法则在解决实际问题中的应用有哪些？（3）如何判断洛必达法则的适用条件？4. 课堂练习布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与反思引导学生总结洛必达法则的解题步骤，反思洛必达法则在解决极限问题中的应用。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性等；2. 课后作业：检查学生完成课后练习题的情况；3. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对洛必达法则的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：高中数学教材；2. 多媒体课件：用于展示洛必达法则的概念、解题步骤、应用实例等；3. 练习题：课后练习题、课堂测试题等。
通过以上教学设计方案，帮助学生掌握洛必达法则，提高学生的数学素养和解题能力。
D3_2 洛必达法则
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
洛
lim
x
1
1 x
2
1 x2
型
lim
x
1
x2 x
2
lim
x
1
1 x2
1
1
思考:
如何求
lim
n
π 2
arctan
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 型未定式
定理 2.
2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim f (x) 存在的情形加以证明 . xa F (x)
1) lim f (x) 0的情形 xa F (x)
1
lim f (x) lim F (x) xa F (x) xa 1
f (x)
0型
0 lim
F
1 2 ( x)
F
(
x)
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
x0
洛必达法则的内容及运用注意事项
洛必达法则的内容及运用注意事项
1、分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
2、分子分母在限定的区域内是否分
别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，
直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，
再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
注意事项
1、谋音速就是高等数学中最重要的内容之一，也就是高等数学的基础部分，因此熟
练掌握谋音速的方法对努力学习高等数学具备关键的意义。
洛比达法则用作谋分子分母同
趋向零的分式音速。
2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
3、洛必达法则厚边未定式音速的有效率工具，但是如果仅用洛必达法则，往往排序
可以十分繁杂，因此一定必须与其他方法结合，比如说及时将非零音速的乘积因子分离出
来以精简排序、乘积因子用等价量替代等等。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求
这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
4.2 洛必达法则[4页]
![4.2 洛必达法则[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/57ba9b8fe43a580216fc700abb68a98271feace7.png)
练习
求极限（3）
lim
x0
1
x2 cos
x
;（4）
lim
x
ex x3
.
解 （3） lim x2 lim 2x lim 2 2 ; x0 1 cos x x0 sin x x0 cos x
（4）
lim
x
ex x3
=
lim
x
ex 3x2
= lim ex x 6x
= lim ex = = . 6 x 6
x0
1 cos x
x0
sin x
lim xsin x 3cos x 3 .
x0
cos x
（2） lim x0
ln x xn
= lim x0
x1 nxn1
lim
x0
xn n
0
.
学生 完成 65′
新知识
“ 0 ”型和“ ”型是未定式的两种最基本类型，其它类型的未定式还
0
有 0 型、 型、 00 型、1 型、 0 型等．一般都可以通过适当的方法化
状态，进而求出该极限．
知识巩固
例 求极限 lim sin 2x . x0 sin 5x
解 lim sin 2x lim (sin 2x) ' x0 sin 5x x0 (sin 5x)
教师 讲授 20′
lim 2 cos 2x x0 5cos 5x
2. 5
知识巩固
例
求极限
lim
x0
x
sin x3
4.2 洛必达法则
教学目标： （1）掌握洛必达法则，并会使用洛必达法则求极限； （2）掌握极限的形式判断，熟练使用洛必达法则； 教学重点： （1） 极限形式判断； （2） 洛必达法则的使用条件 ； 教学难点： （1） 洛必达法则的使用条件. 授课时数： 2 课时. 教学过程
3.2 洛必达法则
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
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高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
高等数学(第二版)上册课件：洛必达法则
lim f (x) 称为 “ 0 ” 型不定型极限
g(x)
0
（2）如果 lim f (x) , lim g(x)
lim f (x) g(x)
称为
“
”型不定型极限
lim[ f (x) g(x)]: " " 不定型 lim[ f (x) g(x)]: "0 " 不定型 lim[ f (x)]g (x) : "1 "、" 0 "、" 00 " 不定型
继续讨论.
1. 求下列极限：
练习3.2
(1) A 0 ，在 (, A) 与 ( A, ) 内可导，且 g '(x) 0 ，
(2)
lim
x
f (x) 0
，lxim g( x) 0
，
(3)
lim
x
f x g x
，＜+
，
则 lim f x lim f x
．
x g x x g x
.
进一步地，若极限
lim f (x) xa g(x)
( 在 x , a 之间)
F (x) F (x) F (a) F( )
lim f ( ) xa F ( )
推理 1 仍然成立.
推论 2
若 lim f (x) F ( x)
则
型，且
x ,
满足定理1条件,
定理3.6 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件：
b 0 ）．
解
sin ax lim
lim a cos ax
a .
x0 bx
x0 b
高三数学 教案 洛必达法则使用条件范围
洛必达——法国数学家洛必达(Marquis de l'Hôpital,1661-1704)，)又音译为罗必塔(L'Hôpital)法国的数学家，伟大的数学思想传播者。
人物生平1661年洛必达出生于法国的贵族家庭。
1704年2月2日卒于巴黎。
他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研究。
他早年就显露出数学才能，在他15岁时就解出帕斯卡的摆线难题，以后又解出约翰·伯努利向欧洲挑战“最速降曲线问题”。
稍后他放弃了炮兵的职务，投入更多的时间在数学上，在瑞士数学家伯努利的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。
洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，洛必达于前言中向莱布尼兹和伯努利致谢，特别是约翰·伯努利。
洛必达逝世之后，伯努利发表声明该法则及许多的其它发现该归功于他。
主要贡献洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。
他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》(1696)，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。
在书中第九章记载著约翰‧伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则」，就是求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。
后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。
洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。
他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去世，因此这本积分学教科书未能完成。
而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。
人物形象洛必达是法国中世纪的王公贵族，他喜欢并且酷爱数学，后拜伯努利为师学习数学。
但洛必达法则并非洛必达本人研究。
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则(二)
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则（二）高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则（二）一、引言在上一篇文章中，我们学习了极限的运算法则的基本概念和常用方法。
本篇文章将继续讨论极限的运算法则，并引入洛必达法则，通过具体的例子和练习来加深理解。
二、乘法法则和除法法则1. 乘法法则当两个函数的极限存在时，它们的乘积的极限等于两个函数的极限的乘积。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)g(x)]=AB。
【示例】求lim(x→2)(x^2+3x-10)。
解：根据乘法法则，lim(x→2)(x^2+3x-10)=lim(x→2)(x-2)(x+5)。
当x→2时，(x-2)(x+5)→0×7=0。
所以，lim(x→2)(x^2+3x-10)=0。
2. 除法法则当两个函数的极限存在时，它们的商的极限等于两个函数的极限的商，其中除数不为0。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B（B≠0），则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。
【示例】求lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)。
解：根据除法法则，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=[lim(x→1)(x+1)]/(lim(x→1)(x-1))。
当x→1时，分子和分母分别趋于2和0，所以lim(x→1)(x+1)/(x-1)不存在。
三、洛必达法则1. 洛必达法则的引入当我们遇到一些特殊的极限形式时，如果直接套用极限的运算法则并不能得到准确的结果，我们需要使用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们解决一些“0/0”或“∞/∞”的不定型极限。
2. 洛必达法则的表述设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=0或±∞，若lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]存在且不为无穷大，则有lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]。
2 洛必达法则
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a F ( x ) x a F ( x ) x a F ( x )
ln sin x 例3 求 lim . 2 x ( 2 x ) 2 ln s in x cos x 解 lim lim 4( 2 x ) sin x ( 2 x ) 2 x x 2 2 sin x 1 lim 8 x 8
存在 , 此时只能用其它方法来求 .
x cos x 等号是虚拟的 极限不存在 。 例如 求 lim x x 1 sin x lim (1 sin x ) 解 原式 lim
x 1 1 洛必达法则失效. 原式 lim (1 cos x ) x x
x
1
x3 3 x 2 例2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1 x3 3 x 2 3 x2 3 解 lim 3 lim 2 2 x 1 x x x 1 x 1 3 x 2 x 1 6x 3 lim x 1 6 x 2 2
1 a x ln a b x ln b c x ln c lim x x x x 0 a b c
ln
3
abc
1 x
a x bx cx 3 abc lim x 0 3
高等数学（上）
例12. 确定常数a、b,使极限
1 a cos 2 x b cos 4 x 存在，并求出其值。 lim 4 x 0 x a=-4,b=3
高等数学（上）
课堂练习
一、 用洛必达法则求下列极限：
sin x 1、 ( lim ) x0 x
1 1 cos x
洛必达法则高中教学
洛必达法则高中教学洛必达法则在高中教学中的运用洛必达法则是物理学中的一个重要定理，它告诉我们力的大小和物体的加速度之间的关系。
不仅如此，洛必达法则在高中教学中也有着广泛的应用，特别是在帮助学生理解各种物理问题时能够发挥非常重要的作用。
下面我们将讨论在高中教学中如何应用洛必达法则。
一、力和加速度关系的教学首先，洛必达法则最基本的应用就是帮助学生理解力和加速度之间的关系。
在高中物理中，学生通常会学习一些基本力学概念，如牛顿第一、二、三定律等。
然而，在这些定律及相关公式中，都涉及到了力和加速度的关系。
通过讲解洛必达法则，教师可以帮助学生更好地理解力和加速度间的定量关系，从而帮助学生更好地理解力学概念。
二、应用于力学问题的教学除了理解力和加速度关系外，洛必达法则也可应用于解决各种力学问题。
在高中物理教学中，教师通常会给学生提供各种力学问题，如一个小球沿斜面滑动等，让学生通过运用所学的物理知识解决问题。
在这些问题中，应用洛必达法则可以帮助学生更好地分析、计算和解决物理问题。
三、动能定理的教学洛必达法则还可与动能定理概念相结合，帮助学生更好地理解这个概念。
在高中物理中，学生通常需要掌握动能定理公式，即动能等于（1/2）mass x velocity^2。
通过运用洛必达法则，我们可以更好地理解这个公式中包含的物理意义。
通过帮助学生理解动能定理，教师可以帮助学生更好地理解物理中的动能变化概念。
四、应用于摩擦力问题的教学在物理中，摩擦力是一个非常重要的概念。
应用洛必达法则，教师可以帮助学生更好地理解摩擦力的概念，并解决各种摩擦力相关问题。
特别是在针对斜面或倾斜平面上的物体用力问题，运用摩擦系数与斜面之间的关系，结合洛必达法则相结合，能够更好地帮助学生掌握摩擦力的概念。
综上所述，洛必达法则在高中教学中具有极其重要的应用价值。
学生可以通过学习洛必达法则，更好地掌握物理中力的概念，并能够更好地解决物理问题。
教师可以通过讲解洛必达法则，帮助学生更好地理解各种力学概念，并快速解决各类相关问题。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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二洛必达法则-教学目标与基本要求第五章定积分一、教学目标与基本要求1、理解定积分的概念和基本性质，使学生牢固掌握定积分概念，理解定积分是一种和式极限，对定积分解决问题的思想有初步体会。
2、理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。
通过学习，使学生更深入理解定积分和不定积分，微分和积分间的联系。
3、掌握定积分的换元法与分部积分法4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。
5、了解定积分的近似计算法。
6、理解定积分的来源，几何及物理意义，为以后学习其他专业课程打下基础掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、教学内容及学时分配：第一节定积分的概念与性质 2学时第二节微积分基本公式 2学时第三节定积分的换元法和分部积分法 3学时第四节反常积分 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：定积分的概念和性质。
微积分基本定理，积分的换元积分法。
广义积分。
2、难点：定积分概念的规则。
定积分的换元积分法和分步积分法的运用四、教学内容的深化和拓宽：1、无穷限反常积分的审敛法2 、无界函数的反常积分的审敛法3 、Γ函数5.1定积分概念一、内容要点1、定积分问题举例（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢502、定积分定义3、定积分慨念的意义定积分慨念具有广泛的直观背景，在各种科技领域中有大量实际问题，都可归结为教学上的定积分问题，这些问题再应用中有详细讨论。
4、定积分的存在定理连续或在区间上只有有限个第一类间断点，则定积分存在。
5、定积分的性质（1）线性性（2）可加性（3）单调性（4）估值性（5）定积分中值定理二、教学要求与注意点教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质。
注意点：(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...»(3) «Skip Record If...»(4) 定积分的几何意义（5）用定义计算三、作业同步训练291 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记«Skip Record If...»在[«Skip Record If...»]上任意取一点«Skip Record If...»，作和式：«Skip Record If...»如果无论[a,b]作怎样分割，也无论«Skip Record If...»在[«Skip Record If...»]怎样选取，只要«Skip Record If...»有«Skip Record If...»I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做«Skip Record If...»即I=«Skip仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢50Record If...»其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
注1．定积分还可以用«Skip Record If...»语言定义2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=«Skip Record If...»和S=«Skip Record If...»3有定义知道«Skip Record If...»表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»4定义中的«Skip Record If...»不能用«Skip Record If...»代替5如果«Skip Record If...»存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：«Skip Record If...»在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
6几何意义当f(x)«Skip Record If...»0时，«Skip Record If...»表示曲边梯形的面积；当f(x)«Skip Record If...» 0时，«Skip Record仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢50If...»表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则«Skip Record If...»表示曲边梯形面积的代数和。
[例1]计算«Skip Record If...»解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»取«Skip Record If...»作和式：«Skip Record If...»所以：«Skip Record If...»=e-1 7．按照定义5．2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，«Skip Record If...»是当a<b时才有意义，而当a=b与a>b时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1．a=b时，«Skip Record If...»=02．a>b时，«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即«Skip Record If...»性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢50性质3：无论a,b,c的位置如何，有«Skip Record If...»性质4：f(x)«Skip Record If...»则«Skip Record If...»性质5：若f(x)«Skip Record If...»g(x)则«Skip Record If...»«Skip Record If...»性质6：«Skip Record If...»性质7：设在«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存一点«Skip Record If...»，使下式成立，«Skip RecordIf...»例1．利用定积分几何意义，求定积分值«Skip Record If...»上式表示介于«Skip Record If...», «Skip Record If...», «Skip Record If...», «Skip Record If...»之间面积仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢50例2、（估计积分值）证明«Skip Record If...»证：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上最大值为«Skip Record If...»，最小值为2∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»5．2微积分基本公式一、内容要点１、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系２、积分上限函数 «Skip Record If...»３、积分上限函数的导数 «Skip Record If...»４、牛顿—莱布尼兹公式 «Skip Record If...»５、举例例1 «Skip Record If...»例2 «Skip Record If...»例3«Skip Record If...»例4设函数f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，证明：在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使 «Skip RecordIf...»例5设函数f（x）在[0，+∞）内连续，并且f（x）>0 ，证明：F（x）=«Skip Record If...»在（0，+∞）内为单调增加函数。
例6求«Skip Record If...»二、教学要求与注意点教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质，掌握定积分基本定理，会用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分注意点：牛顿—莱布尼兹公式的条件三、作业同步训练30一．变上限积分函数的导数仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢50设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为«Skip Record If...»由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）称«Skip Record If...»是变上限积分的函数。