人教版2019年湖北武汉中考数学试题(解析版)

{来源}2019湖北武汉初中毕业、升学考试数学
{适用范围：3．九年级}
{标题}2019年湖北省武汉市初中毕业、升学考试
数 学
（满分150分，考试时间120分钟）
{题型：1－选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． {题目}1．（2019湖北武汉1）实数2019的相反数是（ ） A ．2019 B ．－2019 C ．2019
1
D ．2019
1
-
{答案}B
{解析}本题考查了相反数的求法，求相反数一般方法在原数前加“－”，再化简，2019的相反数是－2019．故选B ． {分值}3
{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别：常考题} {难度：1－最简单}
{题目}2．（2019湖北武汉2）式子
1-x 在实数范围内有意义，则
x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞0
B ．x≥－1
C ．x≥1
D ．x≤1 {答案}C
{解析}本题考查了二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，由1-x 在实数
范围内有意义，得x －1≥0,解得x≥1，故选B ． {分值}3
{章节:[1-16-1]二次根式}
{考点:二次根式的有意义的条件}
{考点:解一元一次不等式}
{类别：易错题}
{难度：2－简单}
{题目}3．（2019湖北武汉3）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球D．3个球中有白球
{答案}B
{解析}本题考查了事件类型的判断，因为3个球都是黑球是随机事件，所以A错误；因为3个球都是白球是不可能事件，所以B正确；因为三个球中有黑球是随机事件，所以C错误；因为3个球中有白球是随机事件，所以D错误．故选B．
{分值}3
{章节:[1-25-1-1]随机事件}
{考点:事件的类型}
{类别：常考题}
{难度：2－简单}
{题目}4．（2019湖北武汉4）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）
A．诚B．信C．友D．善
{答案}D
{解析}本题考查了轴对称图形的定义，“诚”、“信”、“友”都不是轴对称图形，只有“善”是轴对称图形。

故选D．
{分值}3
{章节:[1-13-1-1]轴对称}
{考点:轴对称图形}
{类别：常考题}
{难度：1－最简单}
{题目}5．（2019湖北武汉5）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（）
A．B．C．D．
{答案}A
{解析}本题考查了简单组合体的三视图，从左面看易得第一列有2个正方形，第列
有1个正方形，如图所示：故选A．
{分值}3
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:简单组合体的三视图}
{类别：易错题}
{难度：2－简单}
{题目}6．（2019湖北武汉6）“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y 与x 的对应关系的是（ ）
{答案}A
{解析}本题考查了函数图象，由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y 的初始位置不为0，则B 不正确；由于水从壶底小孔均匀漏出，所以单位时间内高度变化相同，所以y 是一次函数，所以C 、D 错误．故选A ． {分值}3
{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:函数的图象} {考点:一次函数的图象} {类别：易错题} {难度：3－中等难度}
{题目}7．（2019湖北武汉7）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程ax 2＋4x ＋c ＝0有实数解的概率为（ ） A ．4
1 B ．31 C ．21 D ．3
2
{答案}C
D
C
B
A
{解析}本题考查了一元二次方程根的情况与系数的关系、用列举法求概率，列表如下：
从表中可知有12种结果，其中使ac≤4的有6种结果，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），则P ＝61
122
=．故选C ． {分值}3
{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:根的判别式} {考点:一步事件的概率} {类别：常考题} {难度：3－中等难度}
{题目}8．（2019湖北武汉8） 已知反比例函数x
k y =的图象分别位于第二、第四象限，
A （x 1，y 1）、
B （x 2，y 2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC⊥x 轴，
C 为垂足，连接OA ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2；③ 若x 1＋x 2＝0，则y 1＋y 2＝0其中真命题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3 {答案}D
{解题过程}本题考查了反比例函数的性质，∵S △ACO ＝1
2
|k|＝3，∴|k|＝6，又图象在第二、第四象限，∴k ＝－6．故①正确；∵x 1＜0＜x 2，∴点A 在第二象限，点B 在
第四象限，∴y 1>0，y 2〈0，∴y 1＞y 2，故②正确；∵y 1＝
16x -，y 2
＝26x -，∴y 1＋y 2＝1
6x -＋2
6
x -＝12121212666()x x x x x x x x ---+==，又x 1＋x 2＝0，∴ y 1＋y 2＝0．故③正确．故选D ． {分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数k 的几何意义} {考点:反比例函数的性质} {类别：易错题} {难度：3－中等难度}
{题目}9．（2019湖北武汉9） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ） A ．
2
B ．2
π C ．23 D ．
2
5
{答案}A
{解题过程}由题得∠1＝∠2＝12
∠C＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6
设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m ＋n ＝90°＋45°＝135°
∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆） 如图，C 的路径为MN ,E 的路径为PQ 设⊙O 的半径为1，则⊙D 2，
∴MN PQ
＝421
36022360
t
t ππ⨯⨯⨯
4t 2t t
1
6
54
32Q
P E
D
A
O
B
C M N {分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:角平分线的性质} {考点:弧长的计算} {类别：常考题} {难度：4－较高难度}
{题目}10．（2019湖北武汉10）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是（ ）
A ．2a 2－2a
B ．2a 2－2a －2
C ．2a 2－a
D ．2a 2＋a
{答案}C
{解题过程}本题考查了规律性问题， ∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2；
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，
∴250+251+252+…+299+2100
=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+ (249)
=（2101-2）-（250-2）
=2101-250，
∵250=a，
∴2101=（250）2•2=2a2，
∴原式=2a2-a．故选C．
{分值}3
{章节:[1-1-5-1]乘方}
{难度：5－高难度}
{类别：思想方法}
{类别：高度原创}
{考点:代数选择压轴}
{考点：规律－数字变化类}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
{题目}11．（2019湖北武汉11）计算16的结果是___________．
{答案}4
{解析}本题考查了二次根式的化简，164．因此本题填4．
{分值}3
{章节:[1-16-1]二次根式}
{考点:算术平方根} {难度：1－最简单} {类别：常考题}
{题目}12．（2019湖北武汉12）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是___________．
{答案}23
{解析}本题考查了中位数的求法，将数据重新排列为18、20、23、25、27或27，25，23，20，18，位于中间的数为23．故这组数据的中位数为23．因此本题填23． {分值}3
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {难度：2－简单} {类别：常考题}
{题目}13．（2019湖北武汉13） 计算41
16
22
---a a a
的结果是___________． {答案}
1
4
a + {解析}本题考查了分式运算，41
1622--
-a a a
＝ ()()244444a a a a a a +-+-+-（）（）＝ ()()2444a a a a -++-（）
＝
()2444a a a a --+-（）= ()444a a a -+-（）＝ 1a （+4）
．因此本题填1
4a +．
{分值}3
{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {考点:因式分解－平方差} {难度：3－中等难度}
{类别：常考题}
{题目}14．（2019湖北武汉14）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE ＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________．
{答案}21°
{解析}本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF．∵∠ADF＝90°，AE＝EF，∴DE＝1
AF＝
2 AE，∴∠DAE＝∠ADE．∴∠BCF＝∠ADE．∵AE＝CD，DE＝AE,∴DE＝CD．∴∠DEF＝∠DCF．∵∠DEF＝∠DAE＋∠ADE＝2∠ADE．∴∠DCF＝2∠ADE．∵∠BCD＝63°，∴∠BCF＋∠DCF＝63°．即3∠ADE＝63°，∴∠ADE＝21°．即∠ADE＝21°．因此本题填21°．
{分值}3
{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}
{考点:等腰三角形的性质}
{考点:平行四边形边的性质}
{类别：常考题}
{难度：4－较高难度}
{题目}15．（2019湖北武汉15）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx的解是___________．{答案}x1＝－2，x2=5
{解析}本题考查了解一元二次方程、二次函数的性质，解法一：∵抛物线y＝ax2＋
bx＋c经过点A（－3，0）、B（4，0）两点，∴y＝a（x＋3）（x－4）＝ax2－2ax－12a．∴b ＝－2a，c＝－12a．∴一元二次方程为 a（x－1）2－12a＝－2a＋2ax，整理，得ax2－3ax－10a＝0,∵a≠0，∴x2－3x－10＝0，解得x1＝－2，x2＝5。

解法二：关于x 的一元二次方程a（x-1）2+c=b-bx变形为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a（x-1）2+b（x-1）+c，因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（4，0），所以抛物线y=a（x-1）2+b （x-1）+c与x轴的两交点坐标为（-2，0），（5，0），所以一元二方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0的解为x
，x2=5．因此本题填x1＝－2，x2=5．
1=-2
{分值}3
{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}
{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}
{考点:二次函数图象的平移}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{考点:解一元二次方程－因式分解法}
{类别：常考题}
{难度：4－较高难度}
{题目}16．（2019湖北武汉16）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝2
4．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________．
{答案
{解题过程}本题考查了旋转图形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、最短路线问题，由题构造等边△MFN，△MHO，图中2个彩色三角形全等（△MFH≌△MNO（SAS）），
∴OM＋ON＋OG＝HO＋HF＋OG，∴距离和最小值为FG＝
勾股定理），因
此本题填
．
4
图2
F
{分值}3
{章节:[1-23-1]图形的旋转}
难度：5－高难度}
{类别：思想方法}
{考点：几何填空压轴}
{考点:全等三角形的性质}
{考点:最短路线问题}
{考点:勾股定理}
{题型:3-解答题}三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
{题目}17．（2019湖北武汉17）计算：（2x2）3－x2·x4
{解析}本题考查了整式的混合运算，根据同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可．
{答案}解：原式＝8x6－x6＝7x6
{分值}8
{章节:[1-14-1]整式的乘法}
{考点:积的乘方}
{考点:幂的乘方}
{考点:同底数幂的乘法}
{考点:合并同类项}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}18．（2019湖北武汉18）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F
{解析}本题考查了平行线的判定与性质.先由∠A＝∠1可得到AE∥BF，进而得到∠2＝∠E.再由CE∥DF可得到∠2＝∠F，∠E＝∠F即可得证．
{答案}证明：∵∠A＝∠1，
∴AE∥BF，
∴∠E＝∠2．
∵CE∥DF，
∴∠F＝∠2．
∴∠E＝∠F．
{分值}8
{章节:[1-5-3]平行线的性质}
{考点:平行线的性质与判定}
{考点:同位角相等两直线平行}
{考点:两直线平行内错角相等}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}19．（2019湖北武汉19）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
各类学生人数条形统计图
各类学生人数扇形统计图
（1）这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________
（2）将条形统计图补充完整
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？{解析}本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用.（1）由条形统计图中可以看出C类的人数为12，扇形统计图中可以看出C类所占抽取学生人数的比例为24%，C类的人数除以所占抽取学生人数的比例即可得到学生总人数；D类人数所占抽取学生人数的比例乘以360°，即可得到D类所对应的扇形圆心角度数；
（2）用抽取学生人数减去B、C、D类的人数即可得到A类的人数，即可补充条形统计图；
（3）用B类学生所占抽取学生人数的比例乘以学校总人数即可得到该校B类的学生人数．
{答案}（1）抽取学生人数为12÷24%＝50；D类所对应的扇形圆心角的大小为
10
⨯⨯=，故答案为50，72°
100%36072
50
（2）A类人数为50－23－12－10＝5，补充条形统计图如图
（3）1500×23
＝690（人），∴估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690 50
人．
{分值}8
{章节:[1-10-1]统计调查}
{考点:条形统计图}
{考点:扇形统计图}
{考点:用样本估计总体}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}20．（2019湖北武汉20）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB
图1 图2
{解析}本题主要考查了尺规作图和平移作图.（1）作平行四边形AFDC即可；（2）作
C关于AB的对称点C′，连接C′D，交AB于点G即可；（3）将线段CD向下平移三
个单位长度，得到C1D1，过E作EM∥CC1，交C1D1于点M即为所求．
{答案}（1）画图如图1；（2）画图如图1；（3）画图如图2．
图1 图2
{分值}8
{章节:[1-5-5]平移}
{考点:平移作图}
{考点:作图－轴对称}
{类别:北京作图}
{难度:4-较高难度}
{题目}21．（2019湖北武汉21）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，
DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点
（1）如图1，求证：AB2＝4AD·BC
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求
图中阴影部分的面积
图1 图2
{解析}本题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、切线长定理和扇形
面积公式等.
（1）分别连接OD、OE、OC，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，由
切线的性质可得OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，由于AD∥BC，不难得到∠ODE＋∠OCE
＝90°，因为∠ODE＋∠DOE＝90°，从而∠DOE＝∠OCE，进而可得△ODE∽△COE，
则OE2＝ED·EC，又AB＝2OE，AD＝ED，EC＝BC，带入即可得到AB2＝4AD·BC
（2）由（1）知∠ADE＝∠BOE，又∠ADE＝2∠OFC，∠BOE＝2∠COF＝2∠BOC，即∠
COF＝∠OFC＝∠BOC，则CD垂直平分OF，则∠AOD＝∠DOE＝∠
OFD＝30°，∠BOE＝
120°，从而求得圆的半径OA2S△OBC－S扇形OBE即可得到阴影部分的面积．{答案}证明：（1）如图1，连接OD，OC，OE．
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，AD＝ED，BC＝EC，∠ODE＝1
2∠ADC，∠OCE＝1
2
∠
BCD
∴AD//BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12
（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°，
∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ． ∴OE EC ED
OE
=，OE 2＝ED·EC
∴4OE 2＝4AD·BC，∴AB 2＝4AD·BC
（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ， ∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

∵OE ⊥CD ，∴CD 垂直平分OF ．
∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠OFD ＝30°，∠BOE ＝120°． ∴3tan30
AD
r OA ==
=，BC ＝OB ⋅tan60°＝3． ∴S 阴影＝2S △OBC －
S 扇形OBE ＝
B
B
图1 图2 {分值}8
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:切线的性质} {考点:切线长定理}
{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质}
{考点:两直线平行同旁内角互补}
{考点:等角对等边}
{考点:垂直平分线的性质}
{考点:扇形的面积}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}22．（2019湖北武汉22）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值
{解析}考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键.
（1）①利用待定系数法设y＝kx＋b，带入两个点的坐标即可求得y关于x的函数解析式为y＝－2x＋200；
②将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）即可得到进价为40；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200），利用二次函数性质求出w 的最大值即可，w 取得最大值的点即为所对应的售价． （2）w ＝（x －40－m ）（－2x ＋200），其中x≤65，利用二次函数性质求出w 的最大值令其等于1400，即可求得m 的值．
{答案}（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有，50100
6080k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得，k
＝－2，b ＝200，y 与x 的函数关系式是y ＝－2x ＋200；
（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2（x －70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；
（3）依题意有，w ＝（－2x ＋200）（x －40－m ）＝－2x 2＋（2m ＋280）x －8000－200m
＝2
21401260180022m x m m +⎛⎫--+-+ ⎪⎝
⎭ ∵m ＞0，∴对称轴140=702
m x +>，
∵－2＜0，∴抛物线开口向下， ∵x≤65，∴w 随x 的增大而增大，
∴当x ＝65时，w 有最大值（－2×65＋200）（65－40－m ）， ∴（－2×65＋200）（65－40－m ）＝1400， ∴m ＝5． {分值}10
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:商品利润问题}
{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
{题目}23．（2019湖北武汉23）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB n BC
=，M 是BC 上一点，
连接AM
（1） 如图1，若n ＝1，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM ＝BN （2） 过点B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q ① 如图2，若n ＝1，求证：CP BM PQ
BQ
=
② 如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan ∠BPQ 的值（用含n 的式子表示）
图3
图2
图1
A
Q B
M
P
C
P
Q B M
A
C
M
N B
A
C
{解析}本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及三角函数的定义.
（1）n ＝1，即AB ＝BC ，延长AM 交CN 于点H ，由∠BAM ＋∠N ＝90°，∠BCN ＋∠N ＝90°得∠BAM ＝∠BCN ，则△ABM ≌△CBN ，故BM ＝BN ；
（2）过点C 作CD ∥BP 交AB 的延长线于点D ，由平行线分线段成比例可得CP DB PQ
BQ
=，
由（1）可知BM ＝BD ，即CP BM PQ
BQ
=得证；
（3）延长PM 到N ，使得MN ＝PM ，易知△PBM ≌△NCM ，则∠CNM ＝∠BPM ＝90°，即BP ∥CN ，所以∠BPQ ＝∠NCP ，由AB n BC
=得
2AB
n BM
=，
设PM ＝MN ＝1，则BP ＝CN ＝2n ，tan
∠BPQ ＝tan ∠NCP ＝PN CN
即可求解．
{答案}（1）证明：延长AM 交CN 于点H ，
∵AM 与CN 垂直，∠ABC ＝90°，
∴∠BAM ＋∠N ＝90°，∠BCN ＋∠N ＝90°， ∴∠BAM ＝∠BCN ． ∵n ＝1，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CBN ． ∴△ABM ≌△CBN ， ∴BM ＝BN ．
（2）①证明：过点C 作CD//BP 交AB 的延长线于点D ，则AM 与CD 垂直． 由（1），得BM ＝BD ．∵CD//BP ，∴CP DB PQ
BQ
=，即CP BM PQ
BQ
=.
②1n
.提示：延长PM 到N ，使得MN ＝PM ，易知△PBM ≌△NCM ，则∠CNM ＝∠BPM ＝90°，
∵AB n BC =，BC ＝2BM ，∴
2AB
n BM
=，
设PM ＝MN ＝1，则PB ＝CN ＝2n ，tan ∠BPQ ＝tan ∠NCP
＝PN CN
＝2PM CN ＝
2
2n ＝1n
H
图1
M
N B A
C
D
图2
P
Q B
M
C
N
图3
A
Q B
M
P
C
{分值}10
{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:全等三角形的性质} {考点:垂线定义}
{考点:平行线分线段成比例} {考点:正切}
{类别:常考题} {难度:5-高难度}
{题目}24．（2019湖北武汉24）已知抛物线C 1：y ＝（x －1）2－4和C 2：y ＝x 2 （1） 如何将抛物线C 1平移得到抛物线C 2？
（2） 如图1，抛物线C 1与x 轴正半轴交于点A ，直线43
y x b =-+经过点A ，交抛物线
C 1于另一点B ．请你在线段AB 上取点P ，过点P 作直线PQ ∥y 轴交抛物线C 1于点Q ，连接AQ
① 若AP ＝AQ ，求点P 的横坐标； ② 若PA ＝PQ ，直接写出点P 的横坐标.
（3） 如图2，△MNE 的顶点M 、N 在抛物线C 2上，点M 在点N 右边，两条直线ME 、NE 与抛物线C 2均有唯一公共点，ME 、NE 均与y 轴不平行．若△MNE 的面积为2，设M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，求m 与n 的数量关系
{解析}本题考查了二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质．熟练掌握直线与二次函数的交点求法是解题的关键.
（1）根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”得出；（2）①先求出直线AB 的解析式，再联立抛物线与直线AB 的解析式求得点P 的横坐标；②先根据两点间的距离公式表示出PA 和PQ 的长度，从而根据PA ＝PQ 列出方程即可求得点P 的横坐标.（3）设出经过M 与N 的直线解析式()21y k x m m =-+，再与抛物线联立得到一个一元二次方程.根据直线与抛物线有唯一公共点，从而得到一元二次方程根的判别式等于
0，得出1k 与m 的关系，最后根据△MNE 的面积为2，列出关于m 和n 的方程，化简整理即可.
{答案}（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位； （2）①k AB ＝43
-和A （3，0）易求AB ：y ＝443
x -+. ∵AP ＝AQ ，PQ ⊥AO ．∠PAO ＝∠QAO ，∴AQ ：y ＝443
x -.
联立244
333
y x y x x ⎧
=-⎪⎨⎪=--⎩
，得23-10+3=0x x ，∴31=p x ；
②设P （t ，434
+-x ），则Q （t ，322+-t t ）.易求：PQ ＝22++73t t -，PA ＝()533
t -. ∵PA ＝PQ ，∴23760t t --= ∴23
Q x =-. （3）设ME ：()21y k x m m =-+，
联立()2
12
y k x m m
y x
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，则22110x k x k m m -+-=， ∴221144k k m m ∆=-+，∴()211202k m k m -==即，∴22ME y mx m =-：. 同理：22NE y nx n =-：，
()()()()22
22,2111()222222m n E mn m n m n n mn m mn m n n mn n m mn m +⎛⎫∴ ⎪
⎝⎭
++⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴-+-⨯---⨯----= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭
化简得：3
3
()()42
m n m n ---
=， 3()8
2m n m n ∴-=-=即.
{分值}12
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数图象的平移}
{考点:两直线相交或平行问题}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{考点:其他二次函数综合题}
{难度:5-高难度}
{类别:常考题}。