2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)

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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
＝AD，DM＝MC即可．
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证明：在 MA 上取点 D，使 MD＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60° . ∴△MDC 是等边三角形． ∴CD＝MC. 在△ADC 与△BMC 中
∠3＝∠4， AC＝BC， ∠ADC＝∠BMC＝120° ，
∴△ADC≌△BMC. ∴AD＝BM. ∴MA＝MD＋DA＝MC＋MB.
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵∠BAC＝30° ，AB＝2 cm， AB ∴BC＝ ＝1 (cm)． 2 ∵∠ABD＝120° ， ∴∠DBC＝120° －60° ＝60° . ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90° －60° ＝30° . BC ∴BD＝ ＝0.5 (cm)． 2
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
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[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC， AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
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解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° .
AB ∵OE⊥AB，∴E 为 的中点．
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
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3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
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[研一题]
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，
AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC
＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于
D.求BD的长．
分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决． 返回
∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .
∴∠EOC＝80° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
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[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
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[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
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A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC，D为
垂 足，连接AC、BG，其中BG交AD、
AC于点E、F.
求证：BE＝EF.
证明：连接 AB， ∵BC 为直径， ∴∠BAC＝90° . ∴∠2＋∠DAC＝90° .
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∵∠C＋∠DAC＝90° ， ∴∠2＝∠C.
AG ∵ BA ＝ ，∴∠1＝∠C.
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB