应用留数定理计算实变函数积分

数学物理方法
例 4.2.2 求

2π
0
d (0 1) 的值。 2 1 2 cos
i |z|1 ( z 1)( z )dz
解： 令 z ei ，则
1 dz I | z| 1 1 ( z z 1 ) 2 iz
被积函数在 z 1内只有单极点 z0 ，其留数为
数学物理方法
计算 I
例 4.2.5



1 dx 的值。 2 n ( x 1)
1 1 解： f ( z ) 2 ，它具有两个 n 阶 n n n ( z 1) ( z i) ( z i)
极点 i ，其中极点 i 在上半平面，且有
1 d n 1 n Re sf (i ) lim ( z i) f ( z ) n 1 z i ( n 1)! dz (2n 2)! i 2 2 n 1 [(n 1)!] 2
0
R(cos ,sin ) d 2πi Res[ f ( z ), zk ]
k 1
n
（4.2.1）
1 z z 1 z z 1 , ) ， zk (k 1, 2, , n) 为 其中 f ( z ) R( iz 2 2i 单位圆 C : z 1 内部的 n 个孤立奇点。
数学物理方法
利用留数定理计算实积分
f ( x)dx 一般可采用如下步骤：
（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数 F ( z ) ，使得满足 F ( x) f ( x), 通常选用 F ( z ) f ( z ) ，只有少数例 外； （3）计算被积函数 F ( z ) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数， 然后求出这些留数之和； （4）计算辅助曲线上函数 F ( z ) 的积分值。通常我们选择辅助 线使得积分简单易求，甚至直接为零。
z
（2） Q ( z ) 在实轴上没有零点；
P( z) P( x) 则有 Res , zk Q( x) d x 2πiIm zk 0 Q( z ) P( x) 特别地，若对应实函数 f ( x) 为偶函数，则 Q( x )

（4.2.2）


0
f ( x) d x πi
2 n
解：被积函数 1
( x 1)
是偶函数，故有

因而

0
0 1 1 dx dx 2 n 2 n ( x 1) ( x 1)
I

0
1 1 1 dx dx 2 n 2 n ( x 1) 2 ( x 1)
数学物理方法
例 4.2.7 计算 I
0
又因为 Q ( z ) 的次数比 P ( z ) 的次数高两次，所以
zP( z ) lim zf ( z ) lim 0 z z Q ( z ) 因此，对于任给的 0 ，当 z R 充分大时，有
zf ( z ) f ( Rei ) Riei
数学物理方法



x2 dx 2 2 2 2 ( x a )( x b )
(a 0, b 0) 的值。
z2 解： f ( z ) 2 的分母多项式次数高于分子多项式次数 2 2 2 ( z a )( z b ) 两次，它在上半平面内有两个单极点 z1 ai, z2 bi ，所以
第四章 留数定理
1、留数定理
数学物理方法
2、应用留数定理计算实变函数积分
3、计算定积分补充题
4.2 应用留数定理计算积分
数学物理方法
在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在 无穷区间上的积 分．例如， 光学问题 中需要计算 菲涅耳积分


0
cos( x ) d x, e
ax
2

Re sf ( ) lim
z
i i 2 z 1 1
故由留数定理有
1 I 2 1 2
数学物理方法
例 4.2.3 求 I
i

2π
0
cos 2 d 1 2 p cos p 2
(0 p 1) 的值。
1 2i 1 2 2i 解： 令 z e ，由于 cos 2 (e e ) ( z z 2 ) ，因此 2 2 z 2 z 2 1 dz z4 1 I dz 1 2 | z| 1 | z| 1 2iz (1 pz )( z p ) zz 2 2 iz 1 2 p p 2 z4 1 设 f ( z) 2iz 2 (1 pz )( z p) 在积分区域 z 1内函数 f ( z ) 有二个极点 z 0, z p ，其中 z 0 为 二阶极点， z p 为一阶极点，而
数学物理方法
Res[ f ( z ), 0] lim d 2 [ z f ( z )] z 0 d z ( z pz 2 p p 2 z ) 4 z 3 (1 z 4 )(1 2 pz p 2) lim z 0 2i( z pz 2 p p 2 z )2
数学物理方法
证明 若令 z ei , 则
ei e i z z 1 ei ei z z 1 cos sin 2 2 2i 2i dz iei d izd i 并且由变换 z e 知，当 从0变到 2 π 时， z 恰好沿单位圆周 C ： z 1的正向绕一周，所以有

2π
0
R(cos ,sin ) d 2πi Res[ f ( z ), zk ]
k 1
n
数学物理方法
例 4.2.1 求 I
【解 】 令 z ei ，则

2π
0
d 的值. 2 cos
1 dz 2 1 I dz 2 2 | z | 1 | z | 1 z 1 iz i z 4z 1 2 2z 1 被积函数 f ( z ) 2 在 z 1内只有单极点 z 2 3 ，故 z 4z 1 2 I 2πi Res f ( z ), 2 3 i 1 4π lim z (2 3) 2 z 2 3 z 4 z 1 2π 3
故
I
dx (2n 2)! (2n 2)! 2 i { i } i 2 2 2 n 1 2 n 2 2 x 1 [(n 1)!] 2 2 [(n 1)!]

数学物理方法
计算 I
例 4.2.6


0
1 dx 的值。 2 n ( x 1)

Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
上式取 Im zk 0 ， 即为只取上半平面内的奇点求留数和。 故有
P( x) Res[ f ( z ), zk ] R Q( x) d x CR f ( z) d z 2πiIm zk 0
R
如果我们可以证出当 R 时， 可得到

2π
0
z z 1 z z 1 1 R(cos ,sin ) d R( , ) dz C 2 2i iz
z z 1 z z 1 1 当有理函数 f ( z ) R( , ) 在圆周 C ： z 1 的 2 2i iz 内部有 n 个孤立奇点 zk (k 1, 2, , n) 时，则由留数定理有
I 2 πi Res[ f ( z ), ai] Res[ f ( z ), bi] a b 2 πi 2 2 2 2 2i(a b ) 2i(b a ) π ab
1 p2 2ip 2 1 p4 Res[ f ( z ), p] lim[( z p) f ( z )] z p 2ip 2 (1 p 2 )
因此
I 2πi Res[ f ( z ), 0] Res[ f ( z ), p] 1 p2 1 p4 2πi 2 2 2 2i p 2i p (1 p ) 2πp 2 1 p2
数学物理方法
4.2.1

2
0
R(cos ,sin ) d 型积分
这是一个实变量的积分， 要用留数计算， 可按上面步骤进行 讨论。 定 理 设 f ( z ) R(cos ,sin ) 为 cos ,sin 的 有 理 函 数，且在 [0, 2 ] 上连续，则

2

CR
f ( z )dz 0 ，那么便



P( x) d x 的计算公式。 Q( x)
数学物理方法
事实上，对于积分

CR
f ( z )dz 0 ，令 z R ei (0 ) ，
π
则 d z Riei d ，于是

CR
f ( z )dz f ( Rei ) Riei d

0
sin( x 2 ) d x ； 热 传 导 问 题 中 需 要 计 算

0
cos bx (
x ) ；阻尼振动问题中需要计算积分 d


0
sin x dx x
等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的 技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往 往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布 尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可 以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时， ， 再利用留数定理， 则积分显得方便易求。 z x 即对应于实积分）
z 平面 zk
·
CR
z3 z2
R x
z1
P( x) 。 取 R 充分大， Q( x ) 使 C 所围区域包含 f ( z ) 在上半平面内的一切（有限）孤 立奇点，即包含满足条件 Im( zk ) 0 的奇点。故由留数定 f ( x)
理得到

C
f ( z ) d z 2 πi
Im zk 0
P( x) 为偶函数，则 Q( x )
特别地，若对应实函数 f ( x)


0
f ( x) d x πi
Im zk 0

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Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
例 4.2.4 计算 I



1 dx 的值。 2 x 1
解： f ( z )
1 1 ， 它具有两个单极点 i ， 2 z 1 ( z i )( z i )
其中单极点 i 在上半平面，且有
故
1 1 Re sf (i ) lim( z i ) f ( z ) lim z i z i z i 2i
dx 1 I 2 2 i{ } x 1 2i


问题： 能否用此方法计算 I
x dx 的值？ 2 x 1
Im zk 0

Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
证明： 在 z 平面上，选取积 分 路 径 C 为 上 半 圆 周 CR ：
y
z R,Im( z) 0 和实轴上线段
R x R, Im( z ) 0
围 成的闭曲线（如右图所示） 。 在 实 轴 上 被 积 函 数 即 为
从而

即
CR
f ( z )dz f (Rei ) Riei d π
0
π
z R CR
lim

f ( z) d z 0

故



f ( x) d x

P( x) d x 2πi Res[ f ( z ), zk ] Q( x ) Im zk 0
数学物理方法
P( x) 4.2.2 d x 型积分 Q ( x ) P( z ) 定理 设 f ( z) 为有理函数，其中 P( z ), Q( z ) 为互质多项式， Q( z )

并且 （1）分母 Q ( z ) 的次数至少比 P ( z ) 的次数高两次； （或表为 lim zf ( z ) 0 ）