21.1.1二次函数(沪科版)

3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 。 C
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
圆的面积增加多少？
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴
③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
④ ∵ ⑤ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
解：设围成的矩形水面的 一边长为x m,则另一边长 为(20-x)m.若它的面积是S m2, 则有 S=x(20-x) 即S=-x2+20x
0<x<20
问题:
问题3： 某工厂一种产品今年的年产量是20件, 计划明后两年增加产量.如果每年的增长率为x,那 么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值 而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两 年后的产量为 y 20 1 x 2
(2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
问题:
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
小结
拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
E
F
C
随堂练习
5.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a(30-a)=30a-a² = -a² +30a .
是二次函数关系式.
随堂作业：相信你一定行 1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均 结600个橙子。现准备多种一些橙子树以 提高产量，但是如果多种树，那么树之间 的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵 树就会少结5个橙子。 （1）问题中有那些变量？ （2）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子 的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的 关系式。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）化简后自变量的最高次数为 2 ，可以 没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）一般自变量的取值范围是任意实数 但在 实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有 意义
(1) y=3(x－1)² +1 1 __ (2)y=x+ x (3)s=3－2t²
(4)y=(x+3)² －x²
(是) (否) (是) (否) (否) (是)
(7) y=x² +x³ +25 (否)
(8)y=2² +2x (否)
(5)y= 3－x
(6)v=r ²
问题 一玩具厂，有装配工15人，规定每 人每天应装配玩具190个，但如果每 增加一人，那么每人每天可少装配 10 个，问增加多少人可使每天装配 总数最多？最多时是多少个？
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？
打开你的记忆
1. 函数的定义：
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函 数．） 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗? ( 正比例函数，一次函数)
x
0
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函
则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1 (x≠0)是一次
3或1或2 函数,则k的值一定是______
3 5 或 2
随堂练习
3、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm
时，圆的面积增加ycm² 。
（1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，
观察与总结
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
m=4/3 n=-2/3
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
随堂练习
4、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，
AB=DC，∠B=600，梯形的周长为60，
设腰AB=x，梯形面积为y. （1）写出y关于x的函数关系式，并求出 自变量x的取值范围。 （2）当x=15时，求y的值。 x
B A D
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
y=（m+3）x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
问题:
问题1： 正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可 以表示为 y=6x2①
问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在 水库中为一块矩形的水面投放鱼苗，如图所示， 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多 少？
即
y 20 x2 40 x 20③


③式表示了两年后的产量y与增长率x之间的关系, 对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察与总结
y=6x2 ①
S=-x2+20x
②
y 20 x2 40 x 20③ y是x的函数吗? y是x的一次函数？
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做二次函数。
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c是常 数，a≠0)的函数叫做二次函数;任何一个 二次函数的表达式都可以化y=ax² +bx+c(其中
a,b,c是常数，a≠0)的形式，所以我们把它叫做 二次函数的一般形式 称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项
c为常数项,
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2

二次函数y=ax² +bx+c中a≠0,而b、c可以为0.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连 M N 接相同两顶点的对角线是同一条 对角线,所以多边形的对角线总数 ②式表示了多边形的 1 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 即 1 2 3 个值,d都有一个对应值, d n n② 2 2 即d是n的函数.


（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
2.如果函数y=(k-3) 数,