数学分析(4)复习提纲(全部版)
数学分析总结复习提纲
数学分析〔3〕总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉〞等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道〞等词的内容为较低要求内容。
第十二章各种积分之间的联系§1 各种积分之间的联系公式理解格林公式及高斯公式，了解斯托克斯公式；掌握利用格林公式计算平面曲线积分和利用高斯公式计算曲面积分的方法；会用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分，会用平面曲线积分计算平面图形的面积，会用曲面积分计算立体的体积。
§2曲线积分及路径的无关性理解平面曲线积分及路径无关的四个等价条件，了解空间曲线积分及路径无关的四个等价条件；掌握利用平面曲线积分及路径无关的条件计算平面曲线积分、以及求二元函数全微分的原函数的方法。
§3 场论初步理解场的概念；了解梯度场、散度场、及旋度场的物理意义，会求梯度、散度及旋度。
第十三章极限及实数理论§1 各种极限的准确定义理解各种极限定义的本质，掌握利用极限定义证明极限的根本方法；会表达极限不等于某常数的定义，知道数列极限存在的充要条件及归结原则。
§2关于实数的根本定理理解确界、闭区间套、有限覆盖及聚点等概念，熟悉关于实数完备性的六个等价定理的条件和结论；会用实数完备性定理证明一些简单命题。
§3 闭区间上连续函数性质的证明理解有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理的条件和结论，理解一致连续的定义和一致连续性定理；会用一致连续的定义证明函数的一致连续性，会用闭区间上连续函数的性质定理证明相关命题。
第十四章隐函数定理及重积分的换元法§1隐函数存在定理理解隐函数〔组〕存在惟一性定理的条件和结论；了解反函数组及坐标变换的概念和反函数组定理的条件及结论；掌握坐标变换的雅可比行列式的计算。
§2 重积分的换元法理解二重积分的坐标变换公式，掌握用换元法计算二重积分的根本方法；了解三重积分的坐标变换公式，会用球面坐标计算三重积分。
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
数学分析第四版知识点总结（共8篇）
数学分析第四版知识点总结(共8篇) ：数学分析知识点第四版数学分析视频数学分析知识点梳理数学分析名词篇一：数学分析第三章知识点总结4设f在(??,b][a,??)上有定义。
limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b][a,??)且以x??n??为极限的数列?xn?，极限limf?xn?都存在且相等。
limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b]且以-?为极限的数列?5?设f在(??,b]上有定义。
xf?xn?都存在且相等。
?xn?，极限limn??limf?x?存在的充要条件是：对任何含于[a,??)且以+?为极限的数列?6?设f在[a,??)上有定义。
xf?xn?都存在且相等。
?xn?，极限nlim3 柯西准则1设函数f在对任何x',x''?limf?x?存在的充要条件是：任给??0,存在正数,使得?x;??上有定义。
x;有f?x??f?x.'x?x0'''4定理3.5（保不等式性）设limf?x?与limg?x?都存在，且在某邻域x?x0x?x0?x;??内有f?x??g?x?,'0x?x0则limf?x??limg?x?.x?x0x?x05定理3.6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=A，在某x?x0x?x0x?x0x?x0?x;??内有f?x??h?x??g?x?,则limh?x?=A.'0x?x0x?x06定理3.7(四则运算法则)若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数f?g,f?g,当x?x0时极限也存在，且1)lim[f?x??g?x?]?limf?x??limg?x?;2)lim[f?x?g?x?]?limf?x??limg?x?;又若x?x0x?x0x?x0x?x0limg?x??0，则f/g当x?x0时极限存在，且有3）limx?x0f?x?limfx/limgx.x?x0gxx?x0补充：7若limf?x?=A,则limf?x?=A.8设limf?x?=A,limg?x??B.x?x0x?x0（）若1A?B,则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?;(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?，则A?B.推论设limf?x?=A，B?R.x?x0（）若1A?B(或A?B),则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(f?x??B);(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(或f?x??B），则A?B（A?B）.9(1)设limf?x?=?,且存在M?0和??0，使当0?x?x0??时，就有g?x??M,则limf?x?g?x? x?x0x?x0=?；(2)设limf?x?=?,limg?x?=b?0,则limf?x?g?x?=?.x?x0x?x0x?x010设limf?x?=?,则对任何趋向+?的数列{xn}，都有limf?xn?=?. x??n??三函数极限存在的条件1单调有界定理1设f为定义在?2?设f为定义在?3?设f为定义在2归结原则0+0-of?x?存在。
数学复习全书提纲30页word
第一篇高等数学第一章极限、连续与求极限的方法一、极限的概念与性质（一）极限的定义（二）极限的基本性质与两个重要极限二、极限存在性的判别（极限存在的两个准则）（一）夹逼定理（二）单调有界数列必收敛定理（三）单侧极限与双侧极限的关系（四）证明一元函数的极限不存在常用的两种方法三、无穷小及其阶（一）无穷小与无穷大的定义（二）无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系（三）无穷小阶的概念（四）重要的等价无穷小（五）等价无穷小的重要性质（六）确定无穷小阶的方法四、求极限的方法（一）利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限（二）利用函数的连续性求极限（三）利用变量替换法与两个重要极限求极限（四）利用等价无穷小因子替换求极限（五）利用洛必达法则求未定式的极限（六）分别求左右极限求得函数极限（七）利用函数极限求数列极限（八）用夹逼法求极限1．简单的放大缩小手段2利用极限的不等式性质进行放大或缩小2．对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小（九）递归数列极限的求法（十）利用定积分求某些n项和式的极限（十一）利用泰勒公式求未定式的极限（十二）利用导数定义求极限五、函数的连续性及其判断（一）连续性的概念（二）间断点的定义与分类（三）判断函数的连续性与间断点的类型（四）连续函数的性质常考题型与其解题方法与技巧题型一求0/0 或者无穷大比无穷大未定式的极限题型二求0乘无穷大或无穷大乘无穷大的极限题型三求指数型未定式的极限题型四求含变限积分未定式的极限题型五由极限值确定函数式中的参数题型六利用适当放大缩小法求极限题型七求n项和数列的极限题型八求n项积数列的极限题型九利用函数极限求数列极限题型十无穷小的比较与无穷小阶的确定题型十一讨论函数的连续性与间断点的类型题型十二有关连续函数性质的命题第二章一元函数的导数与微分的概念及其计算一、一元函数的导数与微分（一）导数的定义、几何意义与力学意义（二）单侧可导与双侧可导的关系（三）可微的定义、微分的几何意义及可微、可导与连续之间的关系（四）函数在区间上的可导性、导函数与高阶导数（五）奇偶函数与周期函数的导数性质二、按定义求导数及其适用的情形（一）按照定义求导数（二）按照定义求导数适用的情形（三）利用导数定义求极限三、基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则（一）基本初等函数导数表与求导法则（二）导数与微分的四则运算法则（三）复合函数的微分法则（四）初等函数求导法四、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的微分法则（一）幂指数函数的求导法（二）反函数求导法（三）由参数方程确定的函数的求导法（四）变限积分的求导法（五）隐函数微分法五、分段函数求导法（一）按照求导法则分别求函数在连接点处的左右导数（二）按照定义求连接点处的导数或左右导数（三）连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值六、高阶导数及n阶导数的求法（一）归纳法（二）分解法1．有理函数与无理函数的分解2．三角函数的分解（三）用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数七、一元函数微分学的简单应用（一）平面曲线的切线与法线1．用显示方程表示的平面曲线2．用参数方程表示的平面曲线3．用极坐标方程表示的平面曲线4．用隐式方程表示的平面曲线（二）用导数描述某些物理量常考题型与其解题方法与技巧题型一有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论题型三求各类一元函数的导数或微分题型四变限积分的求导题型五一元函数与求微分的综合题题型六求一元函数的n阶导数题型七一元分段函数的可导性与导函数连续性等命题的讨论题型八一元函数导数概念的应用第三章一元函数积分概念、计算及应用一、一元函数积分的概念、性质与基本定理（一）原函数与不定积分的概念与基本性质（二）定积分的概念与基本性质（三）基本定理（四）奇偶函数与周期函数的积分性质（五）利用定积分求某些n项和式数列的极限二、积分法则（一）分项积分法（二）分段积分法（三）换元积分法（四）分部积分法三、各类函数的积分法（一）有理函数的积分（二）简单无理函数的积分（三）三角有理式的积分四、反常积分（广义积分）（一）无穷限反常积分的概念（二）无界函数反常积分的概念（三）几个常见的反常积分（四）反常积分的计算五、积分学应用的基本方法——微元分析法六、一元函数积分学的几何应用（一）平面图形的面积（二）平面曲线的弧微分与弧长（三）平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径（四）空间图形的体积（五）旋转面的面积七、一元函数积分学的物理应用（一）液体的静压力（二）引力问题（三）变力做功（四）质心与形心问题（五）函数在区间上的平均值常考题型与其解题方法与技巧题型一有关原函数与定积分的概念题型二积分值的比较或积分值符号的判断题型三估计积分值题型四有关原函数的存在性问题题型五求分段积分的原函数题型六各类被积函数不定积分的计算题型七各类被积函数定积分的计算题型八利用若干积分技巧计算积分题型九求形如∫的积分题型十由函数方程求积分题型十一反常积分的技术题型十二证明积分等式题型十三证明积分不等式题型十四关于变限积分的讨论题型十五一元函数积分学的几何应用题型十六一元函数积分学的物理应用题型十七综合题第四章微分中值定理及其应用一、微分中值定理及其应用（一）极值的定义（二）微分中值定理及其几何意义二、利用导数研究函数的变化（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明（二）函数单调性充要判别法（三）极值点充分判别法1．极值第一充分判别定理及其几何意义2．极值第二充分判别定理及其几何意义（四）凹凸性充要判别定理及其几何意义（五）拐点判别法1．拐点的定义2．拐点的必要条件3．拐点的充分判别定理（六）利用导数做函数图形三、一元函数的最大值与最小值问题常考题型与其解题方法与技巧题型一证明函数恒等式题型二利用导数讨论函数的变化1．证明函数的单调性与凹凸性2．讨论函数的极值3．求函数的单调性、凹凸性区间，极值点，拐点及渐近线题型三求指数型未定式的极限1．函数型的最值问题2．应用型的最值问题题型四与最值问题有关的综合题题型五用微分学的方法证明不等式1．直接利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式2．利用函数的单调性证明不等式3．利用函数的最大值或最小值证明不等式4．引进辅助函数把证明常值不等式转化为证明函数不等式5．利用函数的凹凸性证明不等式题型六讨论函数的零点题型七用微分中值定理证明函数或其导数存在某种特征点第五章一元函数的泰勒公式及其应用一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法（一）泰勒公式的唯一性（二）求泰勒公式的方法三、一元函数泰勒公式的若干应用常考题型与其解题方法与技巧题型一求泰勒公式题型二用泰勒公式求极限确定无穷小的阶题型三用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点题型四有关泰勒公式的中值Θ的性质第六章微分方程一、基本概念二、一阶微分方程三、可降阶的高阶方程四、线性微分方程解的性质与结构五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程六、二阶常系数非齐次线性方程七、含变限积分的方程常考题型与其解题方法与技巧题型一变量可分离的方程与齐次方程的求解题型二通过简单代换化变量可分离的方程的求解题型三一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解题型四全微分方程的求解题型五可降阶的高阶微分方程的求解题型六二阶线性常系数方程的求解题型七特殊的变系数二阶线性方程的求解题型八含变限积分方程的求解题型九由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型十综合题与证明题题型十一有关微分方程应用题的求解第七章向量代数和空间解析几何一．空间直角坐标系二．向量的概念三．向量的运算（一）定义与计算公式（二）运算法则（三）几何应用四．平面方程、直线方程五．平面、直线之间的相互关系与距离公式（一）两个平面之间的关系（二）两条直线间的关系（三）直线与平面的关系（四）平面束方程（五）关于距离的计算公式六．旋转面与柱面方程，常用二次曲面的方程及其图形（一）球面（二）旋转曲面（三）柱面（四）二次曲面七．空间曲线在坐标平面上的投影常考题型与其解题方法与技巧题型一向量的运算题型二求平面方程题型三求空间的直线方程题型四求点、直线、平面间的关系题型五求投影方程题型六求曲面方程第八章多元函数微分学一．多元函数的概念、极限与连续性二．多元函数的偏导数与全微分（一）偏导数概念（二）可微性，全微分及其几何意义（三）偏导数的连续性，函数的可微性，可偏导性与函数连续性之间的关系（四）高阶偏导数，混合偏导数与求导次序无关问题三．多元函数的微分法则（一）全微分四则运算法则（二）多元复合函数的微分法则（三）复合函数的二阶偏导数四．复合函数求导法的应用——隐函数微分法五．复合函数求导法则的其他应用六．多元函数极值充分判别法（一）多元函数极值及住店的定义（二）多元函数去得极值的充分与必要条件七．多元函数的最大值与最小值（一）极值问题的提法（二）求二元函数或三元函数的简单极值问题（三）求二元函数或三元函数的条件极值问题八．方向导数与梯度九．多元函数微分学的集合应用（一）空间曲面的切平面与法线（二）空间曲面的切线与法平面1．参数方程表示的空间曲线2．作为两曲面交线的空间曲线常考题型与其解题方法与技巧题型一有关多元函数偏导数与全微分概念的问题题型二求二元、三元各类函数的偏导数与全微分题型三变量替换下方程式的变形题型四多元函数的最值问题题型五求二元、三元函数的梯度与方向导数题型六多元函数微分学的几何应用题型七有关多元函数的综合题第九章多元函数积分的概念、计算及其应用一．多元函数积分的概念与性质二．在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分三．重积分的变量替换四．如何应用多元函数积分的计算公式及简化运算五．多元函数积分学的几何应用六．多元函数积分学的物理应用第十章多元函数积分学中的基本公式及其应用一．多元函数积分学中的基本公式——格林公式、高斯公式、斯托克斯公式二．向量场的通量与散度，环流量与旋度三．格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数的积分计算四．平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题第十一章无穷级数一．常数项级数的概念与基本性质二．正项级数敛散性的判定三．交错级数的敛散性判别法四．绝对收敛与条件收敛五．函数项级数的收敛域与和函数六．幂级数的收敛域七．幂级数的运算与和函数的性质八．幂级数的求和与函数的幂级数展开九．傅里叶级数第二篇线性代数第一章行列式一．行列式的概念、展开公式及其性质（一）行列式的概念（二）行列式按行（列）展开公式1．上下三角行列式2．副对角线3．拉普拉斯展开式（三）行列式的性质1．经转置值不变2．公因数提出3．拆和4．对换某两行5．把某行的k倍加到另一行，值不变（四）关于代数余子式的求和1．只改变所在行或列中的值不影响其代数余子式2．一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零八．有关行列式的几个重要公式九．关于克莱姆法则常考题型与其解题方法与技巧题型一有关行列式概念与性质的问题题型二数字型行列式的计算1．三角化2．递推法3．公式法4．归纳法题型三抽象行列式的计算题型四含参数的行列式的计算题型五关于|A|=0的证明题型六克莱姆法则二．矩阵及其运算一．矩阵的概念及几类特殊方阵（一）矩阵的概念1．矩阵2．零矩阵3．同型矩阵4．矩阵相等5．方阵的行列式（二）几类特殊方阵1．对称矩阵2．反对称矩阵3．对角矩阵4．逆矩阵5．正交矩阵6．伴随矩阵二．矩阵的运算（一）矩阵的线性运算（二）关于逆矩阵的运算规律（三）关于矩阵转置的运算规律（四）关于伴随矩阵的运算规律（五）关于分块矩阵的运算规律三．矩阵可逆的充分必要条件四．矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换（二）初等矩阵的概念（三）初等矩阵的性质五．矩阵的等价（一）矩阵等价的概念（二）矩阵等价的充分必要条件常考题型与其解题方法与技巧题型一有关矩阵的概念及运算题型二求方阵的幂题型三求与已知矩阵可交换的矩阵题型四有关初等矩阵变换的问题题型五关于伴随矩阵的命题题型六矩阵可逆的计算与证明题型七求解矩阵方程三．n维向量与向量空间一．n维向量的概念与运算二．线性组合与线性表出1．线性组合2．线性表出3．向量组等价三．线性相关与线性无关（一）线性相关与线性无关的概念（二）线性相关与线性无关的充分必要条件四．线性相关性与线性表出的关系五．向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念1．极大线性无关组2．向量组的秩3．矩阵的秩（二）向量组的秩与矩阵的秩的关系六．矩阵秩的重要公式七．向量空间、子空间与基、维数、坐标（一）向量空间与子空间（二）基、维数、坐标八．基变换与坐标变换1．基变换公式及过渡过程2．坐标变换公式九．规范正交基与施密特正交化1．正交基及规范正交基2．Schmidt正交化常考题型与其解题方法与技巧题型一线性组合线性相关的判别题型二线性相关与线性无关的证明题型三求秩与极大线性无关组题型四有关秩的证明题型五关于AB=0题型六关于A=0的证明题型七有关向量空间的判定题型八向量坐标、过度矩阵及坐标变换题型九规范正交基题型十有关秩与直线平面的综合题四．线性方程组一．线性方程组的各种表达形式及相关概念二．基础解系的概念及其求法三．其次方程组有非零解的判定四．非齐次方程组有解的判定五．非齐次线性方程组解的结构六．线性方程组解的性质常考题型与其解题方法与技巧题型一线性方程组解的基本概念题型二线性方程组的求解题型三含有参数的方程组解的讨论题型四关于线性方程组公共解、同解的问题题型五有关基础解系的证明题型六关于线性方程组的证明题五．矩阵的特征值与特征向量一．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法二．相似矩阵的概念与性质三．矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤常考题型与其解题方法与技巧题型一求矩阵的特征值和特征向量题型二 n阶矩阵A能否对角化的判定题型三求相似时的可逆矩阵题型四求矩阵A中的参数题型五用特征值和特征向量反求矩阵A题型六相似对角化的应用——A^n题型七有关实对称矩阵的问题题型八有关特征值与特征向量的证明六．二次型一．二次型的概念及其标准型（一）二次型及其矩阵表示（二）二次型的标准型（三）惯性定理二．正定二次型与正定矩阵1．正定二次型与正定矩阵的概念2．二次型正定的充分必要条件三．合同矩阵1．合同矩阵的概念2．两矩阵的充分必要条件3．两矩阵合同的充分条件常考题型与其解题方法与技巧题型一有关二次型基本概念的问题题型二化二次型为标准型题型三判别或证明二次型的正定性题型四有关正定矩阵的综合题题型五合同矩阵第三篇概率论与数理统计第一章随机事件和概率一．随机事件的关系与运算（一）样本空间与随机事件的概念（二）事件间的关系与运算——有表（三）文氏图（四）事件运算法则与常用结论二．随机事件的概率（一）古典定义1.不重复排列公式2.可重复排列公式3.组合公式4.组合性质5.加法原理6.乘法原理（二）几何定义（三）统计定义（四）公理化定义（五）概率论公理的重要结论（六）条件概率（七）乘法公式（八）随机事件的概率的计算方法1．直接计算2．频率估计概率3．概率的推算4．利用概率分布三．全概率公式与贝叶斯公式（一）全概率攻势（二）贝叶斯公式四．事件的独立性与伯努利公式（一）事件的独立性（二）伯努利公式（三）常用结论常考题型与其解题方法与技巧题型一随机事件间的关系与运算题型二利用古典概型、几何概型计算概率题型三利用概率性质、条件概率计算概率题型四利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率题型五事件独立性讨论与独立性重复试验的概念及其计算有关事件的概率第二章随机变量及其分布一．随机变量与分布函数（一）随机变量（二）随机变量的分布函数1．分布函数的概念2．分布函数的性质二．离散型随机变量与连续型随机变量（一）离散型随机变量及其概率分布1．离散型随机变量的概念2．离散型随机变量的概率函数性质（二）连续型随机变量及其概率密度1．连续型随机变量的概念2．连续型随机变量的密度函数性质三．几个常见分布（一）0-1分布（二）二项分布（三）几何分布——首次成功（四）超几何分布（五）泊松分布（六）均匀分布（七）指数分布（八）正态分布四．随机变量函数的分布的求法（一）离散型函数的分布的求法（二）连续型函数的分布的求法1．分布函数法2．公式法常考题型及其解题方法与技巧题型一确定随机变量概率分布中的未知参数题型二随机变量的概率分布题型三求随机变量函数的分布题型四综合应用题第三章多维随机变量及其分布一．多维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数（一）多晚随机变量及其分布的概念（二）二维随机变量的联合分布函数的概念及其性质（三）二维随机变量的边缘分布函数的概念二．二维离散型随机变量（一）二维离散型随机变量的联合概率分布的概念及其性质（二）二维离散型随机变量的边缘分布（三）二维离散型随机变量的条件分布（四）离散型随机变量的条件分布函数三．二维连续型随机变量（一）二维连续型随机变量联合概率密度的概念及其性质（二）二维连续型随机变量的边缘密度（三）连续型随机变量的条件概率密度（条件密度函数）密度乘法公式（四）连续型随机变量的条件分布函数四．两个常见的二维连续型随机变量的分布（一）均匀分布的概念及性质（二）二维正态分布的概念及性质五．二维随机变量的独立性（一）独立性的概念（二）相互独立的充分必要条件1．离散型随机变量2．连续型随机变量六．二维随机变量函数的分布的求法1．离散型随机变量——列举法2．连续型随机变量——先求出分布海曙，再求出概率密度3．两个相互独立的随机变量之和——卷积公式（积分区间注意）常考题型及其解题方法与技巧题型一有关概率分布的计算题型二有关分布函数及其密度函数的命题题型三求两个随机变量函数的分布第四章随机变量的数字特征一．一维随机变量的数字特征（一）数学期望1．离散型2．连续型3．随机变量函数的数学期望4．常用结论（二）方差1．方差及标准差的概念2．关于随机变量方差的常用结论（三）随机变量的矩二．二维随机变量的数字特征（一）协方差概念及性质（二）相关系数1．概念2．性质3．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的——不相关4．独立性与相关性（三）矩（四）两个随机变量函数的数学期望常考题型及其解题方法与技巧题型一随机变量的期望与方差题型二两个随机变量及其函数的数字特征题型三综合应用题第五章大数定律和中心极限定理一．大数定律（一）切比雪夫不等式（二）切比雪夫大数定律（三）伯努利大数定律（四）辛钦大数定律二．中心极限定理（一）独立同分布的中心极限定理——列维·林德伯格（二）二项分布以正态分布为极限分布——棣莫弗·拉普拉斯常考题型及其解题方法与技巧题型一有关切比雪夫不等式与大数定律的命题题型二有关中心极限定理的应用第六章数理统计的基本概念一．总体、样本、样本的数字特征（一）总体、样本、抽样的概念（二）样本的概率分布1．离散型2．连续型（三）常用样本的数字特征1．样本均值2．样本方差3．样本原点矩4．样本中心矩二．统计量及抽样分布（一）统计量（二）统计推断中常用的三个分布——分布、t分布、F分布1．分布2．t分布3．F分布（三）正态总体的抽样分布1．单个正态总体（1）样本均值的抽样分布（2）样本方差的抽样分布2．两个正态总体（1）样本均值差的抽样分布（2）样本方差比的抽样分布第七章参数估计和假设检验一．参数估计（一）参数的点估计1．估计量的概念及评价标准（1）无偏性（2）有效性（最小方差性）（3）一致性（相合性）2．求估计量的两种常用方法（1）最大似然估计法（2）矩估计法（二）参数的区间估计。
数学分析总结复习提纲
数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。
§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。
§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。
§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。
§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。
§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。
§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。
§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。
§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。
§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。
第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。
§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。
数学四考研大纲
[考试科目]微积分、线性代数、概率论微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及其表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左极限和右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的基本性质及阶的比较极限四则运算两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
5. 会建立简单应用问题中的函数关系式。
6．了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念。
7. 了叔无穷小的概念和其基本性质掌握无穷小的阶的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
8．了解极限的性质与极限存在的两个准则（单调有界数列有极限、夹逼定理），掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
了解闭区间连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。
二、一元函数微分学考试内容导数的概念函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（lagrange）中值定理及其应用洛比大（L'Hospital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际和弹性的概念）·2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法，了解对数求导3．了解高阶导数的概念，会求二阶导数以及较简单函数的n阶导数。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
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第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1 实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质⎪1、实数⎧有理数: 任何有理数都可以用分数形式 q ( p , q 为整数且q ≠ 0) 表示，⎪p ⎨也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. ⎪⎩ 无理数: 用无限十进不循环小数表示.R = {x | x 一 一 一 }- - 一 一 一 一 一 一 一 ．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利 的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例：2.001 → 2.0009999 ； 3 → 2.9999 ； -2.001 → -2.009999 -3 → -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1） 定义 1 给定两个非负实数x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n . 其中对于正有限小数x = a 0 .a 1a 2 a n , 其中0 ≤ a i ≤ 9, i = 1, 2, , n , a n ≠ 0, a 0为非负整数，记x = a 0 .a 1 a n -1 (a n -1)9999 ；对于正整数x = a 0 , 则记x = (a 0 -1).9999 ；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将- y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0 表示为 0＝ 0.0000a 0 ,b 0 为非负整数， a k , b k (k = 1, 2, ) 为整数， 0 ≤ a k ≤ 9, 0 ≤ b k ≤ 9 ． 若有a k = b k , k = 0,1, 2, ，则称 x 与 y 相等，记为 x = y ；若a 0 > b 0 或存在非负整数l ，使得a k = b k , k = 0,1, 2, , l ，而a l +1 > b l +1 ，则称x 大于 y 或 y 小于x ， 分别记为 x > y 或 y < x ． 对于负实数 x 、 y ， 若按上述规定分别有-x = - y 或-x > - y ，则分别称为x = y 与x < y （或 y > x ）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义 2（不足近似与过剩近似）： x = a 0 .a 1 a n 为非负实数，称 有理数 x = a .a a 为实数 x 的n 位不足近似； x = x + 1称为实数 xn0 1nn n10n的n 位过剩近似， n = 0,1, 2, .对于负实数 x = -a .a a，其n 位不足近似 x = -a .a a - 1； 0 1 nn 位过剩近似x n = -a 0 .a 1 a n .n 0 1 n10n注：实数 x 的不足近似 x n 当n 增大时不减，即有 x 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ； 过剩近似 x n 当 n 增大时不增，即有x 0 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ ．命题：记 x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n 为两个实数，则 x > y 的等 价条件是：存在非负整数 n ，使x n > y n （其中x n 为x 的n 位不足近似，y n 为 y 的n 位过剩近似）．命题应用例 1．设x , y 为实数， x < y ，证明存在有理数r ，满足x < r < y ． 证明：由 x < y ，知：存在非负整数 n ，使得x < y ．令r =1(x+ y )，nn则 r 为有理数，且x ≤ x n < r < y n ≤ y ．即x < r < y ．2nn⎩3、实数常用性质（详见附录Ⅱ． P 289 - P 302 ）．1） 封闭性（实数集R 对+, -,⨯, ÷ ）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数．2） 有序性： ∀a , b ∈ R ，关系a < b , a > b , a = b ，三者必居其一，也只居其一.3） 传递性： ∀a ，b ，c ∈ R ， 若a > b , b > c ，则a > c ．4） 阿基米德性： ∀a , b ∈ R , b > a > 0 ⇒ ∃n ∈ N 使得na > b ．5） 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6） 一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．例 2．设∀a , b ∈ R ，证明：若对任何正数，有a < b +，则a ≤ b ．（提示：反证法．利用“有序性”，取= a - b ）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为| a |= ⎧ a ,a ≥ 0 ．⎨-a a < 02、几何意义从数轴看，数a 的绝对值| a | 就是点a 到原点的距离．| x - a | 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）| a |=| -a |≥ 0;| a |= 0 ⇔ a = 0 （非负性）；2） - | a |≤ a ≤| a | ；3）| a |< h ⇔ -h < a < h ，| a |≤ h ⇔ -h ≤ a ≤ h .(h > 0) ；abn (1 + x )n n 4）对任何a , b ∈ R 有| a | - | b |≤| a ± b |≤| a | + | b |（三角不等式）；5）| ab |=| a | ⋅ | b |；6）= | a |（ b ≠ 0 ）．| b |三、几个重要不等式1、a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,sin x ≤ 1. sin x ≤ x .2、均值不等式:对∀a 1, a 2 , , a n ∈ R + , 记M (a ) =a 1 + a 2 + + a n =1∑na ,(算术平均值)in n i i =11 ⎛ n ⎫ nG (a i ) = = ∏ a i ⎪ , (几何平均值)H (a ) =⎝ i =1 ⎭n = 1= n .(调和平均值) i1 + 1 + + 1 1 ∑n 1 ∑ 1 a 1 a2 a n n i =1 a i i =1 a i有平均值不等式: H (a i ) ≤ G (a i ) ≤ M (a i ), 即：n ≤≤ a 1 + a 2 + + a n1 + 1 + + 1 na 1 a 2 a n等号当且仅当a 1 = a 2 = = a n 时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)∀x > -1, 有不等式(1+ x )n ≥ 1+ nx ,n ∈ N .当x > -1且 x ≠ 0 , n ∈ N 且n ≥ 2 时,有严格不等式(1 + x )n > 1 + nx .证：由1 + x > 0 且1 + x ≠ 0, ⇒ (1 + x )n + n - 1 = (1 + x )n + 1 + 1 + + 1 >> n = n (1 + x ). ⇒ (1 + x )n > 1 + nx .4、利用二项展开式得到的不等式:对∀h > 0, 由二项展开式n a 1a 2 a n⎨二 绝对值与不等式 (1 + h )n = 1 + nh +n (n -1) h 2 +n (n -1)(n - 2)h 3 + + h n ,2!3!有(1 + h )n > 上式右端任何一项.［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数： ⎧一 实数及其性质.⎩[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2 数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1 、证明：对任何x ∈R 有： (1)| x -1| + | x -2 |≥ 1 ； (2)| x -1| + | x - 2 | + | x - 3 |≥ 2 .（（1） x-1=1+(x-2)≥1-x-2,∴x-1+x-2≥1）（（2）x -1 +x - 2 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥ 2.三式相加化简即可）2、证明：| x | - | y | ≤| x -y |.3、设a,b∈R，证明：若对任何正数有a+b<，则a≤b.4、设x, y ∈R, x >y ，证明：存在有理数r 满足y <r <x .[引申]：①由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）⎧有限区间设a, b ∈R 且a <b .区间⎨，其中⎩无限区间⎨⎪ ⎨ ⎪ + +⎧ ⎪ ⎪ ⎪有限区间⎪⎪ ⎪ 开区间: {x ∈ R | a < x < b } = (a , b ) 闭区间: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b } = [a , b ]⎧⎪闭开区间: {x ∈ R | a ≤ x < b } = [a , b ) ⎪半开半闭区间⎨⎩⎪⎪⎩开闭区间: {x ∈ R | a < x ≤ b } = (a , b ]⎧ {x ∈ R | x ≥ a } = [a , +∞).⎪{x ∈ R | x ≤ a } = (-∞, a ]. 无限区间⎪{x ∈ R | x > a } = (a , +∞).⎪{x ∈ R | x < a } = (-∞, a ). ⎪⎩{x ∈ R | -∞ < x < +∞} = R .2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1） a 的邻域：设a ∈ R ,> 0 ，满足不等式| x - a |< 的全体实数x的集合称为点a 的邻域，记作U (a ;) ，或简记为U (a ) ，即U (a ;) = {x | x - a |< } = (a -, a +) .其中a 称为该邻域的中心，称为该邻域的半径. （2） 点a 的空心邻域U o (a ;) = {x 0 <| x - a |< } = (a -, a ) ⋃ (a , a +) U o (a ) .（3） a 的右邻域和点a 的空心右邻域U + (a ;) = [a , a +) U + (a ) = {x a ≤ x < a +};U 0 (a ;) = (a , a +) U 0 (a ) = {x a < x < a +}. （4） 点a 的左邻域和点a 的空心左邻域U - (a ;) = (a -, a ] U - (a ) = {x a -< x ≤ a }; U(a ;) = (a -, a ) U 0 (a ) = {x a -< x < a }.-+⎨ ⎬ （5） ∞ 邻域， + ∞ 邻域， -∞ 邻域U (∞) = {x | x |> M }, （其中 M 为充分大的正数）； U (+∞) = {x x > M }, U (-∞) = {x x < -M }二 、有界集与无界集1、定义 1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ) ，使得一切 x ∈ S 都有x ≤ M (x ≥ L ) ，则称 S 为有上（下）界的数集.数M (L ) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集.闭区间[a , b ] 、开区间(a , b ) (a , b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = {yy = sin x , x ∈( - ∞ , + ∞ )}也是有界数集.若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集.( - ∞ , + ∞ ) , ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) 等都是无界数集,集合 E = ⎧ y ⎩ y = 1 , x x ∈ ( 0 ,1 )⎫也是无界数集.⎭注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例：例 1 讨论数集N + = {n | n 为正整数} 的有界性. 解：任取n 0 ∈ N + ，显然有n 0 ≥ 1 ，所以 N + 有下界 1；但 N + 无上界.因为假设 N + 有上界 M,则 M>0，按定义，对任意n 0 ∈ N + ， 都 有 n 0 ≤ M ， 这 是 不 可 能 的 ， 如 取n 0 = [M ] +（1 符号[M ]表示不超过M 的最大整数） 则n 0 ∈ N + ，且n 0 > M .综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义 2（上确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：(1) 对一切x∈S,有x≤（即是S 的上界）; (2) 对任何<，存在x0∈S ，使得x0>（即是S 的上界中最小的一个），则称数为数集S 的上确界，记作= sup S.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1 M = sup E 充要条件1）∀x ∈E, x ≤M ；2）∀>o, ∃x0∈S, 使得x>M -.证明：必要性，用反证法 .设 2）不成立，则∃0>0,使得∀x∈E,均有x≤M-o，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即∃M是上界，但M>M0.令=M-M>0，由 2），∃x∈E，使得x>M-=M，与M是E 的上界矛盾.定义 3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：（1）对一切x∈S,有x≥（即是S 的下界）；（2）对任何>，存在x0∈S ，使得x0<（即是S 的下界中最大的一个），则称数为数集 S 的下确界，记作=inf S.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.⎝ ⎭ ⎝ ⎭命题 2 = inf S 的充要条件：1） ∀x ∈ E , x ≥ ；2） ∀＞0， x 0 ∈ S ,有x 0 ＜+.上确界与下确界统称为确界.⎧ (-1 )n ⎫例 3（1） S = ⎨1 +⎩⎬, 则sup S = 1 ； inf S = 0 . n ⎭ （ 2） E = {y y = sin x , x ∈ (0,)}. 则sup S =1； inf S =0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设= sup A ，' = sup A 且≠' ，则不妨设<'= sup A ⇒ ∀x ∈ A 有x ≤' = sup A ⇒ 对<' ， ∃ x 0 ∈ A 使< x 0 ，矛盾.例： sup R - = 0 ， sup ⎛n ⎫= 1， inf ⎛n ⎫ = 1n ∈Z + n +1 ⎪ n ∈Z + n +1 ⎪ 2E = {-5, 0, 3, 9,11} 则有inf E = -5 .开区间(a , b ) 与闭区间[a , b ]有相同的上确界b 与下确界a例 4 设S 和 A 是非空数集，且有S ⊃ A . 则有sup S ≥ sup A , inf S ≤ inf A ..例 5 设 A 和 B 是非空数集.若对 ∀x ∈ A 和 ∀y ∈ B , 都有 x ≤ y , 则有sup A ≤ inf B .证明： ∀y ∈ B , y 是 A 的上界, ⇒ sup A ≤ y . ⇒ sup A 是 B 的下界,⇒ sup A ≤ inf B.例 6 A 和B 为非空数集, S =A B. 试证明: inf S = min{inf A , inf B }.证明：∀x ∈S, 有x ∈A 或x ∈B, 由inf A 和inf B 分别是A 和B 的下界,有x ≥ inf A 或x ≥ inf B. ⇒x ≥ min{inf A , inf B }.即min{inf A , inf B }是数集S 的下界,⇒ inf S ≥ min{inf A , inf B }.又S ⊃A, ⇒ S 的下界就是 A 的下界,inf S 是S 的下界, ⇒ inf S 是 A 的下界, ⇒ inf S ≤ inf A; 同理有inf S ≤ inf B.于是有inf S ≤ min{inf A , inf B }.综上,有inf S = min{inf A , inf B }.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若max E 存在,必有max E = sup E. 对下确界有类似的结论.4.确界原理:T h1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 E ⊂R, E 非空，∃x ∈E ，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而p +1是E 的上界.然后我们遍查p.1 , p.2 , , p.9 和p + 1 ，我们可以找到一个q0 ，0 ≤q0 ≤ 9 ，使得p.q0 不是E 上界，p.(q0 + 1) 是E 上界，如果再找第二位小数q1 ， , 如此下10k去，最后得到 p .q 0 q 1q 2 ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明） 不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1） ∀x ∈ S ，有x > n ；2） 存在x 1 ∈ S ，有x ≤ n + 1 ； 把区间(n , n + 1] 10 等分，分点为 n.1，ｎ.2，．．,ｎ.9, 存在n 1 ，使得 1） ∀ ∈ S ，有； x > n .n 1 ；2）存在x ∈ S ，使得x 2 ≤ n .n 1 + 1 ．210再对开区间(n .n , n .n + 1] 10 等分，同理存在n ，使得111021） 对任何x ∈ S ，有x > n .n 1n 2 ；2） 存在 x 2 ，使x 2 ≤ n .n 1n 2 + 1102继续重复此步骤，知对任何k = 1,2, ，存在n k 使得1） 对任何 x ∈ S ， x > n .n 1n 2 n k - 1； 2） 存在x k ∈ S ， x k ≤ n .n 1n 2 n k ．因此得到= n .n 1n 2 n k ．以下证明= inf S ．（ⅰ）对任意x ∈ S ， x >；（ⅱ）对任何>，存在x ' ∈ S 使> x ' ．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3 函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念. 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设D, M ⊂R ，如果存在对应法则f ，使对∀x ∈D ，存在唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称 f 是定义在数集D 上的函数，记作f : D →Mx |→y .数集D 称为函数 f 的定义域，x 所对应的y ，称为f 在点x 的函数值，记为 f (x) .全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f (D) .即 f (D) ={y | y =f (x), x ∈D}.２．几点说明（1）函数定义的记号中“ f : D →M ”表示按法则 f 建立D 到M 的函数关系，x |→y 表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x |→f (x) .习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：y =f (x), x ∈D .由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）f (x) =1, x ∈R,g(x) = 1, x ∈R \ {0}. （不相同，对应法则相同，定义域不同）2）(x) =| x |, x ∈R , (x) = x2 , x ∈R.（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则 f 来表示一个函数.即“函数y =f (x) ”或“函数 f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a ∈D ，f (a)称为映射 f 下a 的象. a 称为 f (a) 的原象.（5）函数定义中，∀x ∈D ，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.⎨ ⎩⎨0,当x 为无理数, ⎨ F (x ) = f (x ) + g (x ), x ∈ D ； G (x ) = f (x ) - g (x ), x ∈ D ；H (x ) = f (x )g (x ), x ∈ D .⎧ 1, x > 0 例如sgn x = ⎪0, x = 0 ，（符号函数）⎪-1, x < 0（借助于 sgnx 可表示 f (x ) =| x |, 即 f (x ) =| x |= x sgn x ）.2） 用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 １） y = [x ] （取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [x ] ≤ x < [x ] +1 , 即0 ≤ x -[x ] < 1.与此有关一个的函数 y = x -[x ] {x } （非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数D (x ) = ⎧1,当x 为有理数, ⎩这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数⎧ 1,当x = p ( p , q ∈ N , p为既约分数) ,R (x ) = ⎪ q q+ q ⎪⎩0,当x = 0,1和(0,1)内的无理数. 三 函数的四则运算给定两个函数 f , x ∈ D 1 , g , x ∈ D 2 ，记D = D 1 D 2 ，并设D ≠ ，定义 f 与 g 在D 上的和、差、积运算如下：若在 D 中除去使 g (x ) = 0 的值，即令 D = D \ {x g (x ) ≠ 0, x ∈ D 2 } ≠ ，⎬ 可在D 上定义 f 与 g 的商运算如下； L (x ) =f (x ), x ∈ D . g (x )注：１）若D = D 1 D 2 =，则 f 与 g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写为：f +g , f - g , fg ,f .g四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v ，则功率E 为E = 1 mv 2 ⎫12 v = gt ⎪ ⇒ E = ⎪⎭mg 2t 2 . 2抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 f (v ) = 1mv 2 , v = gt ，把2v (t ) 代入 f ，即得f (v (t )) = 1mg 2t 2 .2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；y = f (u ) = arcsin u , u ∈ D = [-1,1], u = g (x ) = 2 + x 2 , x ∈ E = R .就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2.定义（复合函数） 设有两个函数 y = f (u ), u ∈ D , u = g (x ), x ∈ E ，⎛ 1 ⎫ 2 x E = {x f (x ) ∈ D } E ，若 E ≠ ，则对每一个 x ∈ E ，通过 g 对应 D 内唯一一个值u ，而u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y = f (g (x )), x ∈ E 或y = ( f g )(x ), x ∈ E .简记为 f g .称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数， u 为中间变量.3.例子 例y = f (u ) = u , u = g (x ) = 1 - x 2 . 求( f g )(x ) = f [g (x ).]并求定义域. 例⑴f (1 - x ) = x 2 + x + 1,f (x ) =.⑵f x + = x + 1. 则⎪⎝ ⎭f (x ) = ()A . x 2 ,B . x 2 + 1,C . x 2 - 2,D .x 2 + 2.例 讨论函数 y = f (u ) = u , u ∈[0, +∞) 与函数u = g (x ) = 1- x 2 , x ∈ R 能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例 如 ： y = sin u , u = v , v = 1- x 2 ， 复 合 成 ：y = sin 1- x 2 , x ∈[-1,1] .２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函x 2a 数，在分解时也要注意定义域的变化.①y = log a 1- x 2 , x ∈(0,1) → y = log u ,u = z , z = 1- x 2.② y = arcsin → y = arcsin u , u = v , v = x 2 +1.③ y = 2sin 2x → y = 2u , u = v 2 , v = sin x .五、反函数１.引言在函数 y = f (x ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f (u ) = u , u = t 2 +1,那么u 对于 f 来讲是自变量，但对t 来讲， u 是因变量.习惯上说函数 y = f (x ) 中x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究 y 随x 的变化状况，也要研究x随 y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. ２.反函数概念定义设 f : X → R 是一函数， 如果∀ x 1 ， x 2 ∈ X , 由x 1 ≠ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 2 )(或由 f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 )，则称 f 在 X 上是 1-1 的.若 f : X → Y ，Y = f ( X ) ，称 f 为满的.若 f : X → Y 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应.f : X → R 是1-1 的意味着 y = f (x ) 对固定 y 至多有一个解x ， f : X → Y 是 1-1 的意味着对 y ∈Y ， y = 仅有一个解x .f (x ) 有且 x 2 +1y 2 +1 ⎨定义 设 f : X → Y 是1-1 对应. ∀y ∈Y , 由 y = f (x ) 唯 一确定一个 x ∈ X , 由这种对应法则所确定的函数称为y = f (x ) 的反函数，记为x = f -1( y ) .反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域f : X → Yf -1 : Y → X显然有f -1 f= I : X → X(恒等变换）f f -1 = I : Y → Y (恒等变换)( f -1 )-1 = f : X → Y .从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 y = f -1(x ) , 这样它的图形 与 y = f (x ) 的图形是关于对角线 y = x 对称的. 严格单调函数是 1-1 但 1-1 例子 f (x ) =⎧ x ,0 ≤ x < 1 ⎩3 - x ,1 ≤ x ≤ 2它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 f : X → Y 的定义域 X 和值域Y ，考虑 1-1 对应条件.固定 y ∈Y ，解方程 f (x ) = y 得出 x = f -1( y ) .2. 按习惯，自变量x 、因变量 y 互换，得y = f -1(x ) . 例 求 y = sh (x ) = e x - e - x2：R → R 的反函数.解 固定 y ，为解 e x - e - x ，令2e x = z ，方程变为 2zy = z 2 -1 z 2 - 2zy -1 = 0 z = y ±( 舍去 y - )得x = ln( y + y 2 +1) ，即 y = ln(x + x 2 +1) = sh -1(x ) ，称为反双曲正弦. 定理 给定函数 y = f (x ) ，其定义域和值域分别记为 X 和Y ， 若在Y 上存在函数g ( y ) ，使得 g ( f (x )) = x , 则有g ( y ) = f -1( y ) .y 2 +1y =分析：要证两层结论：一是y =f (x) 的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证g( y) = f -1( y) .证要证y =f (x) 的反函数存在，只要证 f (x) 是X 到Y 的 1-1 对应.∀x1，x2∈X ，若f (x1) = g( f (x1)) =x1f (x2 ) ，则由定理条件，我们有g( f (x2 )) =x2⇒x1 =x2，即 f : X →Y是 1-1 对应.再证g( y) = f -1 ( y) .∀y ∈Y ，∃x ∈X ，使得y = f (x) .由反函数定义x =f -1( y) ，再由定理条件g( y) =g( f (x)) =x . ⇒g( y) = f -1( y)例 f : R →R ，若f ( f (x)) 存在唯一（∃| ）不动点，则f (x) 也∃|不动点.证存在性，设x * = f [ f (x *)]，f (x *) = f f [ f (x * )]，即f (x * ) 是f f 的不动点，由唯一性 f (x * ) =x *，即存在f (x) 的不动点x *.唯一性：设x = f (x) ，x = f (x) = f ( f (x)) ，说明x 是 f f 的不动点，由唯一性，x = x *.从映射的观点看函数.设函数y =f (x), x ∈D .满足：对于值域 f (D) 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得f (x) =y ，则按此对应法则得到一个定义在 f (D) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作f -1 : f (D) →D,( y |→x) 或x =f -1( y), y ∈f (D) .３、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f (D) 之间的一个一一映射，称 f -1为映射 f 的逆映射，它把 f (D) →D ；b) 函数 f 与f -1 互为反函数，并有: f -1( f (x)) ≡x, x ∈D, f ( f -1(x)) ≡y, y ∈f (D).c)在反函数的表示x =f -1( y), y ∈f (D) 中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 f -1可以改写为y =f -1(x), x ∈f (D).应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数y=C（Ｃ为常数）；幂函数y =x(∈R) ；指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) ；对数函数y = logx(a > 0, a ≠ 1) ；a三角函数y = sin x, y = cos x, y =tgx, y = c tgx ；反三角函数y = arcsin x, y = arccos x, y =arctgx, y =arcctgx .注：幂函数y =x(∈R) 和指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) 都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数a > 0, a ≠ 1 ，设x 为无理数，我们规定：⎨ ⎩ { } sin( ), y a ⎧ a x = ⎪sup {a r | r 为有理数},当a > 1时, r < x ⎪i nf a r | r 为有理数 ,当0 < a < 1时. r <x这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义a x 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如： y = 2 sin x + cos 2 x , y = 1 = l o g x + x e sinx -1 x 2, y =| x | . 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如 Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y =（２） y = ln | sin x | . 3. 初等函数的几个特例: 设函数 f (x ) 和 g (x ) 都是初等函数, 则（1） f (x ) 是初等函数, 因为 f (x ) = ( f (x ))2 .（2） Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} 和 (x ) = min {f (x ) , g (x )}都是初等函数, 因为 Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} =1 [f (x ) + g (x ) +2 f (x ) - g (x ) ] , (x ) = min {f (x ) , g (x )} = 1 [f (x ) + g (x ) - 2f (x ) -g (x ) ] . x x -1（3）幂指函数(f(x))g ( x)(f (x) > 0)是初等函数,因为(f(x))g(x)=e ln(f ( x) )g(x)=e g ( x) ln f ( x) .［作业］P：3；4:（２）、（３）；5:（２）；7:（３）；11 15§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4 具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义 1 设f 为定义在 D 上的函数，若存在数M (L) ，使得对每一个x ∈D 有f (x) ≤M ( f (x) ≥L) ，则称f 为D 上的有上（下）界函数，M (L) 称为f 在D 上的一个上（下）界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域f (D) 是一个有上（下）界的数集；（2又）若M(L)为f在D 上的一个（上下）界则，任何大于（Ｍ小于Ｌ）的数也是 f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y=sin x，1 是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1 的数都可作为其下界；任何大于 1 的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；6 5 x 5 2 6（4） 由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数” 定义：f 在 D 上有界⇔ f (D ) 是一个有界集⇔ f 在 D 上既有上界又有下 界⇔ f 在 D 上的有上界函数，也为 D 上的有下界函数.2、有界函数定义定义 2 设 f 为定义在 D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 x ∈ D 有| f (x ) |≤ M ，则称 f 为 D 上的有界函数.注：（1）几何意义： f 为 D 上的有界函数，则 f 的图象完全落在 y = M 和 y = -M 之间；（2） f 在 D 上有界⇔ f 在 D 上既有上界又有下界；例子： y = sin x , y = cos x ；（3）关于函数 f 在 D 上无上界、无下界或无界的定义.3、 例题例 1 证明 f : X → R 有界的充要条件为： ∃ M , m ，使得对∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M . 证明 如果 f : X → R 有界，按定义∃ M >0，∀x ∈ X 有f (x ) ≤ M ，即 -M ≤ f (x ) ≤ M ,取m = -M ,M = M 即可. 反之如果∃ M , m 使得∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M ，令M 0 = max { M +1, m }，则 f (x ) ≤ M 0 ，即∃ M 0 > 0 ，使得对∀x ∈ X 有界.f (x ) ≤ M 0 ，即 f : X → R 有 例 2．证明 例 3． 设 f (x ) = 1 为(0,1] 上的无上界函数. x f ,g 为 D 上 的 有 界 函 数 . 证 明 ： （ 1）inf f (x ) + inf g (x ) ≤ inf { f (x ) + g (x )} ；x ∈D x ∈D x ∈D（2） s up { f (x ) + g (x )} ≤ sup f (x ) + sup g (x ) .x ∈D x ∈D x ∈D例 4 验证函数 f (x ) = 5x 2x 2+ 3在R 内有界. 解法一 由2x 2 + 3 = ( 2x )2 + ( 3)2 ≥ 2 2x ⋅ = 2 x , 当x ≠ 0 时,有f (x ) = = 2x 2 + 3 ≤ = ≤ 3. f (0) ∴ 对 = 0 ≤ 3 ,∀x ∈ R , 总有 f (x ) ≤ 3,即 f (x ) 在R 内有界.解法二 令实数根.y =5x , ⇒ 2x 2 + 3 关于x 的二次方程 2 yx 2 - 5x + 3y = 0 有 3 5x 2x 2 + 3 5 x 2 6 x5 3 tgt 3 2 tg 2t + 1 5 sin t 16 cos t sec 2 t 5 2 6 2 2 ∴ ∆ = 52 - 24 y 2 ≥ 0, ⇒ y 2 ≤ 25 ≤ 4, ⇒ 24 y ≤ 2. 解法三 令 x = 3tgt , t ∈ ⎛- ⎫ 对应x ∈ ( - ∞ , + ∞ ). 于是f (x ) = 2 5x = 2x 2 + 3 ⎛ 3 , ⎪ ⎝ ⎭= = = ⎫2 2 tgt ⎪ + 3⎝ 2 ⎭= sin 2t , ⇒ f (x ) = sin 2t ≤ 5 . 2 6二、单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数， ∀x 1 , x 2 ∈ D , x 1 < x 2 , （ 1） 若 f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的增函数；若 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上 的严格增函数.（ 2） 若 f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) ， 则称 f 为 D 上的减函数； 若 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的严格减函数.例 5．证明： y = x 3 在(-∞, +∞) 上是严格增函数.证明：设x < x ， x 3 - x 3 = (x - x )(x 2 + x x + x 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2如x x < 0 ，则x > 0 > x ⇒ x 3 < x 3 1 2 2 1 1 2如x x > 0 ，则x 2 + x x + x 2 > 0, ⇒ x 3 < x 3 1 2 1 1 2 2 1 2故x 3 - x 3 < 0 即得证. 1 2例 6．讨论函数 y = [x ] 在R 上的单调性.∀x 1, x 2 ∈ R ，当x 1 < x 2 时，有[x 1] ≤ [x 2 ] ，但此函数在R 上的不是严格 增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理 1．设 y = f (x ), x ∈ D 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 f -1 ， 且 f -1 在其定义域 f (D ) 上也是严格增（减）函数. 证明：设 f 在D 上严格增函数.对∀y ∈ f (D ), 一x ∈ D , 一f (x ) = y .下面 证明这样的 x 只有一个.事实上，对于D 内任一 x 1 ≠ x , 由于 f 在D 上严格增函数，当 x 1 < x 时 f (x 1 ) < y ，当 x 1 > x 时 f (x 1 ) > y ，总之 f (x 1 ) ≠ y .即 5 3tgt 2 5 2 6⎨ ∀y ∈ f (D ), 一 一 一 一 一一 一 一x ∈ D , 一一 f (x ) = y ，从而例 7 讨论函数 y = x 2 在(-∞, +∞) 上反函数的存在性；如果 y = x 2 在 (-∞, +∞) 上不存在反函数，在(-∞, +∞) 的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明： y = a x 当a > 1 时在Ｒ上严格增，当0 < a < 1时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义 4. 设 D 为对称于原点的数集， f 为定义在 D 上的函数.若 对每一个 x ∈ D 有（1） f (-x ) = - f (x ) ，则称 f 为 D 上的奇函数；（2） f (-x ) = f (x ) ，则称 f 为 D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心 对称），偶函数的图象关于 y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 f (x ) = x , x ∈[0,1] 没有必要讨论奇偶性.⎧ ⎪ （3） 从奇偶性角度对函数分类： ⎪ 奇函数: y=si nx 偶函数: y=sgnx ；⎪非奇非偶函数: y=si nx+cosx⎩⎪ 既奇又偶函数: y ≡ 0（4） 由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在> 0 ，使得对一切x ∈ D 有 f (x ±) = f (x ) ，则称 f 为周期函数，称为 f 的一个周期.2、几点说明：（1） 若是 f 的周期，则n (n ∈ N + ) 也是 f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如 y = sin x ,= 2, 4, .因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 f 的“基本周期”，简称“周期”.如 y = sin x ，周期为2；（2） 任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） y = x +1，不是周期函数；2） y = C （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的。
数学分析提纲
推论 ：（有界性） 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续， 则 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上有界。
(b)( 介值性定理 ) 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续，且 f ( a) f (b) ，若 为
f (a) 与 f (b) 介于之间的任何实数 （ f (a)
数学分析提纲
一、实数集与函数 二、数列极限
1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质
（1） (唯一性 ) 若数列 { an} 收敛，则它只有一个极限．
(2)( 有界性 ) 若数列 { an } 收敛，则 { an } 为有界数列，即存在正数 M ，使得对一切正整数
有 | an | M . (3) (保号性 ) 若 lim an a 0 (或 <0)，则对任何 a (0, a) (或 a
f
xn
都存在且相等．
（ 2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应
的定理．现以 x x0 这种类型为例叙述如下：设 f 为定义在 U (x0 ) 上的单调有界函数，
则右极限 lim f ( x) 存在．
x x0
（3）柯西准则：设函数
f 在 U ( x0;
) 内有定义 . lim f ( x) 存在的充要条件是 :任给 x x0
0,则 f g当 x
lim f ( x)
x x0
.
lim g ( x)
x x0
3. 函数极限存在的条件
x0 时极限存在 , 且有
（ 1 ）归结原则：设
f 在 U 0 x0 ;
' 内有定义．
lim f
x x0
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
数学分析（4）复习提纲（全部版）
数学分析（4）复习提纲（全部版）数学分析（4）复习提纲第⼀部分实数理论§1 实数的完备性公理⼀、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满⾜下⾯三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个⼦集A ，A '满⾜： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='?3°x x A x A x '则或A 中有最⼤元⽽A '中⽆最⼩元，或A 中⽆最⼤元⽽A '中有最⼩元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（⽐如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念⽽⾮常易于接受，故⼤多数教科把它作为实数理论起步的公理。
⼆、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使⽤起来⽅便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下⼏个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 ⽤区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 ⽤有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推⼴到欧⽒空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10⼀致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 ⽤有限覆盖定理证明有界性定理习题5 ⽤致密性定理证明⼀致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明习题6 ⽤区间套定理证明有界数列最⼤（⼩）聚点的存在性。
(整理)数学分析提纲
数学分析提纲一、实数集与函数 二、数列极限 1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质（1）(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．(2)(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤(3) (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．(4)(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤(5)(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0N n >时有 n n n b c a ≤≤，则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．3. 数列极限存在的条件（1）单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．（2）柯西(Cauchy)收敛准则：数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有ε<-m n a a ． 三、函数极限 1. 函数极限的概念 2. 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1)();lim x f x +∞→ 2)();lim x f x -∞→ 3)();lim x f x ∞→4)();lim 0x f x x → 5)();lim 0x f x x +→ 6)().lim 0x f x x -→下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质. (1) (唯一性) 若极限()x f x x 0lim →存在, 则此极限是唯一的.(2)(局部有界性) 若()x f x x 0lim →存在,则f 在0x 的某空心领域()00x U内有界(3)(局部保号性) 若()0lim 0>=→A x f x x (或0<),则对任何正数A r <(或A r -<),存在(),00x U使得对一切()00x U x ∈有 ()0>>r x f (或()0<-<r x f ).(4)定理3.5(保不等式性) 设()x f x x 0lim → 与 )(lim 0x g x x →都存在,且在某邻域);(00δ'x U 内有()x f ≤()x g ,则()x f x x 0lim →≤()x g x x 0lim →(5)定理 3.6(迫敛性) 设()(),lim lim 00A x g x f x x x x ==→→ 且在某()δ';00x U 内有()()(),x g x h x f ≤≤则().lim 0A x h x x =→(6)定理 3.7(四则运算法则) 若极限()x f x x 0lim →与()x g x x 0lim →都存在,则函数g f g f ⋅±,当0x x →时极限也存在,且1)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±2)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=又若()0lim 0≠→x g x x ,则gf当0x x →时极限存在,且有3)()().)(lim )(lim limx g x f x g x f x x x x x x →→→= 3. 函数极限存在的条件 （1）归结原则：设f 在()'0;δx U 内有定义．()x f x x 0lim →存在的充要条件是：对任何含于()'0;δx U且以0x为极限的数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等．（2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：设f 为定义在)(0x U+上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x +→存在．（3）柯西准则：设函数f 在);(0δ'x U内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是:任给0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何);(,0δx U x x∈'''有ε<''-'|)()(|x f x f .4. 两个重要极限(1).1sin lim0=→x x x (2).e xx x =+∞→)11(lim .5. 无穷小量和无穷大量（1）无穷小量 （2）无穷小量阶的比较 （3）等价无穷小代换定理 （4）无穷大量 四、函数的连续性 1.连续性的概念（1）函数在一点的连续性 （2）间断点及其分类 （3）区间上的连续函数 2.连续函数的性质 (1)连续函数的局部性质（a ）（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。
(完整版)数学分析复习资料及公式大全
(完整版)数学分析复习资料及公式大全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题考研真题详解
华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和
课后习题考研真题详解
华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习wang>无偿试用20％资料
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第12章数项级数
12.1复习笔记
12.2课后习题详解
12.3名校考研真题详解
第13章函数列与函数项级数
13.1复习笔记
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第14章幂级数
14.1复习笔记
14.2课后习题详解
14.3名校考研真题详解
第15章傅里叶级数
15.1复习笔记
15.2课后习题详解
15.3名校考研真题详解
第16章多元函数的极限与连续
16.1复习笔记
16.2课后习题详解
16.3名校考研真题详解
第17章多元函数微分学
17.1复习笔记
17.2课后习题详解
17.3名校考研真题详解
第18章隐函数定理及其应用
18.1复习笔记
18.2课后习题详解
18.3名校考研真题详解
第19章含参量积分
19.1复习笔记
19.2课后习题详解
19.3名校考研真题详解
第20章曲线积分20.1复习笔记20.2课后习题详解20.3名校考研真题详解第21章重积分
21.1复习笔记21.2课后习题详解21.3名校考研真题详解第22章曲面积分22.1复习笔记22.2课后习题详解22.3名校考研真题详解第23章向量函数微分学23.1复习笔记23.2课后习题详解23.3名校考研真题详解。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。