数学分析(4)复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲

第一部分 实数理论

§1 实数的完备性公理

一、实数的定义

在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理：

（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃

3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,

则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理

实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：

有限覆盖定理：（Heine-Borel ）

聚点定理：(Weierstrass)

致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)

习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？

§2 闭区间上连续函数的性质

有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8

介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10

一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理

§3 数列的上(下)极限

三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。

第二部分 级数理论

§1 数项级数

前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无

穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。

一、Cauchy 收敛准则

++=∑∞

=211

u u u

n n

几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件

∑∞

=1

n n

u

收敛⇒0→n u

评注 此结论由1--=n n n S S u 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分⎰

+∞

a

dx x f )(即使0)(>x f 也不

能推出)(0)(+∞→→x x f （参见反常积分）

Cauchy 收敛准则

∑∞

=1

n n

u

收敛⇔,,,,0p N n N ∀>∀∃>∀ε有

ε<+++=-++++p n n n n p n u u u S S 21

思考 正面叙述级数发散的Cauchy 准则。

加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。

二、正项级数

正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得： 基本结论 正项级数收敛⇔其部分和有上界。 比较判别法：

比较判别法的极限形式：

评注 对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（0n n >）n u 与n v 的大小关系，因此极限

形式更方便。如果)0(lim

+∞<<=l l v u n

n

，要认识到，当n 充分大时，n u 与n v 是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当0n n >时，存在正常数1c 和2c 使n n n v c u v c 21≤≤，由

此n n n u c v u c 21

'≤≤'。如果0=l 或∞+，它们的“大小”关系如何？ 根式判别法 设l u n

n =lim ，当1

u

收敛；当1>l 时，

∑n

u

发散。

比式判别法 1lim

1

<=+q u u n

n ，则∑n u 收敛； 1lim

1

>=+q u u n

n ，则∑n u 发散。 习题1 证明上面根式判别法 习题2 证明n

n n n n n n n u u

u u u u 11lim lim lim lim

++≤≤≤（0>n u ） 推论：l u l u u n n n

n =⇒=+lim lim

1

评注 由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。 习题3 考虑级数

++++++33223

1

2131213121，说明根式法比比式法更有效。 评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数∑n

cq

比较的，对于-p 级

数

∑p n 1

必然失效。

（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与-p 级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。 积分判别法：

拉贝判别法的极限形式：

习题4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数∑

+⋅-1

21

!)!2(!)!12(n n n 的收敛性，并说明比式法与

根式法都无效。