成都石室中学高2020届2019-2020学年度下期5月月考理科数学答案
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20.【解析】（Ⅰ） …………3分
（Ⅱ）由 得：
设 ，则 …………4分
直线 ： ，令 ，
直线 ： ，令 ， …………6分
由 ， ， …………8分
，整理得 ， ， …………10分
故直线 经过定点 ．…………12分
21.【解析】
（Ⅰ）由题意得： 定义域为 ，则
①当 时， 恒成立 在 上单调递增
又 有唯一零点，即 满足题意…………2分
①当 时，由 得： 恒成立, 在 上单调递增
即 满足题意…………10分
②当 时， 恒成立 在 上单调递增
又 ，
，使得
当 时， ，即 在 上单调递减
，则 不符合题意
综上所述， 的取值范围为 …………12分
22.【解析】
（Ⅰ）因为直线 过点 ，且倾斜角为
所以直线 的参数方程为 为参数 …………2分
因为圆 的极坐标方程为
（Ⅱ）
（以上三式当且仅当 时同时取“=”）…………7分
将以上三式相加得
即 …………10分
∴ .…………8分
∴ .…………10分ห้องสมุดไป่ตู้
故当 时， 取得最大值 .…………12分
19.【解析】
（Ⅰ）证明：因为 是 的中点， ，
所以 .…………1分
因为底面 是菱形，所以 .…………2分
又 ，所以 .…………3分
又因为 ，所以 .…………4分
（Ⅱ）方法一：
由（Ⅰ）知 ， ，所以 . （5分）
过 作 于 ，连接 ，则 ，
所以
所以圆 的普通方程为： ，
圆 的标准方程为： …………5分
（Ⅱ）直线 的参数方程为 ，代入圆 的标准方程
得
整理得
设 两点对应的参数分别为 ，则 …………7分
所以 ， …………9分
因为 ，所以 或 …………10分
23.【解析】
（Ⅰ） ，
…………3分
由柯西不等式得
当且仅当 时取“=”。 …………5分
成绩在 的人数为0.0100×10×40=4，
的可能取值为 ，…………5分
， ，
， ，
.…………10分
的分布列为
0
1
2
3
4
…………11分
.…………12分
18.【解析】
（Ⅰ）∵ ，
∴根据正弦定理，知 ，即 .…………2分
∴由余弦定理，得 .又 ，所以 .…………4分
（Ⅱ）根据 ， 及正弦定理得 ，
∴ .…………6分
理科数学简答
AC DBDBDA BC A C
13._____15___．14. .15. ___ ___.16. .
17.【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在 频率为 ，
成绩在 内频数为3， 抽取的样本容量 ，…………2分
参赛人员平均成绩为 .…………4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在 的人数为0.0125×10×40=5，
又 面 ，则 ，…………6分
所以 是二面角 的平面角．…………7分
由（Ⅰ）知 是二面角 的平面角，所以 ．…………8分
设 ，在 中， ， 是等边三角形， ，
是 的中位线，则 ，…………10分
， ，…………11分
，即二面角 的正弦值为 .…………12分
方法二：
由（Ⅰ）知 . 如图，分别以 ， 方向为 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系. 设 ，则 ， .…………5分
②当 时
当 时， ；当 时，
即 在 上单调递减，在 上单调递增,
⑴当 ，即 时， ， 有唯一零点，满足题意…………4分
⑵当 ，即 时， ,又 ，且
，使得 ，不符合题意…………6分
⑶当 ，即 时， ,
设 ， ，则
在 上单调递增 ，即
又 ，使得 ，不符合题意
综上所述， 的取值范围为 …………8分
（Ⅱ）由题意得： ，则 ，
由（Ⅰ）知 是二面角 的平面角，
所以 ．…………6分
在 中， ，
是等边三角形，
所以 ，…………7分
， …………8分
设 是平面 的一个法向量，则
即 …………9分
令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量.…………10分
平面 的一个法向量为 .…………11分
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .…………12分
（Ⅱ）由 得：
设 ，则 …………4分
直线 ： ，令 ，
直线 ： ，令 ， …………6分
由 ， ， …………8分
，整理得 ， ， …………10分
故直线 经过定点 ．…………12分
21.【解析】
（Ⅰ）由题意得： 定义域为 ，则
①当 时， 恒成立 在 上单调递增
又 有唯一零点，即 满足题意…………2分
①当 时，由 得： 恒成立, 在 上单调递增
即 满足题意…………10分
②当 时， 恒成立 在 上单调递增
又 ，
，使得
当 时， ，即 在 上单调递减
，则 不符合题意
综上所述， 的取值范围为 …………12分
22.【解析】
（Ⅰ）因为直线 过点 ，且倾斜角为
所以直线 的参数方程为 为参数 …………2分
因为圆 的极坐标方程为
（Ⅱ）
（以上三式当且仅当 时同时取“=”）…………7分
将以上三式相加得
即 …………10分
∴ .…………8分
∴ .…………10分ห้องสมุดไป่ตู้
故当 时， 取得最大值 .…………12分
19.【解析】
（Ⅰ）证明：因为 是 的中点， ，
所以 .…………1分
因为底面 是菱形，所以 .…………2分
又 ，所以 .…………3分
又因为 ，所以 .…………4分
（Ⅱ）方法一：
由（Ⅰ）知 ， ，所以 . （5分）
过 作 于 ，连接 ，则 ，
所以
所以圆 的普通方程为： ，
圆 的标准方程为： …………5分
（Ⅱ）直线 的参数方程为 ，代入圆 的标准方程
得
整理得
设 两点对应的参数分别为 ，则 …………7分
所以 ， …………9分
因为 ，所以 或 …………10分
23.【解析】
（Ⅰ） ，
…………3分
由柯西不等式得
当且仅当 时取“=”。 …………5分
成绩在 的人数为0.0100×10×40=4，
的可能取值为 ，…………5分
， ，
， ，
.…………10分
的分布列为
0
1
2
3
4
…………11分
.…………12分
18.【解析】
（Ⅰ）∵ ，
∴根据正弦定理，知 ，即 .…………2分
∴由余弦定理，得 .又 ，所以 .…………4分
（Ⅱ）根据 ， 及正弦定理得 ，
∴ .…………6分
理科数学简答
AC DBDBDA BC A C
13._____15___．14. .15. ___ ___.16. .
17.【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在 频率为 ，
成绩在 内频数为3， 抽取的样本容量 ，…………2分
参赛人员平均成绩为 .…………4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在 的人数为0.0125×10×40=5，
又 面 ，则 ，…………6分
所以 是二面角 的平面角．…………7分
由（Ⅰ）知 是二面角 的平面角，所以 ．…………8分
设 ，在 中， ， 是等边三角形， ，
是 的中位线，则 ，…………10分
， ，…………11分
，即二面角 的正弦值为 .…………12分
方法二：
由（Ⅰ）知 . 如图，分别以 ， 方向为 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系. 设 ，则 ， .…………5分
②当 时
当 时， ；当 时，
即 在 上单调递减，在 上单调递增,
⑴当 ，即 时， ， 有唯一零点，满足题意…………4分
⑵当 ，即 时， ,又 ，且
，使得 ，不符合题意…………6分
⑶当 ，即 时， ,
设 ， ，则
在 上单调递增 ，即
又 ，使得 ，不符合题意
综上所述， 的取值范围为 …………8分
（Ⅱ）由题意得： ，则 ，
由（Ⅰ）知 是二面角 的平面角，
所以 ．…………6分
在 中， ，
是等边三角形，
所以 ，…………7分
， …………8分
设 是平面 的一个法向量，则
即 …………9分
令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量.…………10分
平面 的一个法向量为 .…………11分
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .…………12分