5.3 任意角的三角函数

x
例:确定下列三角函数值的符号： 7 11 (1)cos ; (2)sin( 465 ); (3)tan 12 3 7 7 解： 是第二象限的角， cos 0. (1) 12 12

(2) -465 =-2 360 +255 ，即-465 是第三象限的角， sin( 465 ) 0.
y
P
P(a,b)
﹒
M

O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
OMP ∽ OM P
对于确定的角α ，上面三个比值都是惟一确定的（与 P点在角α 的终边上的位置无关）．
角的终边位置发生变化时，比值会改变吗？
11 5 11 (3) 2 ,即 是第四象限的角， 3 3 3 11 tan 0. 3
练: 不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) cos 250 (2) sin( ) (3) tan 3 (4) tan(672). 4 0



sin( k 360 )与sin有关系吗 ? k 360 与终边相同的角
180 角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键．
练习 1
把120和 270 化成弧度 .
o
练习2
3 把 rad 化成度． 4
1、初中所学习的锐角三角函数分别是怎样 规定的？
斜边
α
邻边
对 边
y
P
.P
r
M
（x，y）
斜边
对 边
y

O
邻边
x
x
诱思探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P（x，y）
2 3
M O
1 3 P( , ) ，故 2 2
2 3 sin 3 2
2 1 cos － 3 2
x
2 tan 3 3
7 2 思考：若把角 改为 呢? 3 6
y
7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
7 3 tan 6 3
，
k k Ζ 观察当 2 时，α 的终边在y轴上，此时 终边上任一点P的横坐标x都 x 等于0，所以 tanα y 无意 A(1, 0) x 义。


O
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例2
y 的终边与单位圆的交点坐标为
5 6 1 2

3
\
3 1
3 3
0
sin 、cos、tan在各象限的符号问题 ?
y
的终边 的终边 y
y
P ( x, y) 的终边
y
P ( x, y) P ( x, y)
r
o
x
y
M
r
o
y
r
o
x
o r
x
x
x
P ( x, y) 的终边
y (1)sin α r x (2)cos α r y (3)tan α x
（2）
（3） tan( tan( k ) Z 6 2 ) tan 6 tan 6 3 其中6
小结：利用公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求
9 2 cos k 2 )2 cos cos( cos( ) cos 4 4 4 2 t an( k 2 ) t an 11 3
若OP r 1 ，则
Y
以原点为圆心,以单位 长度为半径的圆叫做 单位圆.
P(x,y)

O M
MP sin OP OM cos OP X MP tan OM
y
x y x
思考2：设α 是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），为了与当α 为锐角时的 三角函数保持统一，你认为sinα ，cosα ， tanα 对应的值应分别如何定义？
r
o
x
y
M
x
结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
例
9 11 ；（3）tan( ) （1） sin 780 ；（2） cos 4 6
求下列三角函数值：
解：（1）
sin 780 sin( 60 2 360)
3 sin( sin ) sin k 2 60 2
sin y cos x
y tan ( x 0) x
α 的终边
y α 的终边 P(x,y) O
P(x，y)
x
根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度制下的 定义域.
三角函数 定义域
sin =y cos =x
P( x, y)
y
R R
y tan = ( x 0) k (k Z ) 2 x
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
5 13
2
y 5 x 12 于是，sin , cos r 13 r 13 y 5 tan x 12
思考1：为了使sinα ，cosα 的表示式更 简单，你认为点P的位置选在何处最好？
作业
• P139 习题 1，4
0 到 2 (或0到360)角的三角函数值.
sin 0 例 当角 满足不等式组 时， tan 0
解： sin 0
角 为第
三
象限角.
角 的终边可能位于第三或第四象限，
或 y 轴的负半轴上;
角 的终边只能位于第三象限.即角为第三象限的角.

o

x
sin
x o o x cos tan
y
y
三角函数值的符号: cos sin y y o o x x
y
x o Baidu Nhomakorabea
y
tan
sin
tan
全为+
规律:
一全正 三正切 二正弦 四余弦
o
cos
x x ②比值 叫做 的余弦，记作cos，即cos ． r r y ③比值 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x
y ． x
分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，我们 将它们统称为三角函数，其中自变量是α
巩固
提高
例 1.已知角 的终边过点 P 12,5 ，
，
7π 3 6
2
1 2
O
x
1
常见角的三角函数值
角度 0 弧度 0
30 45 60 90 120 135 150 180
6
1 2
4
2 2 2 2
1
3
3 2 1 2
2
1
2 3
3 4
sin 0
cos 1
tan
0
3 2 3 3
3 2 0 2 2 1 3 2 1 0 2 2 2

终边相同
角的终边与单位圆 的交点的坐标相同
同一函数值相等
由三角函数的定义有 y sin( k 360 ) sin r x cos( k 360 ) cos r y tan( k 360 ) tan x
y
的终边
P ( x, y)
的终边可能位于第一或第三象限. 角
tan 0
小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？
类比 任意角的三角函数 数形 单位圆 锐角三角函数 结合
一般地，设角 终边上任意一点的坐标为( x, y ) ， 它与原点的距离为 r ，则
y x y sin , cos , tan . (r x 2 y 2 ) r r x
，
5 3 所以 sin 3 2
1 3 ( , ) 2 2 5 5 1 tan 3 cos 3 2 3
3
，
5 3
O
1 2
x
1
3 2
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与 单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数 值。
练习：求角 2 的正弦、余弦和正切值。 3
分析：可得点
y y
.P
r
y
（x，y）
.P
r x
（x，y）
. O
α
x
. O
y
α
x
x
比值随角的终边的位置变化而变化。
定义：
设角 是一个任意角， ( x, y) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r
x 2 y 2 0.
y y ①比值 叫做 的正弦，记作sin ，即 sin ． r r