第13章存储论

第十三章存储论
存储论也称库存论（Inventory theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。

物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。

例如，军事部门将武器弹药存储起来，以备战时急用；在生产过程中，工厂为了保证正常生产，不可避免地要存储一些原材料和半成品，暂时不能销售时就会出现产品存储。

又如商店存储的商品，人们存储的食品和日常用品等等，都是物资存储现象。

任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管费用。

如果存储的物资是过时的或陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。

寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。

由此提出什么时间供货（简称期的问题），每次供货多少（简称量的问题）的存储控制策略问题。

企业从外部订货或自己生产，使物资存储增加，就是物资的供应或称为输入，企业销售产品使存储减少就是物资的需求或称为输出。

存储论中的订货一词具有广义的含义，不仅包括从外单位组织货源，有时供应是由本单位组织生产或是车间之间、班组之间甚至前后工序之间的产品交接，都称为订货。

存储控制系统中的存量与单位时间内的需求量有关。

需求可看作存储系统中的输出，需求可以是均匀连续的，例如在连续自动装配线上每分钟装配50件产品或部件；需求可以是间断成批的，例如铸造车间每隔一段时间交出一定数量的铸件给机加工车间。

若需求量事先可以确定，则称之为确定性需求。

若需求量是随机的，如商店出售的商品，顾客什么时间需要以及需要多少事先都难以确定，则称之为随机需求。

物资从输入进入存储再到输出整个系统称为存储控制系统或简称为储存系统，在存储系统中，将物资保持在预期的一定水平，使生产过程或流通过程不间断并有效地进行，对输入过程中的订货时间和订货数量进行控制，称为存储控制策略。

例如t循环策略，它是以固定周期t补充相同存储量；还有永续盘存的固定订货量(s，Q)策略，永续盘存上、下界存量(s，S)策略，定期盘存固定订货区间(R，S)策略，定期盘存有选择的再补充订货(R，s，S)策略。

另外还有诸如多品种库存系统的ABC控制方法、供应链管理、多级库存系统管理、物料需求计划等储存控制策略。

最优存储策略主要是利用数学工具，将存储问题按某种准则抽象成数学模型，然后求出最佳的期和量的数值。

如果模型中的期和量都是确定值，则称之为确定型模型，如果期或量是随机变量，则称之为随机型模型。

§1 确定型经济订货批量模型
本节假定在单位时间内（或称计划期）的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、存储费和缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间t，在每个区间开始订购或生产相同的货物量，形成t循环储存策略。

在建立储存模型时定义了下列参数及其含义。

D：需求速率，单位时间内的需求量（Demand per unit time）。

P：生产速率或再补给速率（Production or replenishment rate），如果所需货物能一次性得到满足，供应速率可以看作是无穷大，称为瞬时供货，当货物只能按某一速率供应时，称
为边供应边需求。

A：生产准备费用（Fixed ordering or setup cost），一次订货或生产所发生的固定费用。

准备费用包括发出订货单、电信往来、旅差、采购、收货、验收、调整设备、进仓等项目所发生的费用，生产前的组织、准备、工艺设计、设备的调整、更换或制造工模夹具、生产后的清洗保养等费用。

准备费用与订货次数有关，计量单位是每次订货所发生的固定费用。

C：单位货物获得成本（Unit acquisition cost），是货物价格或生产单位产品的成本。

H：单位时间内单位货物持有（储存）成本（Holding cost per unit per unit time），包括仓库保管费（如占用仓库的租金或仓库设施的运行费、维修费、管理人员工资等）、货物占用流动资金的利息、保险费、存储物资变坏、陈旧及降价等造成的损失费。

如果品种繁多，一般按货物平均库存资金的百分比（或称为存储费率）计算。

例如，存储费率为2%，货物平均库存占用资金为2万元，则H=0.02×2=0.04(万元)。

B：单位时间内单位货物的缺货费用（Shortage cost per unit short per unit time），指因缺货不能满足需要而来的损失费用。

如失去销售机会的损失费、原材料供不应求造成停工的损失、不能履行合同按期交货的罚款费用不允许缺货时，缺货费用看作是无穷大。

π：单位货物的缺货费用，与时间无关（Shortage cost per unit short, independent of time），这种缺货费与缺货多长时间无关，只要缺货，其单位货物的缺货费用相同。

t：订货区间（Order interval），周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期。

L：提前期（order lead time），从提出订货到所订货物且进入存储系统之间的时间间隔，也称为订货提前时间或拖后时间。

如9月15日订货，10月15日收到货，则提前期为30天。

提前期实际上是为了保证某一时刻能补充存储必须提前订货的时间期。

如果需要马上可以得到补充，则提前期为零。

Q：订货批量（Order quantity）或生产批量（Production lot size），一批订货或生产的货物数量。

S：最大缺货量（Maximum backorder），即最大缺货订单，允许缺货时，由于缺货暂时不能满足需要，货物到达后补充其缺货量，就是延期交货量。

这种缺货形式称为缺货预约或缺货补充。

如果缺货后即使货物到达也不再补充，这时就失去订单或销售量。

两种情形都有缺货费用。

R：再订货点（Reorder point），当提前期不等于零时，货物的存储量降到某一水平时就要再次提出订货，这一存储量称为再订货点。

n：单位时间内的订货次数（Order frequency per unit time），显然有n＝1/t。

模型的目标函数是以总费用（总订货费+总存储费+总缺货费）最小这一准则建立的。

根据不同的供货速率和不同要求的存储量（允许缺货和不允许缺货）建立不同的存储模型，求出最优存储策略（即最优解）。

这种需求量是确定的模型称为确定型储存模型。

1.1 模型一：瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型
此模型的特征是：供货速率为无穷大，不允许缺货，提前期固定、每次订货手续费不变，单位时间内的储存费不变。

需求速率D为均匀连续的，每次订货量不变，以周期t循环订货。

先考虑提前期为零（即当存量降至零时，可以立即得到订货量Q）的情形。

最优存储策略是：求使总费用最小的订货批量Q*及订货周期t*
将单位时间看作一个计划期，设在计划期内分n次订货，订货周期为t，在每个周期内的订货量相同。

由于周期长度一样，故计划期内的总费用等于一个周期内的总费用乘以n。

在[0，t ]周期内，存储量不断变化，当存量降到零时，应立即补充整个t 内的需求量Dt ，因此订货量为Q=Dt ，最大存量为Q ，然后以速率D 下降（见图13－1），在[0，t ]内存量是t 的函数y=Q －Dt .
[0，t ]内的存储费是以平均存量来计算的，由图13—1知，[0，t ]内的总存量（即累计存量）为
⎰=-=-t
Qt Dt Qt dx Dx Q 022
121)( 上式也可采用求图13－1中三角形面积的方法得到。

在[0，t ]内的平均存量为
Q Qt t y 2
1211=⋅= 也是单位时间内的平均存量。

H 是单位货物在计划期内的存储费，故在单位时间]内的内总存储费为QH /2。

在一个周期内的订货固定手续费为A ，计划期内分n 次订货，由n =1/t 知总订货费用为
t
CQ t A n KQ A +=
+)( 计划期内的总费用最小的储存模型为 CQ t
A t HQ f 1121min ++= 0,0,≥≥=t Q Dt Q
由t=Q/D 代入式(13.1)消去变量t ，得到无条件极值
CD AD Q
HQ Q f ++=121)(m in (13.1) 利用微分学知识，f (Q )在Q *点有极值的必要条件是df /dQ *=0，因此有
01212=-=AD Q
H dQ df （13.2） 解出Q ，得 H
AD Q 2±=
时间
舍去小于零的解，由式(13.2)得3222Q
AD dQ f d =，当H AD Q /2*=时,02/*/322>=AD H dQ f d ，故Q *是式（13.1）的最优解。

另一求解方法。

去掉式（13.1）f (Q )中常数项CD ，f (Q )是HQ /2的增函数，是AD /Q 的减函数。

这两个函数的交点就是最小点，令HQ /2=AD /Q ，解出Q 即可。

则有
H AD Q /2*=
(13.3) HD A D Q t /2**==
(13.44) 最小费用为
CD HQ CD HAD f +=+=*2* (13.5) 由n =1/t 可得最优订货次数
A HD t
n 2/1*==* (13.6) 模型一是求总费用最小的订货批量，通常称为经典经济订货批量(Economic ordering quantity)，缩写为EOQ 模型。

下面要讲的几种模型都是这种模型的推广。

再看提前期L 不为零的情形，若从订货到收到货之间相隔时间为L ，那么就不能等到存量为零再去订货，否则就会发生缺货。

为了保证这段时间存量不小于零，问存量降到什么水平就要提出订货，这一水平称为再订货点。

模型与式（13.1）相同，最优批量不变，再订货点为
R =DL (13.7) 式中R 为再订货点，即当降到DL 时就要发出订货申请的信号，当 *
2*t L t ≤<时，定货点应该是R =D （L － t*）此时会出现有两张未到货的订单，同样可讨论L>2t *的情形。

例1某企业全年需某种材料1000吨，单价为500元/吨，每吨年保管费为50元，每次订货手续费为170元，求最优存储策略。

解 计划期为一年，已知D =1000 ，H =50 ，A =170 ，C =500 。

由式（13.3—13.5）可得 )(8250
17010002*吨≈⨯⨯=Q )(30)(082.050
10001702*天年=≈⨯⨯=t )(50412310005001000170502*元≈⨯+⨯⨯⨯=f
即最优存储策略为：每隔一个月进货1次，全年进货12次，每次进货82吨，总费用为504123元
例2 在例1中，如果提前期为10天，求再订货点。

解已知D=1000 ，L=10（天）=0.027（年），由式（13.7）得
R=1000×0.027=27（吨）
即当存量降到27吨时提出订货。

有时题目没有给出货物的单价，这时最优解仍然不变，只是目标函数相差一常数CD（参看习题1）。

下图是例2的Excel计算模板，公式前加“＝”号输入到结果下面对应单元格中。

1.2 模型二：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
此模型的特征是：当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约，其他特征同模型一。

暂时缺货现象在实际中是存在的，例如顾客在购买某商品因缺货时是能够容忍的。

允许缺货的存储策略有得有失。

因缺货而耽误需求会造成缺货损失，另一方面，由于允许缺货就可减少存储量和订货次数，因而节省存储费和订货费。

因此企业除支付缺货费外没有其它损失时，在每个周期内有缺货现象对企业有利。

除了模型一中的参数外，还假设：S：在周期t内的最大缺货量。

Q1：在周期t内的最大存储量。

t1：存储量为非负的时间周期。

t2：缺货周期(存储量为负数的时间周期)。

由于采取缺货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量仍为Q=Dt，在t1内有存量，需求量为Q1=Dt1，在t2内缺货量为S=Dt2，不难看出关系：Q=Q1+S=D(t1+t2)=Dt。

与模型一的推导类似，存量变化如图13—2所示。

在一个周期内的平均存量为Q 1t 1/2t ，平均缺货量为
t
t t S t St 2)(212-= 相应的各项费用为：存储费：1121t HQ ，缺货费：))((2
1)(21111t t Q Q B t t BS --=-，订货费：A+CQ 。

则在计划期内总费用最小的存储模型为
t
CQ t A t t Q Q B t t HQ t f ++--+=))((2121min 1111 （13.8） 0,,,,,1111≥==t t Q Q Dt Q Dt Q
消去目标函数中的变量Q 和t 1 ,式（13.8）便得
CD t
A Q Dt
B Dt HQ Dt t Q f ++-+=21211)(2121),(min （13.9） 求式（13.9）的二元函数极值。

0)(2)(2221111=-+=--=∂∂B Dt
Q B H Dt Q Dt B Dt HQ Q f （13.10） 02)(2)()(222222122211221=-+-=----+-=∂∂t A Dt Q B H BD t A t
Q Dt Dt Q Dt D B Dt HQ t f (13.11)
由式（13.10）得B
H BDt Q +=1，将Q 1代入式（13.11）得0)(2222=-+-t A B H B BD ，得到最优解：
B
H B H AD
Q ＋2*1= （13.12）
B
B H HD A
t +=2* （13.13） B B H H AD
Dt Q +=
=2** （13.14） 总费用为
CD B
H B HAD f
++=2* （13.15） 由Q 1=Dt 1，Q =Q 1+S 可得 B
H B HD A D Q t ＋2*1*
1== B H H B AD Q Q S +=
-=2*1** 与模型一比较，模型二有下列特点：
(1)订货周期延长，订货次数减少。

因为1>+B
B H ，故有 HD A B B H HD
A t 22*>+=
(2)订货量增加，因为 H AD B B H H AD Q 22*>+=
(3)总费用减少，由1<+B
H B ，故有 HAD CD B
H B HAD f 22*<++= (4)将模型一中不允许缺货看作B →+∞时，
1→+B
H B ，则模型二的最优解与模型一的解一致，即 H AD Q /2*→ HD A t /2*→
H AD Q /2*1→ HD A t /2*1→
CD HAD f +→2* 0*→S Q
读者还可以证明模型二的存储费减少了（习题7）。

对于提前期不为零的情形，其订货点的求法与式(13.7)相同。

例3 某工厂按照合同每月向外单位供货100件，每次生产准备结束费用为5 元，每件
年存储费为4.8元，每件生产成本为20元，若不能按期交货每件每月罚款0.5元（不计其他损失），试求总费用最小的生产方案。

解 计划期为一个月，D =100 ，H =4.8/12＝0.4，B =0.5，A =5 ，C =20，利用式（13.12）～(13.15）可得
)(20)(67.0100
5.04.0)5.04.0(52*天月≈≈⨯⨯+⨯⨯=t Q*=Dt *=100⨯0.67=67(件)
)(9.2014100205
.04.010055.04.02*元=⨯++⨯⨯⨯⨯=f )(37)
5.04.04.05.010052*1件（≈+⨯⨯⨯=Q )(30*1**件=-=Q Q S
即工厂每隔20天组织一次生产，产量为67件，最大存储量为37件，最大缺货量为30件。

在上例中，若按不允许缺货的公式（13.5）计算，总费用为
)(20201002010054.02*元=⨯+⨯⨯⨯=f
比允许缺货时的费用多5.1元。

例3的Excel 计算模板：
1.3模型三：边供应边需求，不允许缺货的经济批量模型
这种模型的特征是：物资的供应不是成批的，而是以速率P （P >D ）均匀连续的供应，存储量逐渐补充，不允许缺货。

在生产过程中的在制品流动就属于这种订货类型，这类模型也称为生产批量模型。

设t 为生产周期，存储量变化情况用图13－3描述。

图13－3中的t 1为一个供货周期t 内的生产时间，产量为Dt ，t 1是生产需求量Dt 所花费的时间周期，显然t 1<t ，当存量为零时开始生产，存量以速率P －D 增加，当产量达到D t 时停止生产，然后存量以速率D 减少，直到存量为零时又开始生产。

在t 内的最高存储量为（P －D ）t 1，平均存储量为（P －D ）t 1/2，订货量Q ＝Dt =Pt 1。

存储费为H （P －D ）t 1t /2，订货手续费为A ，购置费为CQ ，则在t 内的总费用为
H (P －D )t 1t /2+A +CQ
从而在计划期内的平均总费用最小的存储模型为
t
CQ t A t D P H f ++-=1)(21min (13.16) 0,,,,11≥==t t Q Pt Q Dt Q
消去变量t 1，得到无条件极值
CD AD Q P D HQ Q f ++⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
1121)(min (13.17) 令df /dQ =0,得 01212
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Q AD P D H dQ df 解出Q 得
D
P P H AD
Q -=2* （13.18） D P P HD
A D Q t -==
2** (13.19) 总费用为
图13－3
时间
CD P
D P HAD f +-=2* （13.20） 由Q =Pt 1得到
)
(2**1D P HP AD P Q t -== 若将模型一中的提前期为零理解为生产速率很大，则当P →+∞时，t 1→0,D/P →
0,
P
D P D P P --和趋于1，模型三的最优解就与模型一的最优解相同。

例4 某机加工车间计划加工一种零件，这种零件需要先在车床上加工，每月可加工500件，然后在铣床上加工，每月加工100件，组织一次车加工的准备费用为5 元，车加工后的在制品保管费为0.5元/月－件，要求铣加工连续生产，试求车加工的最优生产计划（不计生产成本）。

解 铣加工连续生产意为不允许缺货。

已知P =500，D =100，H =0.5，A =5，1－D/P =1－100/500=0.8由式（13.18）~(13.20)得 )(508.05.010052*件=⨯⨯⨯=Q ； )(15)(5.0100
50**天月＝===D Q t )(208.010055.02*元=⨯⨯⨯⨯=f
即车加工的最优生产计划是每月15天组织一次生产，产量为50件。

在上例中，若每次准备费用改为50元，则生产间隔期为 t * =47天，说明准备费用增加后，生产次数要减少。

例4的Excel 计算模板：
1.4模型四:边供应边需求，不允许缺货的经济批量模型
此模型允许缺货，到货后要补充缺货量，其余特征同模型三，存储量变化用图13－4表示。

在周期 t 内，t －t 3时间内是缺货周期，t 1+t 2时间内是生产时间，生产量等于t 内的需求量，即P (t 1+t 2)=Dt ，在t 1内的生产量等于t 3内的需求量，即Pt 1=Dt 3，故最高存储量为（P
－D ）t 1，t 内的平均存储量为
t t t D P 2)(31-，存储费为t
t t D P H 2)(3
1-。

在t －t 3内，生产量等于缺货量(需求量)，即(t －t 3)D=t 2P ，最大缺货量为（P －D ）t 2，t 内平均缺货量为
t t t t D P 2))((23--，缺费为t
t t t D P B 2))((23--，生产成本为CQ ，准备费
用为A ，则在计划期内使总费用最小的存储模型为
t
CQ
t A t t t D P B t t t D P H t f +
+--+-=
2331))((21)(21min ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=-==0
,,,,)(321233
1t t t t Q Pt t t D Dt Pt Dt Q
由约束条件消去变量Q ，t 1，t 2得到无条件极值
CD t
A t t D P BD Pt t D P HD Pt t t f ++--+-=
232
33,1))((21)(21)(min （13.21） 令0/,0/3=∂∂=∂∂t f t f ，解方程组
[]
0))((2))((4412)(2
2
332223=---------=∂∂t
A t t D P BPD t t t D P BPD t P Pt t D P HD t f
02))((2)(2333=----=∂∂Pt
t t D P AD Pt t D P HD t f 得到最优解：
D
P P
B B H HB A t -+=
2* （13.22）
D
P P
B H B HD
A t -+=
2*3 （13.23）
D
P P
B
B H H
AD Dt Q -+=
=2** （13.24）
CD P
D
P B H B HAD
f +-+=2* （13. 25）
最大存储量Q 1及最大缺货量S 为 P
D
P B
H B H
AD
P
t D P D t D P Q －＝+=-=
-2)()(3
11 (13.26) P
D
P B H B HAD P t t D P D t D P S －＝)(2)
)(()(32+=
--=- (13.27)
若令a =,/)(,/P D P b B H B -=
+）（上述公式为
CD ab HAD f ab
H AD Q b
a
HD A t ab
HD A t +=
==
=
2*,1
2*,2*,1
2*3
这是一般模型,令B →+∞得到模型三,令P →+∞得到模型二,同时令B →+∞，P →+∞ 得到模型一,从而前面的三种模型是允许缺货的生产批量模型的特殊情况。

例5 在例4中,若允许铣加工可以间断,停工造成损失费为B =1元/(月·件)求车加工的最优生产计划。

解 利用例4的计算结果,,82.0)5.01/(1≈+=a 则有
)(6182
.01
50*件≈⨯
=Q ，)(1882.0115*天≈⨯=t )(4.1682.020*元=⨯=f ，Q 1=32.66（件），S =16.33（件）
即18天组织一次车加工,生产批量为61件。

由此例看出,当允许缺货时生产间隔期延长
了,费用减少了3.6元。

总费用、存储费、订货费和缺货费与订货量的变化曲线及其关系如图13－5所示。

图13－5
例5的Excel 计算模板：
掌握了上述四种模型的推导原理后，还可以推导出其它许多变形的经济批量模型，如缺货不补充、缺货部分补充、缺货费用与时间无关（商场缺货时顾客放弃购买而损失销售利润）等模型。

§2经济批量模型参数分析
2.1灵敏度分析
灵敏度分析,主要用分析模型中各因素发生变动时对订货批量或总成本的影响程度,下面我们仅以模型一为例说明其分析方法.
一、需求量对经济订货批量及总费用的影响
设需求量增加δ倍,变化后的需求量为D /=δD 则变化后的订货批量为
订货费曲线
存储费曲线
缺货费曲线
总费用曲线
费用
订货批量
δH
AD
H AD Q 2'
2'==
总费用为(不计货物成本) δHAD HAD f 2'2'==
（13.28）
这说明当D 增加δ倍，订货批量和总费用只增加δ倍．例如在例13.1中，当1500'=D 时，δ=1.5，则1005.182*'=⨯==δQ Q ．
二、经济订货批量对总费用的影响
如果需求量或各项费用在计划前预测不精确,那么按式(13.3)得到的最优批量会有偏差,记偏差为δQ *即实际订货批量为Q =Q*+δQ *=（1+δ）Q *．由式（13.1）得到实际总费用为
*)()1(212)1(21212)1(21*)1(*)1(21)(22Q f HAD AD
H
AD H AD H Q AD Q H Q f ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=
+++=
δδδδδ
δδδ
总费用增加率为
)
1(2*)(*)()(2
δδ+=-=Q f Q f Q f i (13.29)
因δ>-1(δ=-1说明订货量减少100％就是不订货)有i>0，总费用增加，但无论是增加还
是减少，总费用的变化幅度比δ小得多，如δ=0.15时，i =0.00978，即当订货量增加15％时总费用约增加1％．
三、各费用的变化对总费用的影响
设预测值H 和A 的偏差分别为δ1H 和δ3A ，则实际存储、订货费分别为H H )1(1δ+='和A A )1(3δ+=',为了方便，令K 1=1+δ1 , K 3=1+δ3，则实际订货批量应为
1
3
*1322K K Q H K AD K H
D
A Q ==''=
现在的问题是订货时往往是按预测的费用H ，A 来订货，订货量为Q *，而实际结算时的总费用是按实际的费用A H '', 结算的，这时的总费用为
*)
(2122
2221*2*)(313131Q f HAD K K DAK AD H
HK H AD A Q R H Q Q f ⎪⎭⎫
⎝
⎛++=+=
+='+'=
δδ (13.30)
即总费用增加率是H 、A 增加率之和的一半[]2/)(31δδ+=i ．
以上不论那一种情况，结果表明，总费用的变化率要比参数的变化率小．这一结论还可
从弹性的角度来解释．例如，总费用对存储费H 的弹性为
1/2/2<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∂∂=
Q DA QH H
Q f H H f ε 说明f (Q )对H 是非弹性的．
例6 企业年需要某钢板1500吨，单价C ＝5500元/T ，H ＝50元/年·吨，A ＝240元/次，不允许缺货，则按EO Q 模型计算每次订货量是120吨，总费用6000元（不考虑购置费），每次需要66万元的流动资金购置材料．企业决策者分析了资金状况，决定减少每次订货量增加订货次数，增加的总费用可以超过5％左右，问每次应采购多少吨钢板．
解 利用式(13.29)，i =0.05，01.01.005.0)
1(222
=-⇒=+δδδδ－，解方程得到δ1=0.37
及δ2=－0.27，取负数解δ2，订货量为
Q /＝Q *(1+δ2)=120（1－0.27）＝87.6（吨）
新的订货策略是每次订货87.6吨，每次材料购置费为48.18万，总费用为6300元，比经济订货批量费用增加了300元．
2.2 批量折扣分析
上一节中的几种模型都是假定货物单价与订货批量无关，但有时物资供应部门为了鼓励顾客多购物资，规定凡是每批购买数量达到一定范围时，就可以享受价格上的优惠，这种价格上的优惠叫做批量折扣．
有批量折扣时，对顾客来说有利有弊．一方面可以从中得到折扣收益，订货批量大，可以减少订货次数，节省订货费用；另一方面会造成物资积压，占用流动资金和增加存储费用．是否选择有折扣的批量或选择何种折扣，仍然是选择总费用最小的方案．
假设在[)1,+i i Q Q 内的物资单价为()+∞→==+11,0;,,2,1m i Q Q m i C K 则在区间
[)1,+i i Q Q 内的总费用为（模型一）
D C AD Q
HQ Q f i ++=
1
21)( f （Q ）对Q 求导数时D C i 这项为
dQ
dC C f ⋅∂∂，而C 是Q 的函数，此项不为零．但在某一区间内，C 为常数，故在这些区间内仍然有
AD Q
H Q f 21
21-=∂∂
令上式等于零，便得
H
AD
Q 2*=
总费用为
11
(*)*2*
f Q Q H AD C D C D Q =++=
g g
其中C *为Q *所在区间的物资单价，由于有批量折扣， f (Q *)不一定是（0，∞）内的最
小值，因此还要计算出其它区间的总费用，再经过比较，选择总费用最小的Q 作为最优解．
订货量在第 i 个区间内时的总费用为
D C AD Q HQ Q f i i
i i ++=
121)( 如果f(Q *)<f(Q i )，则Q *为最优解，若f(Q *)>f(Q i ),则选择{})(min )(i L Q f Q f =中的Q L 为最优解．当Q L >Q *j 时，总费用减少额为
111
()(*)*2L L L AD C C D H Q Q Q Q ⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦
上述模型只考虑了存储费的增加，没有考虑流动的利息．
例7 某商店计划从工厂购进一种产品，预测年销量为500件，每批订货手续为50元，工厂制定的单价为（元/件）：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<<=Q
Q Q Q C i 300,37300200,38200100,391000,40
每件产品年存储费率为0.5，求最优存储策略．
解 D=500,H =0.5×40＝20,A =50,故
)(5020
500
502*件=⨯⨯=
Q
Q *在（0，100）内，故C*=40，则
210005004050050202)50(=⨯⨯⨯⨯=＋f
分别算出Q 等于100，200，300时的总费用：
2072550039500501001100395.021)100(=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=
f 2102550038500502001
200385.021)200(=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=f
33.2135850037500503001
300375.021)300(=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=f
f (100)最小，最优解为Q =100．即接受每批订货100件的折扣批量，全年分5次订货，
最小费用为20725元，比没有折扣的费用少250元．
例7的Excel 计算模板：
2.3单价膨胀模型
在社会经济发展过程中，物价往往随时间的变化而变化，即C 是t 的函数C （t ）,并且常见的是t 的递增函数．
在模型一的其假设条下，物价是时间函数的订货批量模型，我们称之为单价膨胀模型．下面介绍三种常见单价膨胀模型．
一、阶段膨胀模型
阶段膨胀模型是指C(t)在某一时间阶段[)()n i t t i i ,,2,1,1Λ=+上为常数C i 且C 1<C 2<…<C n.为方便起见，我们只讨论最简单的二阶段情形．价格函数为
⎩⎨⎧≥<<=0,
210,)(t t C t t C t C o
其中C 1<C 2，则模型一为 D t C A t HDt t f )(1
21)(min ++= （13.31） 在两个时间段内C (t)为常数故
01
212=-=A t
HD dt df 得到
H
AD
Q HD A
t 2*2*
=， 当t *≥时t *为最优解，当t *<t 0时，选择总费用
D t C A t
HDt t f )(1
21)(***++=
与D t C A t HDt t f )(121)(000++=
最小的t 为最优解．式中的C (t )D 应分段计算．
例8 某水果行准备在10月份进一批苹果，预计10月份的销量为50吨，每吨每月的存储费为100元，每批订货费为100元，上半个月的价格为1000元/吨，下半个月的价格为1100元/吨，求最优订货量．
解 已知H =100，A =100，D ＝50，t 0=0.5．在（0，0.5）时间内C 1=1000，在[0.5,1]内C 2=1100，则有
)(102.050*),(6)(2.050
100100
2*
吨天月=⨯====⨯⨯Dt Q t
因 t*<t 0,故t*不一定是最优解．
21*2*3*
1
*21)2.0(*)(C Q C Q A t HDt f t f +++=
= ())
(530001100210003101002.01
2.05010021元=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=
)(539501100251000251005
.015.05010021)5.0()(0元=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=
=f t f 经比较f (0.2)最小，最优订货量为10吨，订货周期为6天，这里应注意f (t*)中3Q *C 1+2Q *C 2
一项，这是因上半个月订了3 次货，下半月订了2 次货．在f (t 0)中期初订货一次期中订货一次，价格不一样．
二、线性膨胀模型
线性膨胀模型的单价函数为C (t)= C 0t ，C 0 为常数，则模型一为 t DC A t
HDt t f 01
21)(++=
（13.32） 令f (t )对 t 的导数为零，得到最优解 D
C H A
t )2(2*0+=
(13.33)
22**C H AD
Dt Q +== (13.34)
最优值为
AD C H t f )2(2*)(0+= （13.35）
三、指数膨胀模型
指数膨胀模型的单价函数为)1,0()(0≠>=βββ
，
t C t K 则模型一为
βD C A t HDt t f 01
21)(min ++=
01
21)('102=+-=-ββDt C A t HD t f
求出t 的一般解析式很困难，可采用各种近似方法求出0)('=t f 的根，对于β的某些特殊值，就能很容易求出最优解．例如，当3=β时，最优解为
02
22002
234821*34821*C D AC D H D HD Q D C D AC D H HD t ++-=
++-=
当0<β时，称为指数收缩型．如1-＝β 时，最优解为
H
D C A D Q HD D C A t )
(2*,)
(2*00+=
+=
单价膨胀模型可以推广到其它存储模型，并且也可以讨论其它费用（如H ，B ，A ）是时间t 的函数情形．
§3 单时期随机需求模型
单时期随机需求问题（Single-period Stochastic Demand Problem ）也称报童问题(Newsboy Problem)，此问题的特点是，将单位时间看作一个时期，在这个时期内只订货一次以满足整个时期的需求量，这种模型我们称之为单时期随机需求模型．是研究易变质产品（Perishable product ）需求问题，其含义是，如果本期的产品没有用完，到下一期该产品就要贬值，价格降低、利润减少，甚至比获得该产品的成本还要低，如果本期产品不能满足需求，则因缺货或失去销售机会而带来损失，无论是供大于求（overstock ）还是供不应求（understock ）都有损失，研究的目的是该时期订货多少使预期的总损失最少或总盈利最大．这类产品订货问题在实践中大量存在，如报纸、书刊、服装、食品、计算机硬件等时令性产品．
假定从订货到收货的时间为零，由于需求是随机的，从而允许缺货．以下将物资、货物等名称统称为“产品”．
假设：
x ：一个时期的需求量，是随机变量并且非负．期望需求量为E(x )，方差记为D(x )．
f (x)：需求量为x 的概率密度函数(probability density function)，⎰
∞
=0
1)(dx x f ，x 是连
续型随机变量．
F (x )： x 分布函数或累计密度函数(cumulative density function)，⎰
=
x
dt t f x F 0
)()(,
)()(x F x f '=．
)(i x p ：需求量为x i 的概率，记为p i ，
∑∞
==0
1i i
p
，x 是离散型随机变量．
Q ：一个时期的订货批量．
C ：单位产品的获得成本（Unit acquisition cost ），即产品的单价． P ：单位产品售价（Unit Selling price ），收益为P －C ． S ：单位产品的残值（Unit Salvage value ）． B ：单位产品缺货成本（Unit Shortage cost ）．指由于缺货而带来的额外损失，如违约金、失去部分信誉造成后期销量减少等损失，它不包含机会损失（P －C ）．如果除了机会损失外没有其它成本则B 等于零．
H ：供过于求时单位产品一个时期内的持有成本，供不应求时等于零． Ps ：缺货概率（Probability of shortage ）．
SL ：SL=1－Ps ，服务水平（Service level ），一个时期内不缺货的概率(% of no shortage)． C o ：C o ＝C －S ＋H ，供过于求时单位产品总成本（Unit overstock cost ）． C u ：C u =P －C ＋B ，供不应求时单位产品总成本（Unit understock cost ）． 3.1离散型存储模型（模型五）
在一个时期T 内，需求量x 是一个随机变量，假设x 的取值为 x 1，x 2，…，相应的概率p (x i )已知，最优存储策略是使在T 内总费用的期望值最小或收益最大．
1. 总费用的期望值最小的订货量
当订货批量Q i x ≥时发生存储，总费用期望值为∑≤-Q
x i
i
O
i p
x Q C )(
当订货批量Q <x i 时发生短缺，总缺货费用期望值为∑<-i
x Q i i
u
p Q x
C 1)(
由于一个时期的订货费是常数，单位产品的获得成本已包含在C o 、C u 中，因此建立总费用最小订货模型只包含上述两项费用，则总费用的期望值为
i i x Q u i i Q
x o p Q x C p x Q C Q f i
i )()()(-+-=∑∑<≤ （13.36）
为方便起见，不妨假设x 的取值为非负整数．则式（13.36）取最小值的必要条件是
)()1()()1(**Q f Q f Q f Q f ≥+≥-和
因此Q*为满足
∑∑+=∞
+=≥--+-+=+1
2
)()1()1()1(Q x x i i
o
i i u i Q i Q f p Q x
C p x Q C Q f
及 ∑∑-=∞
=≥+-+--=-1
)()1()1()1(Q x x i i o i
i
u
i Q
i Q f p Q x C p
x Q C Q f
中的Q 值，解不等式得到使
u
o o
Q
x i C C C p i +<
∑=0
成立的最大Q 值加1，或使
∑=≤+Q x i u o o
i p C C C 0成立的最小需求量Q 即为Q *
．
如果x 取值不是非负整数，则求和式∑=Q
x i i p 0。