数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式
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数值分析(18)复化求积法
1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
理查逊外推算法流程 1,0
1,1 2,0
1,2 2,1 3,0
M
M
MO
1,n 2,n1 3,n2 L n1,0
数值分析
数值分析
二、龙贝格(Romberg)方法
龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应 用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。
h
ba 2k
数值分析
数值分析
变步长复化梯形公式的递推公式： （由n到2n）
T2n
1 2 Tn
Hn 2
其中Tn
hn 2
(
f (a)
n1
f (b)) hn
k 1
f ( xk )
n1
H n
hn
k0
f
(
x
k
1
)
2
实际计算中的递推公式为
ba
T1
[ f (a) f (b)] 2
1
b a n1
ba
T2n 2 Tn
复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误差 有 展 开 式
b a
f ( x)dx Tn
C2h2
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
博士研究生入学考试《数值分析(机电院)》考试大纲
博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。
其中：1、选择/判断题，约占20%。
测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。
测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。
测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
复化求积公式
b
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
第五讲 复化求积公式
四、自动选取积分步长
事前确定步长的问题 (1) 高阶导数的估计往往是很困难的； (2) 这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。 为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法” “事后估计法”的基本思想是 (1) 求数值积分时，将区间逐次分半； (2) 利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求， 从而确定n. 下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法
1 h n1 T f (x ), n k1 2 2 2k0
如何根据Tn和T2n来确定误差是否满足要求？
(ba ) 2 I Tn ( h f ) 1 2 ba h 2 I T2n ( ( ) f ) 1 2 2
则有
如果二阶导数在区 间[a,b]上变化不大
n 1
R (Tn )
复化simpson公式的截断误差
（ 4 ） 若 函 数 f ( x )[ 在 a ,] b 上 连 续 ， 则
ba 4 (4) h5 (4) hf ( ) R ( S n ) f ( k ) I Sn 2 8 8 0 8 8 0 k0 2
0 . 9 4 6 0 8 3 2
1 1 C2 [ 7 f( 0 ) [ 3 2 f( x 1) 1 2 f( x 2) 3 2 f( x 3) ] k k k 1 8 0 k 0 4 4 4
1 4 f( x 7 f( 1 ) ] k)
k 1
1
0 . 9 4 6 0 8 3 0
n 1 h [ 7 f ( x ) 3 2 f ( x ) 1 2 f ( x ) 3 2 f ( x ) 7 f ( x ) ] k 1 2 3 k 1 k k k 9 0 k 0 4 4 4
龙贝格求积法
根据梯形法的误差公式可知积分值的截断误差大致与成正比因此当步长二分后截断误差将减至原有误差的根据梯形法的误差公式可知积分值的截断误差大致与成正比因此当步长二分后截断误差将减至原有误差的14即有将上式移项整理可得即有将上式移项整理可得nt2h412???nntiti3122nnnttti???443由此可见只要二分前后的两个积分值与相当接近就可以保nt2nt由此可见只要分前后的两个积分值与相当接近就可以保证计算结果的误差很小
h p
)
Fk
q pk 1
(h)
,k
0,1, 2,L
定义的序列{Fk(h)}有
Fk (h) F (0) an(n)1h pn1
a h (n) pn2 n2
a h (n) pn3 n3
L
,
其中an(n)k (k 1, 2, 3,L )与h 无关，q>1.
Richardson外推法应用非常广泛且有效，下面介绍应用 于数值积分的情形。
16 15
S4
1 15
S2
3.1415946
64 1 R1 63 C2 63 C1 3.141586292
1 sin x
算例结2 果用见R表om4-b5(ekr代g算表法二计分算次I数)。0 计x算值dx.的得误到差的不梯超形过值，计
0.510-6.
表4-5
k
T2k
S k 1 2
§4.4 外推原理与Romberg求积方法
4.4.1 外推原理
在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值 积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我 们可以通过外推技巧提高计算精度。
例1 计算的近似值。
h p
)
Fk
q pk 1
(h)
,k
0,1, 2,L
定义的序列{Fk(h)}有
Fk (h) F (0) an(n)1h pn1
a h (n) pn2 n2
a h (n) pn3 n3
L
,
其中an(n)k (k 1, 2, 3,L )与h 无关，q>1.
Richardson外推法应用非常广泛且有效，下面介绍应用 于数值积分的情形。
16 15
S4
1 15
S2
3.1415946
64 1 R1 63 C2 63 C1 3.141586292
1 sin x
算例结2 果用见R表om4-b5(ekr代g算表法二计分算次I数)。0 计x算值dx.的得误到差的不梯超形过值，计
0.510-6.
表4-5
k
T2k
S k 1 2
§4.4 外推原理与Romberg求积方法
4.4.1 外推原理
在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值 积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我 们可以通过外推技巧提高计算精度。
例1 计算的近似值。
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
6、数值积分与数值微分
思 路
利用直线或抛物线或一般的多项式代替曲边得 易于计算面积的曲边梯形,即用插值多项式 Pn (x) 代替 f (x) 则积分易算。避免用牛顿-来布尼兹 公式求原函数的困难
f(x)
f(b) f(a) a b
6.1
一、几个简单公式
梯形公式
目标： 近似计算 I f ( x )dx
a
b
f(x)
f(b) f(a) a b
I
k 0
k
复化梯形公式为
n 1 h h Tn [ f ( xk ) f ( xk 1 )] [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 0 2 k 1 n 1
当 f ( x) C 2 [a, b] 时, 在子区间 [ xk 1 , xk ] 上
k 0 k 0 n n
则称数值求积公式
是稳定的.
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
稳定的意思就是: 初始数据的微小误差不会引 起计算结果大的改变.
定理 若数值求积公式
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
的求积系数 Ak 都大于零, 则该求积公式是稳定的.
a b
例 计算积分 例 计算积分
1
0
f ( x)dx, 其中
1
sin x f ( x) x
0
e x dx,
若用复化梯形公式，问
区间[0, 1]应分多少等分才能使误差不超过
0.000005。若用复化Simpson公式，要达到
同样精度，[0, 1]应多少等分。
6.4
利用直线或抛物线或一般的多项式代替曲边得 易于计算面积的曲边梯形,即用插值多项式 Pn (x) 代替 f (x) 则积分易算。避免用牛顿-来布尼兹 公式求原函数的困难
f(x)
f(b) f(a) a b
6.1
一、几个简单公式
梯形公式
目标： 近似计算 I f ( x )dx
a
b
f(x)
f(b) f(a) a b
I
k 0
k
复化梯形公式为
n 1 h h Tn [ f ( xk ) f ( xk 1 )] [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 0 2 k 1 n 1
当 f ( x) C 2 [a, b] 时, 在子区间 [ xk 1 , xk ] 上
k 0 k 0 n n
则称数值求积公式
是稳定的.
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
稳定的意思就是: 初始数据的微小误差不会引 起计算结果大的改变.
定理 若数值求积公式
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
的求积系数 Ak 都大于零, 则该求积公式是稳定的.
a b
例 计算积分 例 计算积分
1
0
f ( x)dx, 其中
1
sin x f ( x) x
0
e x dx,
若用复化梯形公式，问
区间[0, 1]应分多少等分才能使误差不超过
0.000005。若用复化Simpson公式，要达到
同样精度，[0, 1]应多少等分。
6.4
第二节复化求积公式和龙贝格求积公式
Tn )
对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到
I
S2n
1 42 1(S2n
Sn )
1 I C2n 43 1 (C2n Cn )
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
I
T2n
1 4 1(T2n
Tn )
n1
Sn (
f
)
6
f
(a)
4
k0
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
( xk )
f
(b)
复化梯形公式(n
=
8)，h
1 8
0.946083070367
T8 (
f
)
1
2
8
f
(0)
2
f
1 (
)
8
f
(
1 )
4
3 f( )
8
f
(1) 2
f (5) 8
f
(3) 4
f
(
7 8
)
f
(1)
0.945692
复化辛蒲生公式(n
=
4)，h
1 4
S4 (
f
)
1 64
f
(0)
4
f (1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
《龙贝格求积》课件
龙贝格求积法的精度较高，且计算量相对较小，因此在 数值计算中广泛应用。
龙贝格求积法的历史背景
01
龙贝格求积法是由瑞典数学 家龙贝格在19世纪末提出的
。
02
它的出现为数值积分的发展 奠定了基础，成为数学领域
的一项重要成果。
03
随着计算机技术的发展，龙 贝格求积法在科学计算、工 程技术和数据分析等领域得
缺点
计算量大
对于大规模问题，龙贝格求积法可 能需要较大的计算资源和时间，因 为需要进行多次迭代和数值逼近。
对初值敏感
该方法对初值的选择比较敏感，如 果初值选择不当，可能会导致算法
不收敛或者收敛到非期望的解。
需要选择合适的参数
龙贝格求积法的精度和稳定性与参 数的选择密切相关，需要仔细选择 合适的参数值。
通过差商的方式计算插值多项式的导数。
导数在数值分析中的应用
用于估计函数的局部变化趋势，提高数值计算的精度。
龙贝格求积公式的推导
03
龙贝格求积公式的定义
龙贝格求积公式的推导过程
龙贝格求积公式的应用
利用插值多项式及其导数构造求积公式， 用于数值积分。
通过构造插值多项式和其导数，利用牛顿 -莱布尼茨公式推导得出。
对未来研究的展望
01
入 ，未来可以对龙贝格求积法进 行进一步的改进和优化，以提 高其计算效率和适用范围。
02
与其他方法的比较研究
可以开展龙贝格求积法与其他 积分方法的比较研究，深入探 讨各种方法的优缺点和应用场 景，为实际应用提供更加全面
的理论支持。
03
扩展应用领域
对不规则区域处理困难
对于不规则积分区域，龙贝格求积 法可能需要进行额外的处理和调整 ，增加了计算的复杂度。
龙贝格求积法的历史背景
01
龙贝格求积法是由瑞典数学 家龙贝格在19世纪末提出的
。
02
它的出现为数值积分的发展 奠定了基础，成为数学领域
的一项重要成果。
03
随着计算机技术的发展，龙 贝格求积法在科学计算、工 程技术和数据分析等领域得
缺点
计算量大
对于大规模问题，龙贝格求积法可 能需要较大的计算资源和时间，因 为需要进行多次迭代和数值逼近。
对初值敏感
该方法对初值的选择比较敏感，如 果初值选择不当，可能会导致算法
不收敛或者收敛到非期望的解。
需要选择合适的参数
龙贝格求积法的精度和稳定性与参 数的选择密切相关，需要仔细选择 合适的参数值。
通过差商的方式计算插值多项式的导数。
导数在数值分析中的应用
用于估计函数的局部变化趋势，提高数值计算的精度。
龙贝格求积公式的推导
03
龙贝格求积公式的定义
龙贝格求积公式的推导过程
龙贝格求积公式的应用
利用插值多项式及其导数构造求积公式， 用于数值积分。
通过构造插值多项式和其导数，利用牛顿 -莱布尼茨公式推导得出。
对未来研究的展望
01
入 ，未来可以对龙贝格求积法进 行进一步的改进和优化，以提 高其计算效率和适用范围。
02
与其他方法的比较研究
可以开展龙贝格求积法与其他 积分方法的比较研究，深入探 讨各种方法的优缺点和应用场 景，为实际应用提供更加全面
的理论支持。
03
扩展应用领域
对不规则区域处理困难
对于不规则积分区域，龙贝格求积 法可能需要进行额外的处理和调整 ，增加了计算的复杂度。
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
RT ≤ n× h 0.5 1 ×3 = × 2 = 7.92101 × 10 8 12 4 n
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
b
lim
n
Tn
a
f ( x)dx,
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
1 b a n1
ba n
lim
n
Tn
2
lnim
n
k0
f
(xk )
lim
n
n
f ( xk )
k 1
f (x2k )]
2h 6 [ f ( x2k2 ) 4 f ( x2k1 ) f ( x2k )]
b
m
I f ( x)dx
x2k f ( x)dx
a
k 1 x2k 2
h m
3
[
k 1
f
( x2k2
)
4
f
( x2k1
)
f ( x2k )]
h
f (b)]
令 xij 第i次等分区间的第j个区间的中点
n
2时 ，T2
b a [1 (( f (a) 22
f ( x11 )
f ( x11 )
f (b))]
b a[1 22
f (a)
1 2
f (b)
f ( x11 )]
T1 2
计算积分I
1 sin x dx
(n 8)
并计算误差。
0x
解
h
n1
n1
Sn
[ f (a) 4
6
k0
f ( xk1 2 ) 2
数值计算方法 龙贝格求积公式 - 龙贝格求积公式
类似地可验证：
3
S2
4
4
1
T4
4
1
1
T2
龙
贝 格 算 法
Sn
4
4
1
T2
n
4
1
1
Tn
即
Sn
4 3 T2n
1 3
Tn
Sn __ 辛 普 森 积 分 值
注 意 复 化 辛 普 森 求 积 公式 的 余 项
3
Rn
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( )
O(h4
)
龙 贝 格
R2 n
I
S2n
T4
1 2
T2
1 4
[
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)]
0.9445135
典型例题
例2
用复化梯形公式计算积分I 1 dx
0 (1 x ) x
精确至三位有效数字
I
1 dx 0 (1 x )
x t x
1 2dt 0 1 t2
1
g(t )dt
0
T1
1 [g(0) 2
g(1)] 1.5
T2
1 2
[T1
1
g(0.5)] 1.55
T4
1 2
[T2
1 ( g(0.25) 2
g(0.75))] 1.5656
典型例题
T8
1 2 [T4
1 ( g(0.125) 4
g(0.375)
g(0.625)
g(0.875))]
1.5695
注意到:
T8 T4
数值计算方法第五章第二节 复化求积公式
h Tk ( f ( xk ) f ( xk 1 )) 2
复化梯形公式为
n 1
k 0,1,
,n 1
n 1 h Tn Tk ( f (a ) f (b)) h f ( xk ) 2 k 0 k 1
数值分析
数值分析
截断误差分析：
h3 '' 在区间 xk , xk 1 上，Rk f (k ), k xk , xk 1 12 n1 n1 h3 '' 整体误差为 Rn Rk ( ) f (k ) 12 k 0 k 0
b a 1 n1 '' 利用 h 和 f (k ) f '' ( ) a, b n n k 0
得到复化梯形公式的截断误差是： b a 2 '' R(Tn ) h f ( ) O( h2 ) 12
数值分析
数值分析
2、复化Simpson公式
在每个小区间 xk , xk 1 上用Simpson公式 h Sk ( f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )) k 6 2
n 1
复化Simpson公式为
h 2 n1 1 n1 Sn Sk ( f (a ) f (b)) h f ( x 1 ) h f ( xk ) k 6 3 k 0 3 k 1 k 0 2 n 1 1 2 Tn H n , 其中H n h f ( x 1 ) k 3 3 k 0 2
用复化梯形公式n至少取68，节点至少取n 1 69个。
数值分析
数值分析
例：当用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 1 1 x -4 0 e dx的近似值时，若要求误差不超过 2 10 ， 问至少各取多少个节点？
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为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积 分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次
的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积
分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的
求积公式，这就是复化求积公式的基本思想. 我们仅
讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积
公式.
ba 将积分区间[a, b]n等分, 步长 h , 分点为 n xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
h 6 10 ,
取n=17可满足要求.
2
1 1 n 102 16.67 h 6
例3 利用复化辛普森公式计算 I 0 误差限为10-4，应将区间[0, 1]几等分?
ax f 解 利用例1的结果 m 0 x 1
(k )
1
si n x dx, 使其 x
1 ( x) . k 1
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
而将积分区间[0, 1]划分为2×4等 分，用复化辛普森公式求得
S4 0.9460832 .
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709
比较上面两个计算结果T8与S4，它们都需要提供 9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准 确值 I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结 果T8=0.9456909只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832却有6位有效数字. 注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sinx/x 的高阶导数，由于
6.3.2 复化辛普森公式
将积分区间[a, b] 划分为2n等分, 则
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
f ( x )dx
每个子区间[x2k, x2k+2]上的积分用辛普森公式, 得
2h x2 k f ( x )dx 6 [ f ( x2k ) 4 f ( x2k 1 ) f ( x2k 2 )] 2h n 1 I [ f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( x2 k 2 )] 6 k 0
(k ) 1 k
h 1 1 1 R8 ( f ) I T8 max f ( x ) 0.000434 . 12 0 x1 12 8 3
复化辛普森公式误差为
2
2
1 1 1 6 R4 ( f ) I S4 0.271 10 . 2880 4 5
将积分区间[a, b] 划分为2n等分, 即将每一个区间 [xk, xk+1]经过二等分增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k x k 1 ) 2
在每个子区间[xk, xk+1]上的积分用辛普森公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6
I Tn 4, I T2 n
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3
由此可见，如果二分前后的两个积分值Tn与T2n 相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小. 这 样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差 的事后估计法.
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
由复化辛普森公式的余项得
1 0 4 (4) R[ S 2 m ] h f ( ) 180 1 4 1 1 h h 4 104. 180 4 1 900 h 30 101 , 1 0 10 n 2m 1.83. h 30
因此只需将区间[0, 1]二等分，即取m=1(n=2).
4
si n x dx, 使其误 例2 利用复化梯形公式计算 I 0 x 差限为10-4，应将区间[0, 1]几等分?
1
ax f 解 利用例1的结果 m 0 x 1
(k )
1 ( x) . k 1
由复化梯形公式的余项得
1 0 2 1 2 1 1 2 4 R[Tn ] h f ( ) h h 10 . 12 12 2 1 36
n 1 n 1 h Sn [ f ( a ) 2 f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( b )] 3 k 1 k 0 ba 4 若 f(x)C [a,b], 其求积余项为 h 2n b a 2h 4 (4) ( b a )5 (4) Rn ( f ) I Sn ( ) f ( ) f ( ) 4 180 2 2880n
上用梯形公式得
hn T1 f ( xk ) f ( xk 1 ) 2 在[xk, 源自k+1]上用复化梯形公式得
hn / 2 T2 [ f ( xk ) 2 f ( xk 1 / 2 ) f ( xk 1 )] 2 ( xk 1 / 2 ( xk xk 1 ) / 2)
1 sin x f ( x) cos( xt )dt . 0 x
1 1 dk k k cos( xt )dt t cos xt dt . k 0 dx 2
所以有
f
(k )
( x)
0
于是
k 1 max f ( x ) t cos xt dt . 0 0 x 1 2 k 1 复化梯形公式误差为
x2 k 2
h n 1 [ f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( x2 k 2 )] 3 k 0
h n 1 I [ f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( x2 k 2 )] 3 k 0 n 1 n 1 h [ f ( a ) 2 f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( b )] 3 k 1 k 0 称为复化辛普森公式. 记
复化求积的基本想法:
I f ( x )dx
b a k 0
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间上的积分
xk 1 xk
f ( x )dx
用低阶求积公式, 然后把所有区间的计算结果求和,
就得到整个区间上积分 I 的近似值。
6.3.1 复化梯形公式
将积分区间[a, b]划分为 n 等分, 则
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
注1: 用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需 要将区间[0, 1]划分17等分，可见复化辛普森公式的精 度比复化梯形公式精度高. 注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε
来控制计算的精度. 这就是下面要介绍的龙贝格求
积公式.
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
n 1
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] k 0 2
n 1
n 1 h h I [ f ( xk ) f ( xk 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xk ) f ( b )] 2 k 0 2 k 1
n 1
所以
1 hn T2 T1 f ( xk 1 / 2 ) 2 2
1 hn T2 T1 f ( xk 1 / 2 ) 2 2
从0到n1对k累加求和得
hn n1 1 T2 n Tn f ( xk 1 / 2 ) 2 2 k 0
这就是递推的复化梯形公式. 注：从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化 梯形公式的值Tn作为一个整体保留. 只需计算出新
1 b a n 1 ba n Tn f ( xk ) f ( xk ) . 2 n k 0 n k 1
当n→∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数 的积分，所以复化梯形公式收敛. 此外，Tn 的求积系 数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.
6.3.2 复化辛普森公式
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
ba 2 ba Rn ( f ) h f ( ), [a , b], h . 12 n