高考热点问题和解题策略之探索性问题

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高考热点问题和解题策略之探索性问题

二、探究性咨询题近年来，随着社会主义经济建设的迅速开发，要求学校由“应试教育〞向“素养教育〞转化，培养全面开发的开拓型、制造型人才。

在这种要求下，数学教学中开放型咨询题随之产生。

因此，探究性咨询题成了近几年来高考命题中的热点咨询题，它既是高等学校选拔高素养人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有制造能力、开拓能力的任务所要求的。

实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是看看、分析、回纳、类比、猜度、概括、推证的探究过程，其探究方法是学生应该学习和把握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，关于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探究者通过看看、分析、回纳出结论或判定结论的咨询题〔探究结论〕；或者虽给出了咨询题的明确结论，但条件缺少或未知，需要解题者寻寻充分条件并加以证实的咨询题〔探究条件〕，称为探究性咨询题。

此外，有些探究性咨询题也能够改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决咨询题。

探究性咨询题一般有以下几种类型：猜度回纳型、存在型咨询题、分类讨论型。

猜度回纳型咨询题是指在咨询题没有给出结论时，需要从特不情况进手，进行猜度后证实其猜度的一般性结论。

它的思路是：从所给的条件动身，通过看看、试验、不完全回纳、猜度，探讨出结论，然后再利用完全回纳理论和要求对结论进行证实。

其要紧显示是解答数列中等与n 有关数学咨询题。

存在型咨询题是指结论不确定的咨询题，即在数学命题中，结论常以“是否存在〞的形式出现，其结果可能存在，需要寻出来，可能不存在，因此需要讲明理由。

解答这一类咨询题时，我们能够先假设结论不存在，假如推论无矛盾，因此结论确定存在；假如推证出矛盾，因此结论不存在。

代数、三角、几何中，都能够出现此种探讨“是否存在〞类型的咨询题。

分类讨论型咨询题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，寻出满足条件的条件或结论。

2013数学考前热点问题和解题策略二、探索性问题

二、探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。

在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。

于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。

实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。

此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。

探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。

猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。

它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。

其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。

存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。

解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。

代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。

分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。

此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。

探索性问题——精选推荐

探索性问题【考点梳理】一、探索性问题如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。

条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。

二、探索型问题的基本类型1．条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。

在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意。

确定条件是否多余时要着眼于每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。

2．结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般型式。

3．存在判断型判断存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。

4．方法探究型这里指的是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此型。

在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。

三、思想方法解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用。

对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。

高考题中一般对这类问题有如下方法：1．直接法2．观察—猜测—证明3．赋值法4．数形结合 5．联想类比6．从特殊到一般7．从特殊到一般再到特殊8．等价转化四、怎样提高解探索问题的能力1．注重双基的训练，夯实基础知识。

2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型六探索性问题(解析版)

类型六探索性问题解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．【典例1】在平面直角坐标系xOy ，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围． [审题](1)切入点：根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程．关注点：注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式．(2)切入点：先求出直线l 的方程，然后联立直线l 与抛物线的方程，消去x ，得到关于y 的方程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论．关注点：当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进而按Δ、x 0与0的大小关系再分情况讨论．【解析】 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －12＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x ).2分故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，0，x <0.4分 (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎨⎧y －1＝k x ＋2，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①5分①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.6分 ②当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③7分(ⅰ)若⎩⎨⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.8分(ⅱ)若⎩⎨⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.10分 (ⅲ)若⎩⎨⎧Δ>0，x 0<0，11分由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(1)(2)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.【典例2】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m>0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2思路分析❶假设四边形OAPB 能为平行四边形 ↓❷线段AB 与线段OP 互相平分 ↓❸计算此时直线l 的斜率↓ ❹下结论【解析】(1)证明设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0，k≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x.设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m 3－k 3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．【典例3】如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．【解析】 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以(233)2－1b 21＝1. 故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝2332＋1－12＋2332＋1＋12＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．【典例4】已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2.(1)若M 为C 上任意一点，求|MF 1|·|MF 2|的最大值；(2)椭圆C 上是否存在点P(异于点A 1，A 2)，使得直线PA 1，PA 2与直线x ＝4分别交于点E ，F ，且|EF|＝1？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解 (1)由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝4， ∴|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝4，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝2时等号成立， ∴|MF 1|·|MF 2|的最大值为4. (2)假设存在满足题意的点P. 不妨设P(x 0，y 0)(y 0>0)，则－2<x 0<2. 由题意知直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝4，得y E ＝6y 0x 0＋2，直线PA 2的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝4，得y F ＝2y 0x 0－2，由|EF|＝y E －y F ＝6y 0x 0＋2－2y 0x 0－2＝4x 0y 0－16y 0x 20－4＝4y 0x 0－4－4y 20＝4－x 0y 0＝1，得x 0＝4－y 0，由x 20＋4y 20＝4，得5y 20－8y 0＋12＝0，∵Δ＝－176<0，∴此方程无解．故不存在满足题意的点P.【典例5】已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点(2,0)作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分∠MAN ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解 ①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A(不与点(2,0)重合)，都可使得x 轴平分∠MAN ；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k≠0)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝k x －2，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，显然Δ>0，∴x 1＋x 2＝4k 2＋4k2，x 1x 2＝4，(*)假设在x 轴上存在一点A(a,0)，使得x 轴平分∠MAN ， ∴k AM ＋k AN ＝0，∴y 1x 1－a ＋y 2x 2－a ＝0，∴y 1x 2－a ＋y 2x 1－ax 1－a x 2－a＝0，又y 1＝k(x 1－2)，y 2＝k(x 2－2)， ∴2x 1x 2－a ＋2x 1＋x 2＋4ax 1x 2－a x 1＋x 2＋a 2＝0，把(*)式代入上式化简得4a ＝－8， ∴a ＝－2，∴点A(－2,0)，综上所述，在x 轴上存在一点A(－2,0)，使得x 轴平分∠MAN. 规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．【拓展训练】1．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，点B(0,1)，点A 为椭圆G 的右顶点，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q两点(点Q 在第一象限)，且与线段AB 交于点M.是否存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】解设Q(x 0，y 0)，则P(－x 0，－y 0)，可知0<x 0<2,0<y 0<1.假设存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍，则|OP|＝3|MQ|，即|OQ|＝3|MQ|，即OM →＝23OQ →＝⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0，得M ⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0. 又A(2,0)，∴直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0. ∵点M 在线段AB 上，∴23x 0＋43y 0－2＝0，整理得x 0＝3－2y 0，①∵点Q 在椭圆G 上，∴x 204＋y 20＝1，② 把①式代入②式可得8y 20－12y 0＋5＝0， ∵判别式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0， ∴该方程无解．∴不存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍．2．(2020·滁州模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD|·|AB|＝12137？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】解假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ，由题意知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1，由题意，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－m|2<1，得|m|<2，|AB|＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m 消去y ，整理得 7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0.由题意，Δ＝(－8m)2－4×7×(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7，又|m|<2，所以m 2<2. 设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2×336－48m 27＝467－m 27，若|CD|·|AB|＝12137，则2×2－m 2×467×7－m 2＝12137，整理得4m 4－36m 2＋17＝0，解得m 2＝12或m 2＝172.又m 2<2，所以m 2＝12，即m ＝±22.故存在符合条件的直线l ，其方程为 y ＝－x ＋22或y ＝－x －22. 专题训练1. (2020·广州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1.过点P(0,1)的动直线l(直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA||QB|＝S △APQ S △BPQ恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解假设在y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA||QB|＝S △APQ S△BPQ恒成立．设Q(0，m)(m≠1)，A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，显然，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，S△APQS△BPQ＝12|QP||QA|sin ∠PQA 12|QP||QB|sin ∠PQB ＝|QA|sin ∠PQA |QB|sin ∠PQB ， ∵|QA||QB|＝S△APQ S△BPQ，∴sin ∠PQA ＝sin ∠PQB ， ∴∠PQA ＝∠PQB ，∴k QA ＝－k QB ，∴y 1－m x 1＝y 2－m－x 2，∴(m －1)(x 1＋x 2)＝2kx 1x 2，即－(m －1)·4k 2k 2＋1＝－2k·22k 2＋1，解得m ＝2，∴存在定点Q(0,2)，使得|QA||QB|＝S△APQ S△BPQ恒成立． 2．在平面直角坐标系xOy 中．①已知点Q(3，0)，直线l ：x ＝23，动点P 满足到点Q 的距离与到直线l 的距离之比为22. ②已知点H(－3，0)，G 是圆E ：x 2＋y 2－23x －21＝0上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P. ③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且|ST|＝3，动点P 满足OP →＝63OS →＋33OT →.(1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】解 (1)若选①，设P(x ，y)，根据题意得，x －32＋y 2|x －23|＝22，整理，得x 26＋y 23＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.若选②，由E ：x 2＋y 2－23x －21＝0得(x －3)2＋y 2＝24，由题意得|PH|＝|PG|，所以|PH|＋|PE|＝|PG|＋|PE|＝|EG|＝2 6 >|HE|＝23，所以点P 的轨迹C 是以H ，E 为焦点的椭圆，且a ＝6，c ＝3，则b ＝3，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.若选③，设P(x ，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则x′2＋y′2＝9，(*) 因为OP →＝63OS →＋33OT →，所以⎩⎨⎧x ＝63x′，y ＝33y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝62x ，y′＝3y ，将其代入(*)，得x 26＋y 23＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当过点A 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，x ＝－2，当切线方程为x ＝2时，M(2，2)，N(2，－2)，以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.①当切线方程为x ＝－2时，M(－2，2)，N(－2，－2)，以MN 为直径的圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.② 由①②联立，可解得交点为(0,0)．当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋m ，即|m|k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)．联立切线与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，并消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝－8(m 2－6k 2－3)＝－8(2k 2＋2－6k 2－3)＝8(4k 2＋1)>0，所以切线与椭圆C 恒有两个交点．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2，因为OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·2m 2－61＋2k 2＋km·－4km 1＋2k 2＋m 2 ＝3m 2－6－6k 21＋2k 2＝3×2k 2＋1－6－6k 21＋2k 2＝0. 所以OM ⊥ON ，所以以MN 为直径的圆过原点(0,0)，综上所述，以MN 为直径的圆过定点(0,0)．。

【精品】高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略.doc

高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。

正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。

多年来笔者对此也做了一些探讨。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

每一种类型其求解策略乂有所不同。

因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。

下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例1. (2002年上海10)设函数/•⑴= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个可能值是o 分析与解答：：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数/. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。

由此可得、2k +12x + 2r = -2x + 2/ + + t = TT-(-2X +2t) + 2ki(k E Z) /. t = --- 7r(k e Z)4 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

高考热点开放、探究题的特点及求解策略

大，需要考生自己去探索，结合已知条件进行分析、比较和概括，
因此是考查创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能力
的好题型．
其中开放性试题又可分为条件开放型、结论开放型、存在判
断型、规律探究型等，每种题型的求解策略有所不同，因此在求
解时，必须先辩明考查类型，再根据所属类型选择解题策略．
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高考热点开放、探究题的特点及求解策略
《高考特训营》 ·数学
解析：∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条
不同的直线，
若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.
⊥β，③n⊥β，则n∥α.
又∵④m⊥α，∴①m⊥n，即②③④⇒①.
故答案为①③④⇒②(或②③④⇒①)
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x，可得a＝，其中x>0，

−
令h(x)＝，其中x>0，则h′(x)＝，由h′(x)＝0，可得x＝e，

列表如下：
4
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
增

极大值

减
高考热点开放、探究题的特点及求解策略
《高考特训营》 ·数学

所以函数h(x)在x＝e处取得最大值h(e)＝，作出函数h(x)的图象

如下图所示：
由图可知，函数h(x)的值域为

−∞，

，
故当函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ln x的图象无公共点时，a>
5

.

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最新高考-高考二轮复习之探索性问题精品

专题探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索．考点2：猜想、归纳、证明问题．考点3：探索存在型问题．考点4：命题组合探索性问题．【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．（以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示）【重点∙难点∙热点】问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1．例1．（02年上海）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．演变1：(05年浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小；ABCDOP(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？点拨与提示：(Ⅱ)找出O 点在平面PBC 内的射影F ，则∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∠ODF 即为所求；(Ⅲ)若F 为PBC 的重心，得B 、F 、D 共线，进一步得BD ⊥PC ，故PB=BC ，得k=1．问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．例2．（04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号）． ①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”．（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q qa a nn n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n nn n qa a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量．故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x 年的维修、保养费用总和为42)1(12⨯-+x x x ，求出x 与y 之间的函数关系．问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例3： ( 06年湖南）已知椭圆C 1:22143x y +=，抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(Ⅱ)中，分别将直线方程)1(-=x k y 与椭圆、抛物线的方程联立，22438k k +＝2221)2(k k p x x +=+，再由)(214)212()212(2121x x x x +-=-+-＝1212()()22p p AB x x x x p =+++=++得34124)(2342221+-=+-=k k x x p 可到k 的值．解（Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）．因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p ．此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上．（Ⅱ）：假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上．当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ． ①设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 1，x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +．由⎩⎨⎧-==-)1(2)(2x k y pxm y 消去y 得px m k kx 2)(2=--，② ∵C 2的焦点),2(m p F '在直线)1(-=x k y 上，所以)12(-=pk m ，代入②得04)2(22222=++-p k x k p x k ③由于x 1，x 2是方程③的两根，∴ 2221)2(k k p x x +=+，从而 22438k k +=22)2(k k p + ④ 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++．从而121214()2x x p x x ++=-+．所以34124)(2342221+-=+-=k k x x p 解得6,62±==k k 即，此时34=p ．因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=．即3636-==m m 或．当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ；当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y ．点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．演变3：（06年福建）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间[],1t t +的位置关系；(II)转化为()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点，利用导数分析函数 ()()()x g x f x φ=-的极值情况．问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例4 （99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒ m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒ α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)．点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的．演变4：6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．例5：（06年上海春）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=，()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()nn d d a+++=+ 110)1(10解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ．（2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列．研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等．演变5：在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+ a 2+…+ a n = a 1+ a 2+…+ a n-19(n<19，n ∈N)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{ b n }中，若b 9=1，则有等式___________成立．点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；由此得相应等式．专题小结1、条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论． 3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．【临阵磨枪】一．选择题 1．(05年江西)123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（）A 4项B 3项C 2项D 1项2．(05天津)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（）A l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,3．（05年山东）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 44．(05湖北)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（）A KB HC GD B ′5．（06年湖北卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）A 2-B 1-C 1D 4 6．（06年陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）Ａ 2 Ｂ 4 C 6 D 87．（06年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A 2-B 2C 4-D 4 8．（04年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bda c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A 0B 1C 2D 3 二．填充题9．(05年山东）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是_______________．10．(05湖南文)已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m ．（填所选条件的序号）11．（02年全国理）已知函数221)(x x x f +=，那么___________.111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=12．设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点()0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______ 三．计算题 13．（05江西卷）已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ．是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．14．（05湖北理）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．15．（06年湖北卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．16．（06年湖北）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =．（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ．并证明你的结论．17．（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 18．（02年上海）．规定()()11!mx x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mn C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①mn m n n C C -=；②11m m m n nn C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些mxC R ∈成立的例子吗？参考答案： 1．B 提示：123)(x x +的展开式为12412236121212t t t tt tt t C C xC x-++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项．选B2．D 提示：A 选项：缺少条件m α⊂；B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题．本题答案选DO图43． B 提示：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭圆相交于A (1， 0)和B (0， 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22，2)，该点到直线的距离小于5，所以在直线上方不存在满足条件的P 点 4．C 提示：用排除法．∵AB ∥平面KEF ，A B ''∥平面KEF ，B B '∥平面KEF ，AA '∥平面KEF ，否定(A)，AB ∥平面HEF ，A B ''∥平面HEF ，AC ∥平面HEF ，A C ''∥平面HEF ，否定(B)，对于平面GEF ，有且只有两条棱AB ，A B '' 平面GEF ，符合要求，故(C)为本题选择支．当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF ．综上选(C)5．C ．提示：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>．由my x z +=得1z y x m m =-+，它表示斜率为1m-．（1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1；（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，与0m <矛盾．综上可知，=m 1．6．B 提示： a a yax x y a y a x y x 211)1)((++≥+++=++，∴a a 21++≥9，a ≥4． 7．D 提示：椭圆22162x y +=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =，故选D ．8．D 提示：若0,0,0>-=->->abadbc b d a c ad bc ab 则， ∴00,0>-⇒>->b d a c ad bc ab ，若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即故三个命题均为真命题，选D ．9． ()2,3 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围．可知，在(2， 3) 点目标函数65z x y =+取得最大值． 10．③⑤ ， ②⑤ 提示：[解析]:由线面平行关系知:αα,⊂m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥ββ⊥m 可得,11．27 提示：考察函数可发现左式构成规律：1)21()(=+f x f ，于是立得结论为27．若直接代入费力又费时．12．答：①③⇒②④或②③⇒①④ 13．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x x x f12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x xx x x x x .cos sin x x +=x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x.0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ14．解：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473．（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF ．连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC ． ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF 15．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ，则 f`(x)=2ax+b ，由于f`(x)=6x －2，得a=3 ， b=－2，所以 f(x)＝3x 2－2x ．又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5．当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）．因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ，必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．16．解法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面11BDD B 相交于点，，连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG ，故OG ∥PC ，所以，OG ＝21PC ＝2m．又AO ⊥BD ，AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ，故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝23222==m GOOA，即m ＝31．所以，当m ＝31时，直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为（Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为D 1O 1⊥A 1C 1，且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP ．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直．解法二：(本题也可用空间向量来求解)17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1）∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）O22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立．所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =但1无意义．性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时， ()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mxC Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m x C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mnC Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mxx x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!mmmmx x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．【挑战自我】直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、4B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；（2）若点E 满足21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．讲解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）0(21E AB EC ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342k kmx x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||2200k m k kkm k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒=∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．【答案及点拨】演变1：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA ，又AC ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB ．(Ⅱ)∵AB ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OC=OB ，又∵OP ⊥平面ABC ，∴PA=PB=PC ．取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PE 于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF ．在Rt △ODF 中，sin ∠ODF=OF OD =，∴PA 与平面PBC 所成角为arcsin30(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影．∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，∵OB ⊥PC ．∴PC ⊥BD ，∴PB=BC ，即k=1．反之，，当k=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心．演变2：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x ．（2）解不等式 984022-+-x x ＞0，得 5110-＜x ＜5110+．∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17．故从第3年工厂开始盈利．（3）(I ) ∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立．∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元． (Ⅱ) y=－2x 2+40x －98= －2（x －10）2 +102，当x=10时，y max =102．故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元．演变3：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数ABCDOP()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数；当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ=7m (1))(-==φφ极大值x ，15ln36m (3))(-+==φφ极小值x 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值即7156ln 3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-演变4：①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y演变5：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之积为 x (定值)，由于b 9=1，x 与b 9的序号关系为 2⨯9－1=17= x ，故应填入的等式为：b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17- n (n <17，n ∈N)．。

备战2025年高考二轮复习数学课件专题：解析几何-证明与探索性问题

2
2
4 +3 2
4 +3
2
4( 2 -9) 2 +3 2 +9-
=
−m[k(x1+x2)-3]+m2
4 2 +3
81
4
.
∵ · ≤0 恒成立,∴4(m -9)k +3m
2
∴
4(2 -9) ≤ 0,
2
3 +
81
9- 4
2
解得-3≤m≤
≤ 0,
81
+9m− 4
2
≤0 恒成立.
2
则 a2=4,b2=a2-1=3.故椭圆 C
2
的方程为
4
2
+ =1.
3
(2)证明 (方法一)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),=,
则
1 + 2
1+
1 +2
1+
= 4,
= 0,
(*)
2 = 4 + 4-1 ,
即
2 = -1 ,
312 + 412 = 12,
②当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的斜率为 k,则直线 PQ 的方程为
3
y-(− 2)=k(x-0),即
3
y=kx− 2.
设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线 PQ 与椭圆的方程,得
得(4k2+3)·x2-12kx-27=0.
∴Δ=(-12k)2-4(4k2+3)·(-27)=576k2+324>0,
F,点
3
M(1,2)
在 C 上,且 MF⊥x 轴.
(1)求C的方程;

高考满分数学压轴题16 立体几何中探索性问题(可编辑可打印)

一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。

考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。

对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。

现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。

二．解题策略类型一空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，立体几何中探索性问题且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==，根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形，则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。

高考数学第二轮专题复习----探索性专题.doc

高考中的探索性问题一、高考大纲剖析以前数学考试说明中能力要求没有创新意识。

数学考试说明：能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。

其中创新意识指对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.命题基本原则中指出，创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具.梳理解题程序，为考生展现其创新意识，发挥创造能力，创设广阔的空间.数学考试大纲（必修+选I）：能力要求中创新意识增加了：创新意识是理性思维的高层次表现。

对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创造意识也就越强。

考查要求指出对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。

在考试中创设比较新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,体现思维的发散性。

精心设计考察数学主体内容,体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放型的试题。

两年考试大纲对比，说明今年高考对学生创新意识要求更高，近几年高考试题中对这方面考查主要通过探索性问题来实现的。

那么什么是探索性问题呢?如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.二、高考试题研究高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现．如高考江苏卷第16题（立几）、第解几）；高考全国卷第15题（立几）、第22题（解几）；高考上海卷第12题（填空题，解几）、第21题（Ⅲ）（解几）、第22题（理：集合与函数，文：数列与组合数）；高考江苏卷第6题（统计图）、第13题（表格）；高考上海卷第12题（填空题，数列）、第16题（选择题，招聘信息表）、第21题（3）（立几）、第22题（3）（圆锥曲线）；高考北京卷第14题（填空题，数列）、第不等式证明）；高考福建卷第15题（概率）、第21题（Ⅱ）（导数与不等式）；春季高考上海卷第9题（数列）、第16题（函数）、第21题（2）（函数与直线）、第22题（3）（椭圆）等。

高考数学难点突破(化归思想-探索性问题-应用问题)

边长的正方形的面积，试求函数 f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式. 命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综
合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式. 错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不
将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择
问题解决的途径和方法.
●难点磁场
1.（★★★★★）一条路上共有 9 个路灯，为了节约用电，拟关闭其中 3 个，要求两端
的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为
.
2.（★★★★★）已知平面向量 a=(
大值问题
令μ= x 1 ,则 x=μ2–1,则μ∈［1, 2 ］.
∴2x+ x 1 =–2(μ– 1 )2+ 17 . 48
当μ=1 即 x=0 时，–2x+ x 1 有最大值 1
∴t 的取值范围是 t≥1. 6.(1)解：{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由 an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥
2 1
当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=– .
2 而 f(t)= 1 (t2–3)t=0 时，得 t=– 3 ,0, 3 .
4
所以 f(t)的图象大致如右：
于是当 k> 1 或 k<– 1 时，直线 y=k 与曲线 y=f(t)仅有
2
2
一个交点，则方程有一解；
当 k= 1 或 k=– 1 时，直线与曲线有两个交点，则方程

高考数学圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题含答案解析

圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3,两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点M m,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不存在,请说明理由.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A1,32到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0在抛物线C上,且．的焦点为F,点P x0,y0(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.2(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.4(2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P 为圆C :x 2+y 2=4上的动点,过点P 作x 轴垂线,垂足为点Q ,动点M 满足2MQ =3PQ(点P 、Q 不重合)(1)求动点M 的轨迹方程E ；(2)若过点T 4,0 的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点,定点N 为1,32,直线NA 的斜率为k 1,直线NB 的斜率为k 2,试判断k 1+k 2是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．5(2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问：∠APB是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.6(2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,点D x0,2在抛物线C上,且DF=2．(1)求抛物线C的标准方程．(2)直线l：x=my+t与抛物线C交于A,B两点,点P-4,0,若∠APO=∠BPO(O为坐标原点),直线l 是否恒过点M？若是,求出定点M的坐标；若不是,请说明理由．7(2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,动点G 到F 1-3,0 ,F 23,0 的两点的距离之和为4．(1)试判断动点G 的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程C ．(2)已知直线y =k x -3 k >0 与圆F 2:x -3 2+y 2=14交于M 、N 两点,与曲线C 交于P 、Q 两点,其中M 、P 在第一象限,d 为原点O 到直线l 的距离,是否存在实数k ,使得T =NQ -MP ⋅2d 2取得最大值,若存在,求出k 和最大值；若不存在,说明理由．8(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63,以原点O 为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x -2y +6=0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ,B 为动直线y =k (x -2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点,问：在x 轴上是否存在定点E ,使得EA 2 +EA ⋅AB为定值？若存在,试求出点E 的坐标和定值；若不存在,请说明理由．9(2022届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线C :y 2=4x ,点F 为C 的焦点,过F 的直线l 交C 于A ,B 两点．(1)设A ,B 在C 的准线上的射影分别为P ,Q ,线段PQ 的中点为R ,证明：AR ∥FQ ；(2)在x 轴上是否存在一点T ,使得直线AT ,BT 的斜率之和为定值？若存在,求出点T 的坐标；若不存在,请说明理由．10已知椭圆E :y 2a2+x 2=1a >1 的离心率为32,圆A :x 2+y -a 2=r 2r >0 与椭圆E 相交于B ,C 两点.(1)求AB ⋅AC的最小值；(2)若F 1,F 2分别是椭圆E 的上、下焦点,经过点F 1的直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,则△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在,请说明理由.11(2022届北京一六一中学高三12月测试)已知椭圆C :x 2m +y 22=1(m >2)上一点与椭圆C 的两个焦点构成的三角形周长为42+26．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (2,1)作x 轴的垂线l ,设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上),点A 关于l 的对称点为A ,直线A P 与C 交于另一点B ．设O 为原点,判断直线AB 与直线OP 的位置关系,并说明理由．12(2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2,0 ,渐近线方程为y =±3x ,过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.(1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1,求线段AB 的中点坐标；(3)点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 在C 上,且x 1>x 2>0,y 1>0.过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |.13已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12,点1,32 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t ∈R ,切点分别是A 、B ,试利用结论：在椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的点x 0,y 0 处的椭圆切线方程是x 0xa 2+y 0y b2=1,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点F 2；(3)试探究1AF 2 +1BF 2的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由．14(2023届四川省成都市高三上学期月考)如图所示, 已知A ,B 两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP ,BP 的交点为P ,且它们的斜率之积-14．(1)求点P 的轨迹E 的方程;(2)设点C 为x 轴上(不同于A ,B )一定点, 若过点P 的动直线与E 的交点为Q , 直线PQ 与直线x =-2和直线x =2分别交于M ,N 两点,当∠ACM =∠ACN 时,请比较∠ACP 与∠ACQ 大小并说明理由．15(2023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8月摸底)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线Γ上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|=|MN|；②|OM|=|ON|=|MN|=86；③直线MN的方程为y=6p．(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；(2)过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A,B,C,D,且A,C两点在直线BD的下方,求证：直线AD,BC的倾斜角互补并求直线AD,BC的交点坐标．圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1经过点2,-3 ,两条渐近线的夹角为60°,直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2,是否存在x 轴上的定点M m ,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在,求实数m 的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°,∴渐近线的斜率±b a =±3或±33,即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时,由4a 2-9b2=1得：a 2=1,b 2=3,∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时,方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ,假设存在定点M m ,0 满足题意,则MA ⋅MB=0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时,设l :y =k x -2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0,∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ,∴x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +m 2+4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0,∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0,整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0,由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时,MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时,l :x =2,则A 2,3 ,B 2,-3 ,当M -1,0 时,MA =3,3 ,MB =3,-3 ,∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时,l :y =0,则A -1,0 ,B 1,0 ,∵M m ,0 ,∴MA =-1-m ,0 ,MB=1-m ,0 ,∴MA ⋅MB=m 2-1=0,解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时,设l :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0,∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ,∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2 +m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t 2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1,即m =-1时,MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)【解析】(1)若选①②,可知c 2=a 2+b 2，ca =2，2b =23，解得a =1，b =3，c =2，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选①③,因为b >a ,∴b a=3，2b =23， ∴a =1，b =3，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为θ,可知c a =2，θ=60°，a 2+b 2=c 2 则c a =2，ba =tan θ=tan60°，a 2+b 2=c 2此时无法确定a ,b ,c(2)F (2，0),由题意知,直线l 斜率不为0,∴设直线l ：x =ty +2.由x =ty +2，x 2-y23=1，得(3t 2-1)y 2+12ty +9=0,设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),|y 1|>|y 2|,则可知3t 2-1≠0且Δ>0恒成立,y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1,∵y 1y 2>0,∴t <-33或t >33.∵S △AOB S △BOF =S △AOF -S △BOF S △BOF =S △AOF S △BOF -1=|y 1||y 2|-1=3+1,∴y 1y 2=2+3.由(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 1y 2=10t 2+23t 2-1,得y 1y 2+y 2y 1=10t 2+23t 2-1,∴10t 2+23t 2-1=4,∴t =±3,满足t <-33或t >33.∴直线l 的方程为y =33x -233或y =-33x +233.(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．【解析】(1)∵F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,∴F 21，0 ,∴c =1,且抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0，y 0 ,∵PF 2 =53,∴x 0+1=53,∴x 0=23,∴y 0=223=263,∴49a 2+83b2=1,∵a 2-b 2=c 2=1,解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在T t ，0 满足∠OTS =∠OTR .设R x 1，y 1 ,S x 2，y 2 ,联立y =k x -13x 2+4y 2=12,消y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0,由韦达定理有x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2①,其中△>0恒成立,由∠OTS =∠OTR (显然TS ,TR 的斜率存在),故k TS +k TR =0,即y 1x 1-t +y 2x 2-t =0②,由R ,S 两点在直线y =k x -1 上,故y 1=k x 1-1 ,y 2=k x 2-1 ,代入②整理有2x 1x 2-t +1 x 1+x 2 +2t =0③,将①代入③即有：6t -243+4k 2=0④,要使得④与k 的取值无关,当且仅当“t =4“时成立,综上所述存在T 4，0 ,使得当k 变化时,总有∠OTS =∠OTR ．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.【解析】(1)由离心率为32,可得c a =32因为A ,B 为椭圆的上、下顶点,且AB =2,所以2b =2即b =1 , 又a 2=b 2+c 2解得：a =2所以椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1(2)直线l 经过定点-1,-1 ,证明如下：①当直线l 的斜率存在时,设l :y =kx +t ,(t ≠±1),由y =kx +t x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-4=0, 则Δ=(8kt )2-4(1+4k 2)(4t 2-4)>0得：t 2<4k 2+1设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=-8kt 1+4k 2,x 1x 2=4t 2-41+4k 2, 则k AM +k AN =y 1-1x 1+y 2-1x 2=2kx 1x 2+(t -1)(x 1+x 2)x 1x 2=8k (t -1)4(t +1)(t -1)=2所以t =k -1,经检验,可满足t 2<4k 2+1,所以直线l 的方程为y =kx +k -1,即y =k x +1 -1所以直线l 经过定点-1，-1 ．②当直线l 的斜率不存在时,设l :x =m ,M (m ,y M ),N (m ,-y M ),则k AM +k AN =y M -1m +-y M -1m=2解得m =-1,此时直线l 也经过定点-1，-1 综上直线l 经过定点(-1,-1)．(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON 2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．【解析】(1)因为点A a 3,a 3,B 2,32在椭圆上,所以2a 2+34b 2=1a 29a 2+a 29b2=1,解得b 2=1,a 2=8,所以椭圆方程为x 28+y 2=1．(2)令M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则P x 0x 1+y 0x 2,x 0y 1+y 0y 2 ,所以x 0x 1+y 0x 228+x 0y 1+y 0y 2 2=1,即x 218+y 21 x 20+x 228+y 22y 20+2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2 =1．又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,x 20+y 20=1,所以2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2=0,即y 1y 2x 1x 2=-18,所以y 1y 2 2=-18x 1x 2 2=18x 21⋅18x 22=1-y 21 1-y 22 =1-y 21+y 22 +y 21⋅y 22,即y 21+y 22=1,又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,所以x 12+x 22=8,所以OM 2+ON 2=x 21+x 22+y 21+y 22=9,故OM 2+ON2为定值9．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【解析】(1)根据题意：43a 21-1b 21=1,1a 22+43b 22=1,以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形,边长为2故a 1=1,c 2=1,故a 22=b 22+1,代入计算得到b 1=3,a 2=3,b 2=2,故C 1:y 2-x 23=1,C 2:x 23+y 22=1.(2)假设存在直线方程满足条件,当直线斜率不存在时,x =3或x =-3,代入计算得到y =±2,验证不成立；当直线斜率存在时,设直线方程为y =kx +b ,则y =kx +bx 23+y 22=1,即2+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-6=0,Δ=36k 2b 2-43b 2-6 2+3k 2 =0,化简得到b 2=3k 2+2.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =kx +by 2-x 23=1 ,故3k 2-1 x 2+6kbx +3b 2-3=0,故x 1+x 2=-6kb3k 2-1x 1x 2=3b 2-33k 2-1,OA +OB =AB =-OA +OB ,故OA ⊥OB ,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+b kx 2+b =0,即k 2+1 x 1x 2+kb x 1+x 2 +b 2=0,即k 2+1 3b 2-33k 2-1-6k 2b 23k 2-1+b 2=0,化简得到2b 2=3k 2+3,b 2=3k 2+22b 2=3k 2+3 方程组无解,假设不成立.故不存在直线满足条件.(3)焦点坐标为1,0 ,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为x =my +1,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则S x 2,-y 2 ,x =my +1x 23+y 22=1 ,化简得到2m 2+3 y 2+4my -4=0,y 1+y 2=-4m 2m 2+3y 1y 2=-42m 2+3 ,直线NS 方程为：y =y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 +y 1,取y =0得到x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+1 y 2+my 2+1 y 1y 1+y 2=2my 1y 2y 1+y 2+1=-2m ⋅42m 2+3-4m 2m 2+3+1=3,S 1S 2=OQ PQ =33-3=3+12,故S 1S 2是定值为3+12.(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由定理可知OP ⊥OQ 的充要条件为：2×(-3)2-(1-12)×(-3)+(1+4)c =0,即18-33+5c =0,∴c =3.(2)∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,∴1a 2+1b 2q 2-(m 2+n 2)=0,即1a 2+1b 2=m 2+n 2q 2.∵圆x 2+y 2=11a 2+1b 2的半径为r =11a2+1b2=q 2m 2+n 2=|q |m 2+n 2,又圆心(0,0)到直线PQ 的距离为d =|q |m 2+n2,∴d =r ,∴直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2相切.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A 1,32到F 1、F 2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程；(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为k PM 、k PN 时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．【解析】(1)点A 1,32 在椭圆C 上,且到F 1、F 2两点的距离之和等于4,则12a2+322b 2=1,2a =4,解得a=2,b 2=3,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)c =a 2-b 2=1,则有F 1-1,0 ,设K m ,n ,线段F 1K 的中点为x ,y ,则有x =m -12y =n2⇒m=2x+1 n=2y,又K是椭圆上的动点,则有m24+n23=1,即2x+124+2y23=1,即x+122+4y23=1.故线段F1K的中点的轨迹方程为x+1 22+4y23=1(3)类似特性的性质为：若M、N是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．证明：设P x0,y0,M s,t,N-s,-t,则s2a2-t2b2=1,k PM=y0-tx0-s,k PN=y0+tx0+s,k PM⋅k PN=y0-tx0-s⋅y0+tx0+s=y02-t2 x02-s2,又y2=b2a2x2-b2,则k PM⋅k PN=b2a2x02-b2-b2a2s2-b2x02-s2=b2a2x02-s2x02-s2=b2a2(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0的焦点为F,点P x0,y0在抛物线C上,且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．【解析】(1)解：选择条件①,由抛物线的定义可得PF=x0+p 2,因为PF=x0+1,所以x0+p2=x0+1,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件②,因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1,因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y20=2px0,即2p=4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件③．当PF⊥x轴时,PF=p2+p2=2,所以p=2．故抛物线C的标准方程为y2=4x．(2)解：设A x1,y1,B x2,y2,由(1)知F1,0．由x-y-2=0y2=4x,得y2-4y-8=0,则y1+y2=4,y1y2=-8,所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16+32=43,故AB =1+112y 1-y 2 =2×43=46．因为点F 到直线l 的距离d =1-2 1+1=22,所以△ABF 的面积为12AB ⋅d =12×46×22=23．三、跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.【解析】(1)设动圆圆心M x ,y ,∵动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,∴点M 的轨迹是以1,0 为焦点,直线x =-1为准线的抛物线,故其方程为y 2=4x ,∴动圆圆心C 的轨迹方程是y 2=4x ；(2)由(1)可得P 4,4 ,当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在,不妨设α=π2,β=π4,易得A 4,-4 ,直线PB 的直线为y =x ,与y 2=4x 联立可得B 0,0 ,故直线AB 的方程为x +y =0；当直线PA ､PB 的斜率都存在时,故设直线PA ､PB 的斜率k 1,k 2,设A y 124,y 1 ,B y 224,y2所以k 1=y 1-414y 21-4=4y 1+4,同理可得k 2=4y 2+4,因为α+β=3π4,所以tan (α+β)=-1,所以tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-1,即k 1+k 21-k 1⋅k 2=-1,所以k 1+k 2-k 1⋅k 2+1=0,所以4y 1+4+4y 2+4-4y 1+4⋅4y 2+4+1=0,即8y 1+y 2 +y 1⋅y 2+32=0,由题意可设AB 方程为x =ty +n ,联立y 2=4x x =ty +n ,消x 整理得y 2-4ty -4n =0,所以Δ=16t 2+16n >0,y 1+y 2=4t ,y 1⋅y 2=-4n ,所以32t -4n +32=0即n =8t +8,所以x =ty +n =ty +8t +8=t (y +8)+8,令y +8=0得y =-8,x =8,此时有定点8,-8 ,综上所述,直线AB 经过定点8,-82(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．【解析】(1)设M x ,y ,B x 0,y 0 ,因为点B 在圆O 上,所以x 20+y 20=16①,因为M 为AB 中点,所以x =6+x 02y =y 02,整理得x 0=2x -6y 0=2y,代入①式中得2x -6 2+4y 2=16,整理得x -3 2+y 2=4,所以曲线C 的方程为x -3 2+y 2=4.(2)(i )因为直线l 不与x 轴重合,所以设直线l 的方程为x =my +2,即x -my -2=0,则直线GH 为mx +y -2m =0,设曲线C 的圆心到直线l 和直线GH 的距离分别为d 1,d 2,则d 1=11+m 2,d 2=m m 2+1,所以EF =24-11+m 2=24m 2-3m 2+1,GH =24-m 2m 2+1=23m 2+4m 2+1,所以S EGFH =12×24m 2+3m 2+1×23m 2+4m 2+1=212+m 2m 4+2m 2+1,当m =0时,S EGFH =43；当m ≠0时,S EGFH =212+1m 2+2+1m2≤212+12+2m 2⋅1m2=7,当且仅当m 2=1时等号成立,综上所述,四边形EGFH 面积的最大值为7.(ii )设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,联立x =my +2x -3 2+y 2=4,得m 2+1 y 2-2my -3=0,则y 1+y 2=2m m 2+1,y 1y 2=-3m 2+1,y 1y 2=-32m y 1+y 2 ,因为曲线C 与x 轴交于P ,Q 两点,所以P 1,0 ,Q 5,0 ,则直线PE 的方程为y =y 1x 1-1x -1 =y 1my 1+1x -1 ,直线QF 的方程为y =y 2x 2-5x -5 =y 2my 2-3x -5 ,联立两直线方程得x =4my 1y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-6y 1-6y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-3y 1-y 23y 1+y 2=-1,y =4y 1y 23y 1+y 2,所以N -1,4y 1y 23y 1+y 2,所以N 在定直线x =-1上.3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.【解析】(1)解：由曲线C :x 2-y 2=1,可得曲线C 的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),渐近线方程y =±x ；(2)解：设l :y =kx ,A x 1,y 1 ,B -x 1,-y 1 ,H x 1,0 ,因为双曲线的渐近线为y =±x ,且点A 在第一象限,所以0<k <1,。

专题37 圆锥曲线的探索性、存在性问题--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

专题37 圆锥曲线的探索性、存在性问题【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的证明、探索性、存在性问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点、探索性、存在性问题等.难度往往大些.【重点知识回眸】1.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.2.探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法.3.解析几何中存在性问题的求解方法：（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在．（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．【典型考题解析】热点一圆锥曲线中的证明问题【典例1】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线C ：y =，D 为直线y =上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22x 12-52得带参数的直线方程和抛物线方程联立，的中点，得出坐标和的值，弦长公式和韦达定理代入求解即可证明：设，所以.则切线由于，而，与向量时，；当时因此，四边形的面积为.AB EM AB ⊥t EM 2221,1d t =+1(,)2D t -y'x =2⎭EM AB ⊥(2,EM t t =AB 0=3S =1t =±2ADBE 2【典例2】（2018年理新课标I 卷）设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A,B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB . 【答案】(1) AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点F(1,0)，求得直线l 的方程为x =1，代入椭圆方程求得点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，利用两点式求得直线AM 的方程； (2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 详解：（1）由已知得F(1,0)，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22). 所以AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1<√2,x 2<√2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y 2x2−2.由y 1=kx 1−k,y 2=kx 2−k 得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2).将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0.所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1.则2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0.从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA =∠OMB .综上，∠OMA =∠OMB .【点评】解决本题的关键是把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，体现了“直接转化法证明几何图形问题”；类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比．【典例3】（2018年全国卷Ⅲ理）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1 ， m)(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）k <−12（2）3√2128或−3√2128【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。

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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

高考热点问题和解题策略之探索性问题