动态微分方程模型
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
微分方程模型
微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供应血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。
微分方程模型-动态模型
kk 21 13
几种常见的给药方式
给药速率 f0(t) 和初始条件
(1).快速静脉注射
t=0 瞬时注射剂量D0
c1 (t) c2 (t)
(
V1 V2
k12 k12c1
k13 )c1 k c 21 2
V2 V1
k c 21 2
f0 (t) V1
的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1
K w L 1 r
w , r ,
K/L
(3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
dt
• 劳动力相对增长率为常数
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
f
0
Lg
(
y)
dy dt
dL f0g( y) dt
f0Ly 2 1[ f0 (1 ) y1 ]
dQ dt
0
1
K 0 / K0
e(1 )t
1
1
( A)
0 A成立
0
当t
1
(1 )
ln(1 )(1
K 0 / K0
基于随机微分方程的动态定价模型研究
基于随机微分方程的动态定价模型研究随着金融市场越来越复杂，传统的定价模型已经无法满足市场需求，随机微分方程成为越来越多的研究选项。
本文将介绍基于随机微分方程的动态定价模型，并探讨其在金融风险管理中的应用。
一、随机微分方程随机微分方程描述的是一个动态演化的随机系统，它在金融工程中的应用异常广泛。
这种类型的方程形式困难，因此需要特别处理。
在实践中，常用参数估计方法来确定随机过程中的各种参数，其中最常用的是极大似然估计方法，它的核心思路是找到最大的似然函数值作为估计值。
二、动态定价模型动态定价模型建立于连续时间假定基础之上，即价格的变化是连续时间下的持续变化。
在这个模型中，市场总是处于均衡状态，因为市场价格往往是由所有参与者共同决定的。
为了能够计算市场价格，需要对市场中的每个资产建立一个价格模型，直到收益率满足一定的均衡关系。
然后，通过现有市场性价格和相应的收益率水平，来计算未来市场中资产价格的发展趋势。
三、随机微分方程与动态定价模型的结合基于随机微分方程的动态定价模型是基于市场中各种资产价格的变化与随机因素之间的关系建立的。
这种模型能够反映价格变化的随机性和不确定性，并在市场中发挥重要作用，特别是在金融风险管理中。
由于随机微分方程能更好地反映市场的随机性，从而使得预测更为准确。
通过基于当前数据估计具有未来预测能力的参数，并利用已知的市场数据来评估每个市场中资产的未来价格变化。
从而，在不同的市场条件下制定策略和决策，以控制风险和获得更好的回报。
四、应用场景在金融风险管理中，这种模型常用于控制证券市场风险的最优化，从而降低交易者面临的风险和获得更高价值的交易。
例如，通过对随机微分方程和动态定价模型的应用，投资者可以更好地构造投资组合，进行风险分散，实现交易策略的最大化回报。
另外，此类模型在衍生品的定价中也有很好的应用，例如随机波动性模型可以用于计算期权价格。
同时，在实际交易中，随机微分方程和动态定价模型也有用于量化金融风险、计算风险价值和研究反转策略等方面。
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
动态数学模型是描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
动态数学模型是描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
1. 什么是动态数学模型动态数学模型是一种用数学语言描述变量之间关系演化规律的模型。
它通常基于微分方程理论，并通过描述变量的各阶导数之间的关系，来揭示变量之间的动态行为。
动态数学模型可以帮助我们理解和预测系统的变化趋势，从而对系统进行分析、优化和控制。
2. 为什么要使用动态数学模型动态数学模型在科学研究和工程实践中具有重要的作用。
通过建立动态数学模型，我们可以更好地理解和解释各种现象和过程。
例如，在物理学中，动态数学模型可以描述物体的运动轨迹和力的作用；在经济学中，动态数学模型可以描述市场的供求关系和经济的发展趋势。
此外，动态数学模型还可以用于优化问题，在工程领域中，我们可以通过最小化或最大化动态数学模型来实现系统的最佳控制和设计。
3. 动态数学模型的基本元素是什么动态数学模型包括几个基本元素：变量、参数、微分方程和初始条件。
变量是需要被研究的对象或系统中的状态量，可以是时间的函数。
参数是动态数学模型中的常数或系数，用于调整模型的特性。
微分方程是描述变量之间关系的数学等式，通常是变量各阶导数的函数关系。
初始条件是描述系统在某一初始状态下的数值条件，用于确定微分方程的解。
4. 如何建立动态数学模型建立动态数学模型的过程包括几个关键步骤。
首先，需要明确研究的问题和目标，确定要描述的变量和其之间的关系。
然后，根据问题的特点和需求，选择适合的微分方程类型和模型形式。
接下来，根据实际情况确定参数的数值，并设定初始条件。
最后，通过求解微分方程，得到系统的变量随时间的演化规律。
5. 动态数学模型的应用领域有哪些动态数学模型广泛应用于各个领域。
在自然科学方面，动态数学模型被用于研究物理、化学和生物等系统的运动和变化规律。
在社会科学领域，动态数学模型用于描述经济、社会和心理等系统的行为和发展。
在工程和控制领域，动态数学模型被用于设计和优化工业过程、交通系统和自动控制系统等。
动态微分方程自动控制原理
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
Tfu
GD 2 375
dn dt
（2-2）
ia
La
+ -
Ea
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
T fu
GD 2 375
dn dt
其中
Tnian
f .w
f
d
dt
，通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
T Cmia
（3）消去中间变量
将（2-3）带入（2-4）得
ia
GD 2 dn 375Cm dt
dia GD2 d 2n dt 375Cm dt 2
（2-3） （2-4）
（2-5） （2-6）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
y(t) f
将以上各式代入（1）式得
m d 2 y F f dy Ky
整理得
d 2 y dy
dt 2
m f Ky F
dt
dt 2
dt
例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统
微分方程。
解：（1）确定输入输出量
+ U1 R1 I1
I3 R01
Ug R2
-
R02 I2
R12
K UK
0
Ud D
n
R3 CF
+ R4
1初识微分方程建模
三、举例
例3 将室内一支读数为60°的温度计放到室外，10min后 温度计的读数为70°，又过了10min，读数为76°，利用牛顿 冷却定律计算室外温度。 牛顿冷却定律:将温度为T的物体放入处于常温m的介质中 T的变化速率正比与T与周围介质的温度差。 解:由牛顿冷却定律可知：dT/dt与T-m成比例 即 方程的解为： 结合给定的三个条件 计算出A,K,m
y = 0.0624 y0
时的t
将y代入上式解得t=22400yr
三、举例
习题 结合例5，计算C14的半衰期是多少？ （数量衰减到一半的时间） 解 由例5可知
y0 / 2 = y0 e − t / 8000
ln 0.5 = −t / 8000, t ≈ 5600 yr
三、举例
例6 一只装满水的圆柱型桶，底面半径为10ft，高为20ft 底部有一个直径为1ft的孔，问桶流空要多少时间？ 对孔的流速加一个假设：假设时刻t的流速依赖与此刻桶内 水的高度h(t),显然装满水时要比快流空时要快，进一步的假设 无能量损失，那么当少量水流出时，顶部减少的势能须等于 等量的水流出小孔时的动能。即 mgh=1/2mv2， 则可得： v=(2gh)1/2 这是物理中的托利拆里定律，模型这样假设看起来过于简单 但至少速度依赖与高度看来是合理的，接下来进行数学上的分析 解：随着水从小孔流出，桶内水的体积不断的减少， 设A为桶的水平面积，B为孔的水平面积。 则在任意时间间隔dt内，-Adh=Bds,ds为孔dt时间内水流的距离 问题是t=？时h=0。所以要求出h(t)。此时可通过上面的方程求出
四、习题
7、污染物质的含量为2g/L的水以500L/min的速度流过处理 箱。在箱内每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底摇匀。 处理箱可容纳10000L的水，在处理场开张时，箱内装满 纯净水，求流出的水中污染物浓度的函数？ 解 设p(t)=箱内污染物的数量 dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min) -(p(t)g/10000L)(500L/min) -0.02p(t)g/min 解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t) 由t=0时，p=0，得c=1
动态微分方程模型共33页
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律6、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
33
微分方程在生态学模型中的应用
微分方程在生态学模型中的应用微分方程是数学中的一种重要工具，可以描述系统的变化规律及其动力学特性。
在生态学研究中，微分方程经常被应用于构建生态系统模型和分析生物群落的动态变化。
本文将介绍微分方程在生态学模型中的应用，包括种群动态模型、食物链模型和生态系统稳定性的研究。
一、种群动态模型种群动态是生态学中一个重要的研究领域，可以通过微分方程来描述和分析。
常见的种群动态模型包括Logistic模型、Lotka-Volterra模型等。
以Logistic模型为例，它描述了一个种群在资源有限的情况下的增长规律。
假设种群的增长率与种群数量及资源供应有关，可以得到微分方程：dN/dt = rN(1-N/K)，其中N表示种群数量，t表示时间，r表示种群的增长率，K表示资源的容纳量。
通过求解这个微分方程，可以得到种群数量随时间变化的函数关系，进而预测和分析种群的演变趋势和稳定状态。
二、食物链模型生态系统中的食物链反映了物种之间的相互作用和能量传递关系。
微分方程能够描述不同物种之间的捕食和被捕食关系，从而构建食物链模型并研究生物群落的稳定性。
Lotka-Volterra模型是一个常见的食物链模型，它描述了掠食者和被捕食者之间的相互作用。
该模型可以表示为一组耦合的微分方程：dN1/dt = r1*N1 - a1*N1*N2dN2/dt = -r2*N2 + a2*N1*N2其中N1和N2分别表示掠食者和被捕食者的数量，r1和r2表示各自的增长率，a1和a2表示捕食者对被捕食者的捕食率。
通过求解这组微分方程，可以得到掠食者和被捕食者数量随时间的变化规律，以及不同参数条件下的稳定状态和相空间分析。
三、生态系统稳定性研究生态系统的稳定性是生态学中一个重要的研究课题。
微分方程可用于分析不同物种之间的相互作用和自然环境的影响对生态系统稳定性的影响。
生态系统稳定性分析的方法之一是稳定性分析。
通过线性化处理微分方程模型，并分析方程的特征根和本征值，可以判断系统的稳定性。
微分方程建模(溶液浓度)
Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所 找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967
年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型
解决了这一问题。
原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t ) ，则有
dN dt N
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们 洗足 钋210衰变原子数 镭226衰变原子数
8.5 12.6
0.82 0.26
读乐谱的妇人
弹曼陀林的妇人 做花边的人 欢笑的女孩
10.3
8.2 1.5 5.2
0.3
0.17 1.4 6.0
若第一幅画是真品， t t 0 300
y 0 y (t )e
衰减(放射性/污染物的净化) “边际的”(经济学)
应注意题目的 这些词: 改变/变化/增 加/减少
如何建立微分方程?
根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验
的规律等来建立微分方程模型。
微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法
不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
d x C 1V 1 d t C 2V 2 d t
dx C 1V 1 C 2V 2 dt x (0) x0
该模型还适用于 讨论气体的混合
以上两个简单例子的启示:
关键是建立一个 yˊ 、y、t 的方程.
可以表示为导数的最常见的量:
速率
增长(生物学/ 人口问题)
从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
微分方程模型(经济数学建模课程(西安交通大学,戴雪峰)
若按（3） ，求出圆桶的速度 v(t)，就必须求出圆 桶的下沉时间，要做到这一点比较困难。为此改 变讨论方法，显然速度 v(t)为下沉深度的函数所 以 v(t)改写为 v(y(t))，
dv dv dy dt dy dt
（ 1）可写为 dy dv m W B cv dt dy
不过是指数增长模型离散形式的近似表示。
2、阻滞增长模型 （Logistic model）
将r表示为人口x(t)的函数r(x)，r(x)应为减 函数。最简单假设r(x)=r-sx，r、s>0，这 里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长 率。显然任意x>0，r(x)<r。为了确定s的意 义，引入自然资源和环境条件所容纳的最 大人口数量xm（称最大人口容量）。
• 设K为潜在的消费者总数， • n(t)为t时刻购买了该产品的人数，在时 间段[ t , t+Δ t ]中，Δ n由两部分组成， Δ n1是由来自消费者外部的产品信息导 致的购买者增量；Δ n2是由来自消费者 内部传播的产品信息导致的购买者增量。
△ n1 应与未购买者人数成正比，即
n1 a K nt t ，
cg t W
)
(3)
圆桶的极限速度 W B lim v(t ) 713.86 ft / s t c
如果极限速度不超过 40ft/s，工程师们就可以罢休 了，然而圆桶的极限速度竟然如此之大，使得人们 不得不开始相信工程师们也许是对的。 （即圆桶的 速度很有可能大于 40ft/s。 ）
数学建模
西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: daixuefeng@
微分方程模型
（动态模型）
一、人口模型
以前常用这样的方法： 设人口增长率为r，今年人口为a0， 那末一年后为a0(1+r)，两年后就为a0(1+r)2， ……，k年后的人口为ak= a0(1+r)k。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微分方程模型的优点和不足
微分方程模型是一种用于描述动态系统演化过程的数学模型，它可以预测和分析系统的行为。
微分方程模型的优点和不足如下：
优点：
准确性：微分方程模型可以准确地描述系统的内部规律和事物的内在关系，因此能够提供比较精确的预测结果。
适用性广：微分方程模型适用于多种类型的问题，包括物理、几何、生物、经济等领域。
可解释性强：微分方程模型的建立基于相关原理的因果预测法，因此其解释性比较强，能够提供关于系统行为的深入理解。
不足：
建立困难：微分方程模型的建立需要深厚的数学基础和专业知识，因此对于一些非专业人士来说可能比较困难。
求解困难：微分方程模型的求解过程可能比较复杂，需要使用数值方法或近似方法进行求解，这可能会增加模型的复杂性和计算成本。
局限性：微分方程模型主要适用于连续型问题，对于离散型问题可能不太适用。
此外，微分方程模型的预测结果也可能受到一些假设条件和参数的影响，因此需要注意其适用范围和局限性。
总之，微分方程模型具有优点和不足，需要根据具体问题进行选择和应用。
在使用微分方程模型时，需要注意其适用范围和局限性，并结合实际情况进行模型的建立和改进。
第二章动力学系统的微分方程模型
第⼆章动⼒学系统的微分⽅程模型第⼆章：动⼒学系统的微分⽅程模型利⽤计算机进⾏仿真时，⼀般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握⼀定的建⽴数学模型的⽅法。
在动⼒学系统中，⼤多数情况下可以使⽤微分⽅程来表⽰系统的动态特性，也可以通过微分⽅程可以将原来的系统简化为状态⽅程或者差分⽅程模型等。
在这⼀章中，重点介绍建系统动态问题的微分⽅程的基本理论和⽅法。
在实际⼯程中，⼀般把系统分为两种类型，⼀是连续系统；其数学模型⼀般是⾼阶微分⽅程；另⼀种是离散系统，它的数学模型是差分⽅程。
§2.1 动⼒学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或⾓加速度）产⽣单位变化所需要的⼒（或⼒矩）。
惯量（质量）=）加速度（⼒（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）⾓加速度（⼒矩（2/)s rad m N ?2 弹性元件：它在外⼒或外⼒偶作⽤下可以产⽣变形的元件，这种元件可以通过外⼒做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和⾮线性元件，通常等效成⼀弹簧来表⽰。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的⼒与位移成正⽐，⽐例常数为弹簧刚度k 。
x k F ?=这⾥k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性⼒的⽅向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受⼒之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受⼒和弹簧变形之间的关系是⼀⾮线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，⽽不储存能量，可以形象的表⽰为⼀个活塞在⼀个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼⼒通常表⽰为：αxc R = 阻尼⼒的⽅向总是速度⽅向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为⾮线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼⼒表⽰为：||1--=αx xc R 这⾥的“-”表⽰与速度⽅向相反§2.2 动⼒学建模基本定理1 动⼒学普遍定理对于⼤多数⼒学问题，可以使⽤我们熟知的⽜顿动⼒学基本定理来解决，动⼒学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是⽐较直观，针对不同的问题可以选择不同的⼒学定理，在⼀般情况下利⽤普遍定理可以得到⼤多数动⼒学系统的数学模型。
第2章动态系统的数学模型
下一页
返回
2.2拉普拉斯积分变换
2.2.2常用典型函数的拉氏变换
1.指数函数eat
2.阶跃函数（图2-9） 阶跃函数是控制工程中最常用的典型输入信号之一，常以它作 为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
上一页
下一页
返回
2.2拉普拉斯积分变换
阶跃函数实质上就是一个自然数，它表示在t＝0时刻突然对系 统作用一个幅值为A的不变量。严格地说，在t＜0－时，它的值为0， 在t≥0＋时，它的值为A，而在t＝0时，它的值是不确定的，即在t＝0 时刻存在间断点。 阶跃函数的拉氏变换为
下一页
返回
2.1动态系统运动微分方程的建立
2.1.2物理系统微分方程的列写
1.机械平移系统 任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系 统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹簧和阻尼器三个 要素来描述。 图2-1所示为常见的质量—弹簧—阻尼动力学系统，图中的m、 K、B分别表示质量、弹簧刚度和黏性阻尼系数。以系统在静止平衡 时的状态为坐标系原点，称为平衡工作点，这样的坐标系原点选择消 除了重力的影响。
下一页
返回
2.1动态系统运动微分方程的建立
物理系统的数学模型表明，按描述系统运动的微分方程，可将系统分 成线性系统和非线性系统两类。 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数， 则称为线性定常系统；如果方程的系数（只要有一个）不是常数，而 是时间t的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性 性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用于线性系 统的总响应，等于各个输入单独作用时产生的响应之和。
上一页
下一页
返回
2.1动态系统运动微分方程的建立
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相轨线分析结果
1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。 2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中
可看出是在(0，1/ σ)内的单根。 3、若s0 >1/ σ，则i(t)先增加，当s＝1/ σ时，i(t)达到
最大。
4、若s0 ≤1/ σ ，则i(t)单调减小至零
阈值1/σ的意义
1、减小传染期接触数σ ，即提高阈值l/ σ ，使得 s0 ≤1/ σ(即σ ≤1/ s0)，传染病就不会蔓延。
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型．
由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分 析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的 数学模型．
思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果 进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假 设，最终得出较好的模型。
改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最 终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。
思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三(SIS模型)
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)，
模型一
模型假设： （1）一人得病后，久治不愈，人在传染
期内不会死亡。 （2）单位时间内每个病人传染人数为常
数k。 为什么假设不会死亡？
（因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）
模，时间：天
则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下：
模型改进
dI
d
t
k S ( t ) I ( t )
I ( 0 ) I 0
方程的解：
I(t)
n
1
n I0
1eknt
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
传染病人数的变化率与时间t 的关系
增长速度由低增至最高后 降落下来
疾病的传染高峰期
此时 d 2 I 意义： dt 2
dI
dt
k0I (t)
I ( 0 ) I 0
模型的解： I(t)I0ek0t
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符．
原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。
模型的建立
di N Ns(t)i(t) Ni(t)
假设2、3得： dt i(0) i0
将假设1代入，可得模型：
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
模型的解：
i(t)[(et(1)t)(i110 ) ]1
i0
阈值σ=λ/μ的意义
一个病人在平均传染期内传染的人数与当时
人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
模型四（SIR模型）
某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类，
这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝1。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为μ
模型修改的关键： k0的变化规律
模型二(SI模型)
设t时刻健康人数为S(t)．病人数为I(t) 模型假设： （1）总人数为n不变，既不考虑生死，也不考虑
迁移，I(t)十S(t)＝n （2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不
会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时
健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）
0
ln( n 1)
计算高峰期得： t0
I0 kn
1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快
的来临，这与实际情况比较符合。
2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均
人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故
模型的建立
di dt ds dt
si si
i
i(0 ) i0
s ( 0 ) s 0
从此方程无法求出i ( t )与s ( t )的解析解。 我们可以从相轨线作定性分析
相轨线
i(s0i0)s1lnss0
相轨线（s，i）
图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
动态微分方程模型
传染病模型
(四个模型)
问题提出
本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象, 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）如何描述传染病的传播过程 （2）如何分析受感染人数的变化规律 （3）如何预报传染病高潮的到来．
则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成
正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称
1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2 人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为1/ μ ＝5天)。
σ 健康的人数成正比，比例系数为
limi(t)11 1
i
0 1
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。
（2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染