高等数学求导公式打印版

I.基本函数的导数 01.()0C '=；

02.()1x x μμμ-'=；

03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-；

05.

()2tan sec x x '=； 06.()2

cot csc x x '=-；

07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-；

09.()

ln x x

a a a '=； 10.()x

x e e '=；

11.()1

log ln a

x x a

'=； 12.()1ln x x '

=；

13.

(

)1

arcsin x '=；

14.(

)arccos x '

=； 15.()21

arctan 1x x '=

+； 16.()2

1

arccot 1x x '=-

+。

II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2

(0)u u v uv v v v '''

-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

。

III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ϕ==，则

dy dy du

dx du dx

= 或 ()()()y x f u x ϕ'''=。

● 计算极限时常用的等价无穷小

0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2

01lim 1cos 2x x x →-:

()0lim 1x

x e x →-: ()0limln 1x x x →+:

01

1x x n

→-:

● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x

x e x →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 ()

()

lim g x B f x A =

● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一

(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。

● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一(),a b ξ∈，使得

()()()()f b f a f b a ξ'-=-。

● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0F x '≠则存在一

(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则

()()()()()

()

f b f a f F b F a F ξξ'-='-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()()

lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）()

()

lim ()

x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()()

()

()lim

lim ()()

x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!!

n n

n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L

其中：()()()

()()11

01!

n n n f R x x x n ξ++=

-+ ,()0,x x ξ∈。

● 马克劳林公式： ()()()()()()()200001!2!!

n n

n f f f f x f x x x R x n '''=+++++L

其中：()()()

()111!

n n n f R x x n ξ++=

+,()0,x ξ∈。

1.

()()231

1 012!3!!1!n x x

n x x x e e x x n n θθ+=++++++<<+L ()x -∞<<∞ 2. ()()357211

sin 13!5!7!21!

m m x x x x x x m --=-+-++-+-L L ()x -∞<<∞ 3. ()()()2462cos 11 2!4!6!2!

n

n x x x x

x x n =-+-++-+-∞<<∞L L 4.

()231

1 111n x x x x x x =++++++-<<-K L 5. ()()24

22

111 111n n x x x x x

=-+-+-+-<<+L L 6. ()()2341

ln 112341

n n x x x x

x x n ++=-+-++-++L L ()11x -<≤ ● 驻点：导数为零的点 拐点：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>

⎪⎝⎭

，则称()f x 在[],a b 上是凸的， ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭

，则称()f x 在[],a b 上是凹的，

若曲线在0x 两旁改变凹凸性，则称()()00,x f x 为曲线的拐点。

● 凹凸性判断（充分条件）：设()f x ''存在，若a x b <<时()0f x ''<，则曲线是为凸的，若

a x

b <<时()0f x ''>，则曲线是为凹的。

设曲线方程()y f x =，()f x 具有二阶导数，则函数()y f x =在(),x y 的曲率K 为：()

2/3

21y K y ''

='+（工程中，若1y '<<时，K y ''=）。 基本积分公式：

kdx kx C =+⎰ 1

1x x dx C μμ

μ+=++⎰

1

ln dx x C x =+⎰