高等数学(下)同济大学第六版第九章习题课
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0
y y0
0
偏导数存在 偏导数连续
极限存在
可 微
连 续
极限存在
x2 y , x2 y2 0 2 【例1】 f ( x , y ) x y 2 设 , 0, x2 y2 0 问f ( x, y )在点(0,0)处是否连续 ？ x2 y 【解】 lim f ( x , y ) lim 2 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0 x2 y 若x 0, y 0, 显然有 lim 2 ［思考］? 2 0 x 0 x y y 0
所以f (x,y)在(0,0)点偏导数存在,故否A .
1 2x 1 2 x sin 2 2 cos 2 , x2 y2 0 f x ( x, y) x y2 x y2 x y2 0, x2 y2 0 1 2x 1 lim 2 x sin 2 2 0 , 而在 lim 2 2 cos 2 2 中， x 0 x 0 x y x y x y y 0
【解】lim f ( x , y ) 0 f (0,0) 所以f 在(0,0)点连续,故否B . x 0
f ( x ,0) f (0,0) x 2 sin(1 x 2 ) f x (0,0) lim lim 0 x 0 x 0 x x f ( y ,0) f (0,0) y 2 sin(1 y 2 ) f y (0,0) lim lim 0 y 0 y 0 y y
u yz x (ln x ) y z (ln y ) z
【注意】易犯错误:
u y z yz ( x ) x (ln x y ) z z
y z yz
此错误在于: ( x ) x
x
yz
【例2】设y f ( x , t ),而t是由F ( x , y , t ) 0所确定的x , y的
dy 函数，其中 f、F具有一阶连续偏导数， 试求 . dx
【解】 复合函数链式图法 y
x
t
x
dy f f t t dy ( ) dx x t x y dx
t Fx 而 , x Ft
t f x ft dy x f x Ft f t Fx Ft f t Fy dx 1 f t t y
x1 3 y 【例2】求 lim x 0 | x | y2 y 0
x y kx 4 3 【解】 取路径 y = k x，则 lim 2 lim 2 2 0 x 0 x 0 | x | k x | x|y y kx
1 3
特别注意:尽管沿路径y = k x所得极限相同,但仍不能肯定 y x1 3 时 原极限即为0，因若取曲线路径: x1 3 y x2 3 1 lim 2 lim | x| x 2 3 故所求极限不存在. x 0 | x | y x 0 13
三、关于偏导数、全微分计算的题类
1. 【多元复合函数求导法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续 (2) 【复合函数求导链式法则】 u dz z du z dv t 全导数 ①z dt u dt v dt v t x z z u z v u y x u x v x ②z x z z u z v v y y u y v y x z f f u u y x x u x ③ z f ( u, x , y ) x z f f u y y y u y
2z 2z 4 ( x f1 x 2 f 2) xy yx x
4 x f1 x 4 [ f11 y f12 (
3
y y 2 y f 22 ( 2 )] 2 )] 2 xf 2 x [ f 21 x x
一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏 导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分 段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判 断. lim ［连 续］ x x f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 内含三条，缺一不可
f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) 包括高阶偏 ［可偏导］ f x ( x0 , y0 ) lim h0 导数定义等 h ［可 微］ z [ f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y ] 点 ( x0 , y0 )可微 lim 0
Fy t , y Ft
t dy f x f t x dx 1 f t t y
y
x
y 【例3】 设 z x f ( xy, ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， 2 2 x z z z 求 , 2, . y y xy
3
【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等。观察法. z 1 3 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2, 【解】 x ( f1 y x 2z 1 1 4 x f12 ) x 2 ( f 21 x f 22 ) x 5 f11 2 x 3 f12 xf 22 , 2 x ( f11 x x y
1 ( x y ) sin 2 f ( x , y ) f ( 0, 0 ) [ 0 x 0 y ] x y2 而 lim lim 0 2 2 2 2 x 0 x 0 x y x y y 0 y 0
所以f (x,y)在(0,0)点可微.
综上所述，应选D.
1 1 x sin y sin , ［又如］ f ( x , y ) y x 0 ,
y 0
存在
y0 y0
则重极限 lim f ( x , y ) 0 而两个累次极限均不存在. x 0
【强调】本课程讨论的极限均为重极限.
二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
y x
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
2.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 z z dz du dv u,v是自变量 u v 或中间变量 3.【隐函数的求导法则】 (1)［公式法］ x、y、z 等各变量地位等同
dy F x ① F ( x, y) 0 y f ( x ) dx Fy Fy z Fx z ② F ( x , y , z ) 0 z z ( x , y ) x F y Fz z
习题课
多元函数微分法
及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于多元函数微分学应用的题类 1.几何应用.
2.极(最)值
思考与练习
1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?
1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y x
(也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在) lim (4)利用二元初等函数在内点处的连续性: P P0 f ( P ) f ( P0 ) xy 【例1】求 lim 2 x 0 x y2 y0
【解】 取路径 y = k x，则 xy kx 2 k lim 2 2 lim 2 2 2 , 与k有关,故不存在. x 0 x 0 (1 k ) x x y 1 k y kx
一、关于多元函数极限的题类
二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算 也更困难.通常从以下四个方面考虑： (1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;无穷小性质. (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理; (3)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不 同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在;
1 sin xy sin xy xy
【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变， 称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变，称累次极 lim lim f ( x , y ) 限。如 即先x固定，变量y 趋于b，然后再 x a y b 令变量x趋于a. 这种极限是两个极限过程；而重极限是 一个极限过程.两者是不同的. ［例如］例1中，两个累次极限 xy xy lim lim 2 2 lim lim 2 2 0 x 0 y 0 x y y 0 x 0 x y 而二重极限不存在.
1 1, x
此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时
2
解法3 令 x r cos , y r sin ,
此法忽略了 的任意性,
极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,
本题极限实际上不存在 .
x2 y y 若x( 0) 0, y 0, 则 lim 2 0 2 lim x 0 x y x 0 y 2 y 0 y 0 1 ( ) x lim f ( x , y ) 0 f (0,0) 总之有 x 0
y 0
所以f ( x, y )在点(0,0)处是连续的 .
1 2 2 ( x y ) sin 2 2, x y 【例2】设 f ( x , y ) 0, 函数f ( x, y )在点(0,0)处 ( )
x2 y2 0 x2 y2 0
,
A.连续而偏导不存在 C. 偏导存在且连续
y0
B. 百度文库导存在但 f 不连续 D. 可微
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
sin( xy) ya 【解】 (1)原式 lim x 0 xy y a
1 ( 2)原式 lim[(1 ) ] x x y a
x 0 y 0
x x x2 y2
e0 1
] e
( 3)原式 lim[(1 sin xy)
y 0
解法2 令 y k x ,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
分析: 解法1
1 lim 1 1 0 x 0 y x
y 0
x 时, 1 x 1 y
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步
未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,
y 0
若取路径 y = x，则
lim 2x 1 1 1 cos 2 lim cos 2 不存在(可取两子列验证) 2 2 x 0 x y x y 2 x 0 x 2x y x
x 0 y 0
2 2
lim f x ( x , y )不存在 , 则f 在(0,0)点偏导数不连续,故否C .
(2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；
【例1】设u x , x 0, y 0, 求一阶偏导.
【解】
yz
u z y z 1 y x ; x
u yz x (ln x )( zy z 1 ); y
y y0
0
偏导数存在 偏导数连续
极限存在
可 微
连 续
极限存在
x2 y , x2 y2 0 2 【例1】 f ( x , y ) x y 2 设 , 0, x2 y2 0 问f ( x, y )在点(0,0)处是否连续 ？ x2 y 【解】 lim f ( x , y ) lim 2 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0 x2 y 若x 0, y 0, 显然有 lim 2 ［思考］? 2 0 x 0 x y y 0
所以f (x,y)在(0,0)点偏导数存在,故否A .
1 2x 1 2 x sin 2 2 cos 2 , x2 y2 0 f x ( x, y) x y2 x y2 x y2 0, x2 y2 0 1 2x 1 lim 2 x sin 2 2 0 , 而在 lim 2 2 cos 2 2 中， x 0 x 0 x y x y x y y 0
【解】lim f ( x , y ) 0 f (0,0) 所以f 在(0,0)点连续,故否B . x 0
f ( x ,0) f (0,0) x 2 sin(1 x 2 ) f x (0,0) lim lim 0 x 0 x 0 x x f ( y ,0) f (0,0) y 2 sin(1 y 2 ) f y (0,0) lim lim 0 y 0 y 0 y y
u yz x (ln x ) y z (ln y ) z
【注意】易犯错误:
u y z yz ( x ) x (ln x y ) z z
y z yz
此错误在于: ( x ) x
x
yz
【例2】设y f ( x , t ),而t是由F ( x , y , t ) 0所确定的x , y的
dy 函数，其中 f、F具有一阶连续偏导数， 试求 . dx
【解】 复合函数链式图法 y
x
t
x
dy f f t t dy ( ) dx x t x y dx
t Fx 而 , x Ft
t f x ft dy x f x Ft f t Fx Ft f t Fy dx 1 f t t y
x1 3 y 【例2】求 lim x 0 | x | y2 y 0
x y kx 4 3 【解】 取路径 y = k x，则 lim 2 lim 2 2 0 x 0 x 0 | x | k x | x|y y kx
1 3
特别注意:尽管沿路径y = k x所得极限相同,但仍不能肯定 y x1 3 时 原极限即为0，因若取曲线路径: x1 3 y x2 3 1 lim 2 lim | x| x 2 3 故所求极限不存在. x 0 | x | y x 0 13
三、关于偏导数、全微分计算的题类
1. 【多元复合函数求导法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续 (2) 【复合函数求导链式法则】 u dz z du z dv t 全导数 ①z dt u dt v dt v t x z z u z v u y x u x v x ②z x z z u z v v y y u y v y x z f f u u y x x u x ③ z f ( u, x , y ) x z f f u y y y u y
2z 2z 4 ( x f1 x 2 f 2) xy yx x
4 x f1 x 4 [ f11 y f12 (
3
y y 2 y f 22 ( 2 )] 2 )] 2 xf 2 x [ f 21 x x
一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏 导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分 段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判 断. lim ［连 续］ x x f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 内含三条，缺一不可
f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) 包括高阶偏 ［可偏导］ f x ( x0 , y0 ) lim h0 导数定义等 h ［可 微］ z [ f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y ] 点 ( x0 , y0 )可微 lim 0
Fy t , y Ft
t dy f x f t x dx 1 f t t y
y
x
y 【例3】 设 z x f ( xy, ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， 2 2 x z z z 求 , 2, . y y xy
3
【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等。观察法. z 1 3 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2, 【解】 x ( f1 y x 2z 1 1 4 x f12 ) x 2 ( f 21 x f 22 ) x 5 f11 2 x 3 f12 xf 22 , 2 x ( f11 x x y
1 ( x y ) sin 2 f ( x , y ) f ( 0, 0 ) [ 0 x 0 y ] x y2 而 lim lim 0 2 2 2 2 x 0 x 0 x y x y y 0 y 0
所以f (x,y)在(0,0)点可微.
综上所述，应选D.
1 1 x sin y sin , ［又如］ f ( x , y ) y x 0 ,
y 0
存在
y0 y0
则重极限 lim f ( x , y ) 0 而两个累次极限均不存在. x 0
【强调】本课程讨论的极限均为重极限.
二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
y x
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
2.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 z z dz du dv u,v是自变量 u v 或中间变量 3.【隐函数的求导法则】 (1)［公式法］ x、y、z 等各变量地位等同
dy F x ① F ( x, y) 0 y f ( x ) dx Fy Fy z Fx z ② F ( x , y , z ) 0 z z ( x , y ) x F y Fz z
习题课
多元函数微分法
及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于多元函数微分学应用的题类 1.几何应用.
2.极(最)值
思考与练习
1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?
1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y x
(也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在) lim (4)利用二元初等函数在内点处的连续性: P P0 f ( P ) f ( P0 ) xy 【例1】求 lim 2 x 0 x y2 y0
【解】 取路径 y = k x，则 xy kx 2 k lim 2 2 lim 2 2 2 , 与k有关,故不存在. x 0 x 0 (1 k ) x x y 1 k y kx
一、关于多元函数极限的题类
二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算 也更困难.通常从以下四个方面考虑： (1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;无穷小性质. (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理; (3)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不 同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在;
1 sin xy sin xy xy
【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变， 称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变，称累次极 lim lim f ( x , y ) 限。如 即先x固定，变量y 趋于b，然后再 x a y b 令变量x趋于a. 这种极限是两个极限过程；而重极限是 一个极限过程.两者是不同的. ［例如］例1中，两个累次极限 xy xy lim lim 2 2 lim lim 2 2 0 x 0 y 0 x y y 0 x 0 x y 而二重极限不存在.
1 1, x
此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时
2
解法3 令 x r cos , y r sin ,
此法忽略了 的任意性,
极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,
本题极限实际上不存在 .
x2 y y 若x( 0) 0, y 0, 则 lim 2 0 2 lim x 0 x y x 0 y 2 y 0 y 0 1 ( ) x lim f ( x , y ) 0 f (0,0) 总之有 x 0
y 0
所以f ( x, y )在点(0,0)处是连续的 .
1 2 2 ( x y ) sin 2 2, x y 【例2】设 f ( x , y ) 0, 函数f ( x, y )在点(0,0)处 ( )
x2 y2 0 x2 y2 0
,
A.连续而偏导不存在 C. 偏导存在且连续
y0
B. 百度文库导存在但 f 不连续 D. 可微
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
sin( xy) ya 【解】 (1)原式 lim x 0 xy y a
1 ( 2)原式 lim[(1 ) ] x x y a
x 0 y 0
x x x2 y2
e0 1
] e
( 3)原式 lim[(1 sin xy)
y 0
解法2 令 y k x ,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
分析: 解法1
1 lim 1 1 0 x 0 y x
y 0
x 时, 1 x 1 y
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步
未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,
y 0
若取路径 y = x，则
lim 2x 1 1 1 cos 2 lim cos 2 不存在(可取两子列验证) 2 2 x 0 x y x y 2 x 0 x 2x y x
x 0 y 0
2 2
lim f x ( x , y )不存在 , 则f 在(0,0)点偏导数不连续,故否C .
(2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；
【例1】设u x , x 0, y 0, 求一阶偏导.
【解】
yz
u z y z 1 y x ; x
u yz x (ln x )( zy z 1 ); y