两点间的距离及中点坐标公式
8.1两点间的距离和中点坐标公式-
• 例4：已知线段MN，它的中点坐标是 (3,2) ，端点N的坐标是 (1,-2)，求另一个 端点M的坐标。
• 解：设端点M 的坐标为 (x,y) ,根据中点坐标公式，有
1 x 2 y 3 ,2 2 2
解得x=5,y=6
所以端点M 的坐标是(5,6)
1.两点间的距离公式；
2.中点坐标公式
(2 0) 0 5
2 2
4 25 29
ห้องสมุดไป่ตู้
练习(2)：求点M1(-2,0)与M2(0,5)之间的距离。
解： M M 0 6 2 1 5 2 1 2
52 2 13
中点坐标公式
合作探究（二）：中点公式 已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y1 y 2 x1 x 2 y x 2 2 二、坐标法——将几何问题转化为代 数问题。
复习
8.1.1 两点间的距离公式 A(x1)
A
1、在数轴上两点的距离公式
B（x2）
0 B
AB x2 x1
2、两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
P1 P2
y
P
P
2
o
x
o
1
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考 探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
两点距离公式中点公式
两点距离公式中点公式在数学的奇妙世界里，两点距离公式和中点公式就像是两个忠实的小伙伴，默默地为我们解决着各种问题。
先来说说两点距离公式吧。
假设我们有两个点，A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²]来计算。
这个公式看起来有点复杂，其实理解起来并不难。
我记得有一次，我们班组织了一场校园寻宝活动。
老师在校园里藏了几个“宝贝”，然后给了我们几个点的坐标，让我们通过计算两点之间的距离来找到宝贝的位置。
我和同桌小明一组，拿到的第一个点是教室门口的 A(3, 5)，第二个点是操场边的大树 B(7, 9)。
我们赶紧拿出纸和笔，按照两点距离公式开始计算。
我负责计算横坐标的差值 (7 - 3)² = 16，小明负责计算纵坐标的差值 (9 - 5)² = 16，然后我俩一起把这两个差值相加，16 + 16 = 32，再对 32 开平方，得到√32 = 4√2。
算出距离后，我们一路小跑，按照这个距离去寻找，果然在差不多的位置发现了老师藏的第一个宝贝，是一本有趣的漫画书，可把我俩高兴坏了！再聊聊中点公式。
对于两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们的中点坐标 M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
这个公式在很多实际问题中都能派上用场。
有一次上美术课，老师让我们画一幅校园风景图。
我想画教学楼和校门口之间的那段路，但是不知道怎么确定路的中间位置。
这时候我就想到了中点公式。
教学楼的位置假设是 A(2, 6)，校门口是 B(8, 2)，那中点的横坐标就是 (2 + 8) / 2 = 5，纵坐标是 (6 + 2) / 2 = 4，所以路的中间位置大概就在(5, 4)这个点。
按照这个位置画出来，感觉整幅图的比例都协调多了。
在日常生活中，两点距离公式和中点公式的应用也不少呢。
中点坐标公式求距离
中点坐标公式求距离在数学中，中点坐标公式被广泛应用于计算平面上两个点之间的距离。
这个公式是通过利用给定点的坐标值，特别是横坐标和纵坐标的中点来得到两点之间的距离。
中点坐标公式提供了一种简便的方法来计算平面上的距离，同时也有助于理解坐标系中的几何概念。
中点坐标公式中点坐标公式用于计算平面上两个点的中点坐标。
给定平面上两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则中点的坐标可以通过下面的公式来计算：中点的横坐标 = (x1 + x2) / 2中点的纵坐标 = (y1 + y2) / 2这两个公式可以很容易地从两点坐标的定义中推导出来。
当我们计算中点的坐标时，我们只需要将每个坐标的值相加，然后除以2，得到的结果就是中点的横坐标和纵坐标。
求两点之间的距离有了两点的中点坐标，我们可以使用标准的距离公式来计算两点之间的距离。
这个公式被称为欧几里德距离公式，它用于计算平面上两点之间的直线距离。
给定两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过以下公式计算：距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个公式是根据勾股定理推导出来的。
它首先计算两个坐标轴上的差值的平方，然后将它们相加。
最后，对和进行平方根运算，得到最终的距离。
一个例子让我们来看一个实际的例子来演示中点坐标公式和距离公式的应用。
假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)。
首先，我们可以使用中点坐标公式来计算中点的坐标：中点的横坐标 = (1 + 4) / 2 = 2.5中点的纵坐标 = (2 + 6) / 2 = 4所以，中点的坐标为 (2.5, 4)。
接下来，我们可以使用距离公式来计算点A和点B之间的距离：距离d = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
8.1两点间距离公式及中点公式
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
2
2
学生练习
P65 练习 1题 2题
探究中点公式
向量P1P和向量PP2相 等，所以有：
P2(x2,,y2) P1(x1,,y1) P(x,y)
uuu r uuu r Q PP 1 ( x x1 , y y1 ), PP 2 ( x2 x, y2 y ) x x1 x2 x y y1 y2 y x1 x2 x , 2 解得 y y1 y2 . 2
2
二、
2
学生练习
P67 练习 1,2题
作业布置：
1、方案一书 68页 方案二书 64-65页 1、2、5 例2，例3
2、练习册8.1相应练习
教学目标：
1、理解并掌握平面上两点间距离公式的推导 2、掌握平面上两点间距离公式并会应用它解 决相关的问题 3、掌握线段的中点坐标公式，并会灵活运用
重点难点：
重点：平面上两点间的距离公式和中点坐标 公式的推导 难点：两个公式的灵活应用
教学过程
一、平面上两点间的距离
1、坐标轴上两点间的Байду номын сангаас离
平面上两点
二、平面上连结两点的线段的中点坐标公式
文字表述：中点的坐标等于左右端点 坐标的平均值。
例3
已知线段AB，它的中点坐标是（-1,2），端 点B的坐标是（-5,7），求端点A的坐标。 分析：设未知点的坐标。将未知转化为已知。
小结
一、
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
§8.1两点间的距离公式和中点公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)， 则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样 说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)， 根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公式点公式是指在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求解两点之间的距离。
点公式的推导基于勾股定理。
假设平面直角坐标系中有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们要求解两点之间的距离。
首先，我们可以通过斜边的坐标差值计算两条直角边的长度。
设直角边AC的长度为d₁，直角边BC的长度为d₂。
则有以下推导：d₁=，x₂-x₁d₂=，y₂-y₁接下来，我们可以运用勾股定理计算斜边的长度。
根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
d=√(d₁²+d₂²)因此，两点之间的距离d等于直角边的长度的平方和的平方根。
综上所述，两点间距离的点公式可以表示为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别是两点的坐标，d表示两点之间的距离。
下面我们来举一个具体例子来演示点公式的应用。
例题：已知点A(3,4)和点B(7,8)，求解两点之间的距离。
解：根据点公式，我们可以直接套入坐标值进行计算。
d=√((7-3)²+(8-4)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32=4√2因此，点A和点B之间的距离为4√2在实际应用中，点公式常被用于计算两点之间的距离。
例如在平面几何中，我们可以利用点公式计算线段的长度。
在地理学中，点公式可以用于测量地球上任意两点的距离。
此外，点公式还可以应用于图像处理、机器学习等领域。
总结起来，点公式是一种简便而常用的计算两点之间距离的方法。
通过套入已知点的坐标，我们可以精确地求解出两点之间的距离。
这使得点公式具有广泛的应用价值。
人教B版高中数学必修第二册6.2.3.2两点间的距离、中点坐标公式及向量平行【上课课件】
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练2 下列各组向量中，共线的是(
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
)
答案：D
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共
第2课时 两点间的距离、中点
坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 平面直角坐标系内两点之间的距离公
式与中点坐标公式
设A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝|AB|＝
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 .这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公
因为2×2－1×4＝0，所以AB∥CD.
又AC＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
AB＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以AC与AB不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
状元随笔 (1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b＝λa验
证．
(2)判断AB∥CD，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成
∵C是线段AB的中点，
1
x+1=2−x
x=
1
2
∴AC＝CB，即ቊ
，解得ቐ
，∴C( ，0)
2
y − 1 = −1 − y
y=0
②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)
AD＝(a＋1，b－1)，BD＝(a－2，b＋1)，
8.1两点间距离公式及中点公式
作业
课本第68页 习题 ห้องสมุดไป่ตู้-6
注： 1、若P x轴，则 P 1、P 2两点在x轴或平行于 1P 2 x2 x1 2、若P y轴，则 P 1、P 2两点在y轴或平行于 1P 2 y 2 y1
x2 x1 2 y2 y1 2
例题讲解
例1 求平面上两点A（8，10），B（12，22）之间的距离.
例2 已知三角形ABC的顶点分别为A（2，6），B（-4，3）， C（1,0），求三角形ABC三条边的长.
课堂小结
在平面直角坐标系中， 已知两点P 、P2 x2，y2 ， 1、 1 x1，y1 则P 1P 2
x2 x1 2 y2 y1 2
x2，y2 为端点 在平面直角坐标系中， 以x1，y1 、 2、
x1 x2 y1 y2 的中点坐标是 ， 2 2
例3 证明以A（3， 2），B（6，5），C（1，10）为顶点 的三角形是直角三角形
探索发现
问题2：
P x, y
则
在平面直角坐标系中， 已知两点P ，y1 、P2 x2，y2 ，求线段P 1 x1 1P 2中点P的坐标
分析：设
P 1P x x1 , y y1
P2 y P1 P
例题讲解
例4 已知点P为线段AB的中点
1若A3,4，B 3,2，求P的坐标 2若A- 2,3，P4,2，求B的坐标
例题讲解
A0,0、B7,2、C - 1,4， 例5 已知三角形的顶点是 求此三角形两条中线 CE、AD的长度
y C D B E O(A) x
分析：
P2
OP2 x2，y2
作向量
两点间距离公式与线段中点的坐标教案
两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标：1. 理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式。
2. 能够运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 两点间的距离公式：两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离d可以表示为：d = √[(x2 x1)²+ (y2 y1)²]2. 线段中点的坐标公式：线段AB的两个端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的中点M的坐标可以表示为：M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)三、教学步骤：1. 导入：通过一个实际问题引入两点间的距离和线段中点的概念，例如：“在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(6, 7)，求点A和点B之间的距离以及线段AB的中点坐标。
”2. 讲解：讲解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的推导过程，让学生理解其含义和应用。
3. 示例：给出一个示例，让学生根据公式计算两点间的距离和线段的中点坐标。
4. 练习：让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
四、作业布置：1. 请运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，解决一些实际问题。
2. 预习下一节课的内容。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生是否能够理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，以及能否运用到实际问题中，是教学效果的重要评价标准。
教师应通过作业批改和课堂提问等方式，了解学生的掌握情况，及时进行教学调整。
六、教学活动：1. 小组合作：学生分组讨论，尝试运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决复杂问题，如：给定三个点A、B、C，证明三角形ABC是等腰三角形。
2. 游戏环节：设计一个坐标系寻宝游戏，让学生在游戏中运用所学知识，寻找隐藏的宝藏。
3. 课堂展示：邀请学生上台展示他们运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题的过程和结果。
平面直角坐标系公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点为M(x0,y0),则（1）中点坐标公式：x0=(x1+x2)/2；(y0=(y1+y2)/2（2）两点间距离公式：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]（本质上就是勾股定理1.点到点距离公式：设A（a，b）B（c，d），则AB=√[(a-c)^2+(b-d)^22.点到线距离公式：设直线Ax+By+C=0（一般的解析式可以先化成这个），点A（x0，y0），则A到直线的距离长度=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)3.解析式y=kx+b中，k的实质是该直线与x轴正方向夹角的正切值，当这个角大于90度时，需要用到诱导公式tan（90+a）=-tan（a）4.设直线1为y=k1x+b1，直线2为y=k2x+b2，当k1k2=-1时，直线1垂直于直线25.直线y=kx+b的平行直线系为y=kx+m6.过定点（x0，y0）的直线系为（y-y0）=k（x-x0）7.已知抛物线y=ax^2+bx+c和平行于x轴的直线y=m，则抛物线在直线上截出的距离=√（b^2-4ac+4am）/|a|，这个公式一般用于求某些线段的最值，通常可以得到一个y=根式+km的函数，这个函数的最值我们还不会求，可以设这个根式为n，反解出m来，然后得到关于n的二次函数，求二次函数的最值和相应的n值，进而求出m的值即可，这种方法叫换元法，我自己发现的，不知道高中会不会用到我也是初三的，一般有用的就是这几个，并且除非逼不得已，不然尽量别用，因为一方面计算量大，另一方面即使算对了，老师也不一定看得懂，有可能会得0分也不好说。
部分压轴题中也会在平面直角坐标系中出现圆，下面的公式是关于圆的1.圆的标准方程（x-a）^2+(y-b）^2=r^2，其中，圆心是（a，b），半径是r2.圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中，圆心是（-D/2,-E/2)半径是1/2√（D^2+E^2-4F)3.过圆上定点的切线系方程，设P（x0，y0）是圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上的一个点，过这个点的切线为xx0+yy0+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0）/2]+F=04.过圆外一点P(x0，y0）引圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切线，切线长为√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F）5.判断直线与圆位置关系的方法：1.知道圆心和半径的情况下，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，比较距离与半径，得出圆与直线的位置关系2.知道直线和圆的解析式的情况下，联立二式，组成一个二元二次方程组，消去一元，得到一个一元二次方程，算出判别式德塔，德塔大于0，证明方程有两个不等实数根，即直线与圆有两个不同交点，此时相交，相应的，德塔小于0，相离，德塔等于0，相切。
两点间距离公式及中点坐标公式
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
课堂练习 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
P48练习8.1.2.
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
两点间的距离和中点坐标公式
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试求出各分点的坐标．
图8－2
首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标．
解 设线段ST的中点Q的坐标为
则由S（0，2）、T（−6，−1）得
巩固知识 典型例题
例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离． 由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为 平面内两点间距离公式
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= d(A,C)= d(C,B)=
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ,求证
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 ，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
所以
所以
5.1两点间的距离和 线段中点的坐标
BRAND PLANING
【学习目标】 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 【重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【难点】 两点间的距离公式的理解
目录
品牌介绍
01
产品展示
02
复习
数轴上两点的距离
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
中点公式
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承德技师学院承德工业学校
实施阶段
授课日期授课教师
（节）
教学过程
教学环节教学内容（知识点、技能点）学生活动教师活动时间分配*巩固知识典型例题
例1求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．
解A、B两点间的距离为
[]2
2
||(32)1(5)61
AB=--+--=
第1题图
实施阶段（节）
授课日期
授课教师
教 学 过 程
教学环节
教学内容（知识点、技能点） 学生活动 教师活动 时间分配
即线段ST 的中点为 Q 13,2
-（）
． 中点P 35
,24
-（），线段QT
同理，求出线段SQ 的的中点91
,24
R --（）
． 故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91
,24
R --（）
． 例3 已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．
解 设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、(0,3)C 得 (2)012D x -+=
=-，13
22
D y +==， 故 22||(11)(20)22,AD =--+-= 即BC 边上的中线AD 的长度为22．
图8－2。