高考数学压轴题预测 3、解析几何

高考数学压轴题预测 3、解析几何

专题3 解析几何

考点一 曲线（轨迹）方程的求法

1. 设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(2211=⋅a

y b x a y b x ，椭圆的离心率,23

=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

解析：本例（1

）通过e =

22b =，及,,a b c 之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。

答案：（1

）2 2.1, 2.2

c b b e a e a a ====

=⇒==椭圆的方程为14

22

=+x y （2）设AB 的方程为3+=kx y

由41,4320132)4(1

4

3

2212212222+-=+-=+=-++⇒⎪⎩⎪

⎨⎧=++=k x x k k x x kx x k x y kx y 由已知

43)(43)41()3)(3(410212122121221221+

+++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a

y y b x x ±=++-⋅++-+=k k k k k k 解得,4

3

43243)41(44222 2 （3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b

42042)4(1

4

2212

222

2+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y b

kx y 得到 442221+-=k b x x

:04

))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x

4

222=+k b 4

1644|||4)(||21||||21222212

2121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S

1|

|242==b k 所以三角形的面积为定值.

点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

2. 在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0） ，已知PF ∥FQ ,

RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关

系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设C ( x , y )， 2GA GB GO +=,由①知2GC GO =-,∴G 为

△ABC 的重心 ，

∴ G(3x ,3

y ) 由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上

由③知M （

3

x

，0），

由|| ||MC MA = =

化简整理得：2

213x y +=（x ≠0）。

（2）F ，0 ）恰为2

213

x y +=的右焦点

设PQ 的斜率为k ≠0且k ≠±

2

，则直线PQ 的方程为y = k ( x )

由2222

22

((31)630330

y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨

+-=⎪⎩

设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2 = 2231k + , x 1·x 2 =226331

k k -+

则 ·

RN ⊥PQ,把k 换成1

k

-得 | RN | = 221)3k k ++

∴S =

1

2

| PQ | · | RN | =22

226(1)(31)(3)k k k +++ =2

28

213()10

k k

-

++)

22

18

3()102k k S

∴+

+=- 221k k +

≥2 ， 82S

∴-≥16 3

2

∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k 不存在或k = 0时S = 2 综上可得

3

2

≤ S ≤ 2 ∴S max = 2 ， S min =

32

点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质

3. 如图，F 为双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点 P 为双曲线C 右支上一点，

且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点 已知四边形OFPM 为平行四边形，

PF OF λ=

（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；

（Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A B 点，若12AB =，求此时的双曲线方程

分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。

解：∵四边形OFPM 是

，∴||||OF PM c ==，作双曲线的右准线交PM 于H ，则

2||||2a PM PH c =+，又22

22222||||||

2222

PF OF c c e e a a PH c a e c c c c λλλλ=====----，

220e e λ--=