六年级下册数学讲义—比和比例

比和比例
（一）比和比例
学习要点
一、比和比例的区别:
1.两个数相除,叫做两个数的比。

（比是由两个数组成的,分别是前项、后项。

）例:2∶3
2.两个相等的比,可以组成比例。

（比例是由四个数组成的,分别是两个外项、两个内项。

）例:2∶3=4∶6
二、有关性质:
1.分数的基本性质:分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）,分数的大小不变。

2.商不变性质:被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外）,商不变。

3.比的基本性质:比的前项和后项都乘以或除以相同的数（0除外）,比值不变。

4.小数性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0”,,小数的大小不变。

5.比例的基本性质:在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。

三比和分数、除法:
四、求比值和化简比:
1.求比值:用前项除以后项求商。

结果是一个数,可以是整数、小数、分数。

2.化简比:结果是一个比。

有前项和后项,而且前项和后项必须是整数,且不能再约分。

小数比（同时扩大10、100、1000……）
化简比的方法
整数比（约分）最简比（商后项是互质数）分数比（变符号）
五、正比例和反比例:
1.判断:
（1）一找:找出“两种变量”和“一个定量”。

（2）二写:写出关系式。

（3）判断:商正积反。

×（反）÷（正）
速度时间路程
÷（正）
×（反）÷（正）
单价数量总价
÷（正）
×（反）÷（正）
一天工作量间天数总工作量
÷（正）
×（反）÷（正）
每组人数组数总人数
÷（正）
×（反）÷（正）
方砖面积块数房间面积
÷（正）
×（反）÷（正）
底面积高体积
÷（正）
×（反）÷（正）
长宽长方形的面积
÷（正）
正方形的周长÷边长=4（一定）正
圆的周长÷直径=π（一定）正
图上距离÷实际距离=比例尺（一定）正
正方形的面积÷边长=边长（不一定）不成
圆的面积÷半径=πr（不一定）不成
盐的质量÷海水的质量=出盐率（一定）正
讨论
（1）比与分数、除法的关系
（2）求比值与化简比的区别。

① 求51:1.7的比值。

② 把5.2:2.6化简
51:1.7=51÷1.7=30 5.2:2.6=（5.2÷2.6）:（2.6÷2.6）=2:1
（比值是一个数,可以用小数、 （化简比的最后结果仍是一个比,不能用小数、 整数或带分数来表示。

） 整数或带分数来表示。

） （3）解比例。

① x:16=1.5:8 ②
21=42 解: 8x=16×1.5
8x=24 x=3
训练指导 （1）填空: ① 7:8=
24
)
(=（ ）% ② 把6.4:1.6化成最简单的整数比是（ ）,比值是（ ）。

③ 比的（ ）都乘上或者除以相同的数（零除外）,比值不变。

④ 根据3×24=18×4,写成一个比例是（ ）:（ ）=（ ）:（ ）。

⑤ 六年级男生人数比女生人数少20%,男生人数与女生人数的最简单的整数比是（ ）:（ ）。

（2）选择题。

（把正确答案的序号填在括号里。

）
① 1.5:0.05的比值是（ ）。

[A ．
301
, B ．30:1, C ．30] ② 把3.6小时:45分钟化成最简单的整数比是（ ）。

[A ． 252, B ．524, C ．5
4
4]
③ 表示两个比相等的式子叫做（ ）。

[A ． 比, B ．比值, C ．比例] ④ 从甲城到乙城,客车行了5小时,货车行了6小时,客车与货车速度的比是（ ）。

[A ． 5:6, B ．6:5, C ．3:2]
⑤ 把一个圆柱体木料加工成一个最大的圆锥体,这个圆锥体的体积和原来圆柱体体积的比是（ ）。

[A ． 1:3, B ．3:1, C ．1:2]
区别:比是指两个数量间的倍数关系。

除法是一种运算。

分数是一种数。

（3）求下面各比的比值。

53:7
3
1.7:0.4 0.125:5
（4）化简下面各比。

24:72 8.5:1.7 1:0.9
（5）解比例。

16x =32
7
5.4:0.3=3.6:x 31:65=x:0.9
（二）比例尺和按比例分配
学习要点
（1）比例尺:图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。

即:图上距离:实际距离=比例尺 （2）比例尺的分类:数值比例尺如1:20000000或1/2000000
线段比例尺。

（3）比例尺的应用（根据图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系解决有关的应用题。

） （4）按比例分配:把一个总量按照一定的比分成若干部分量,叫做按比例分配。

⑸功能:前项是1（缩小） 后项是1（放大） 讨论:
（1）在一幅地图上,用12厘米长的线段表示实际距离36千米。

①求这幅地图的比例尺。

②要这幅地图上如果甲乙两地的距离是7.5厘米,实际距离是多少千米？
① 12厘米:36千米 ② 解:设甲乙两地的距离是x 千米。

=12厘米:3600000厘米
x 5.7=300000
1 =12:3600000 x=7.5×300000 =1:300000（或
300000
1
） x=2250000
2250000厘米=22.5千米 （注意:正确处理单位名称）
答:这幅地图的比例尺是300000
1
,甲乙两地的实际距离是22.5千米。

0 5 10 15 20 25千米
（2）光明小学六年级有学生150人,其中男生人数与女生人数的比是2:3,六年级男、女生人数各有多少人？
想一想:这道题还可以有其它方法解答吗？
2+3=5
150×
52
=60（人） 150×5
3
=90（人）
答:六年级男生有60人,女生有90人。

（解这类应用题的方法:先求出总份数,再求出各部分占总量的几分之几,最后根据求一个数的几分之几是多少？分别求出各个部分量,验算。

）
训练指导 （1）填空题
① 一幅地图,用2厘米长的线段表示40千米的实际距离,这幅地图的比例尺是（ ）。

② 在比例尺是
30000000
1
的中国地图上,量得北京到广州的距离约是7厘米,北京到广州的实际距离
约是（ ）千米；北京到上海的实际距离约是1050千米,在这幅地图上量得图上距离约是（ ）厘米。

③ 一个三角形的周长是60厘米,已知这个三角形三条边的长度的比是3:4:5,三条边的长各是（ ）厘米、（ ）厘米和（ ）厘米。

④ 把线段比例尺
改写成数字比例尺是（ ）。

（2）一个鱼塘按5:2放养白鱼和青鱼,放养 （3）一个粮食加工厂上午工作4小时,下午 的白鱼和青鱼共2800尾,白鱼、青鱼各养了 工作3小时,共加工白米21000千克。

这 多少尾？ 个加工厂上、下午各加工白米多少千克？
△（4）东、西两港口相距175千米,甲、乙两艘轮船同时从两港相对开出,经5小时相遇,已知甲、乙两船速度的比是4:3,求甲、乙两船的速度。

（三）正、反比例的意义和应用题
0 5 10 15 20 25千米
学习要点: （1）正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定,这两种量就叫成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。

[
x
y
=k （一定）] （2）反比例: （比较正比例与反比例关系的相同与不同）
（3）判断两种量成不成比例,成什么比例的方法。

（4）用比例方法解应用题的步骤。

① 弄清题意,找出题目中的书籍条件和要求的问题。

② 确定两种相关联的量成什么比例关系；
③ 设未知数x,按正（反）比例的意义列出方程,解方程； ④ 检验,写出答案。

讨论:
（1）判断下面每题中的两种量成什么比例。

① 每小时织布米数一定,织布总米数和时间。

分析: 已知每小时织布米数一定,就是织布总米数和时间的比的比值是一定的,所以织布总米数和时间成
正比例。

时间
织布总米数
=每小时织布米数（一定）
② 施肥总量一定,每公顷施肥量和施肥的公顷数。

（说出分析方法和分析过程）
（2）用100千克小麦可以磨出75千克面粉,照样计算,要磨面粉13.5吨,需要小麦多少吨？（用两种方法解答）
解:设需要小麦x 吨。

（用算术方法解）
x 5.13=100
75
x =751005.13
x =18
答:需要小麦18吨。

（比较:算术方法与比例方法解有什么相同与不同） 训练指导。

（1）填空。

① 路程一定,速度和时间成（ ）比例。

② 出油率一定,花生油的重量与花生的重量成（ ）比例。

③ 被减数一定,减数和差（ ）比例。

（2）选择题。

（把正确答案的序号填在括号里。

） ① 圆柱的体积一定,圆柱的底面积和高（ ）。

[A ．成正比例 B ．成反比例 C ．不成比例]
②长方形的周长一定,长和宽（）。

[A．成正比例B．成反比例C．不成比例] （3）用比例方法解答应用题。

①包装一批铅笔盒,如果每盒装36个,可以装
250盒。

如果每盒装50个,可以装多少盒？
③100克蜂蜜约含葡萄糖35克,照这样计算,16千克蜂蜜含有多少千克葡萄糖？②小岭乡要挖一条水渠,全长1800米。

6天
挖了450米,照这样计算,这条水渠总共
要多少天挖完？
③某校男生人数与女生人数的比是9:10,
已知女生有190人,男生有多少人？（你
能用几种方法解就用几种方法解）。