FPS隔震结构的水平和竖向振动响应分析_李大望
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T he differential vibration equations of shear- typed multistor y buildings w ith FPS bear ings are establishe d, the isolation effects of FPS isolator and some horizontal and vertical v ibration r esponses laws of the structures to horizontal g round motions are ex pounded. Keywords: base isolation; coupled vibr at ion; nonlinear ity; earthquake r esponses
01 1 81 976
Lk
01 15 51 566 01 2 101 108
01 25 81 720
( 7) 式中
n
E G =
mig - k 2 z r2 - c2¤z r2
( 8)
i= 1
整理得
N = G cos U- ( m1 &u y- k2 y r2- c 2¤ y r2) sin U+ m 1 an ( 9) 在滑道的切向, 由牛顿定律得:
m1 ( aS+ &u ycos U) = F- G sin U+ ( k2 y r2+ c2 ¤ y r2) cos U ( 10) 将式( 5) , ( 6) , ( 9) , ( 3) 依 次代 入式 ( 10) 中, 得 滑 块 m1 关于转角 U 的强非线性振动微分方程为:
m1 r&U+ m 1 r Lksg n( ¤ U) ¤ U2
+ G( Lksgn( ¤ U) cosU+ sinU) + ( k2 y r2
+ c2¤y r2 ) ( Lksg n( ¤ U) sinU- cosU)
= m1 &u y( Lksg n( ¤ U) sinU- cosU)
( 11)
41 上部结构的振动微分方程
一、前言 FPS( F riction P endulum System) 是一 种 有 效 的 干摩擦滑移隔震系统, 作 为建筑 结构 和桥梁 的隔 震 器, 受到了较为广泛的关注[ 1-4] 。我们在中国科学技 术信息研 究所中 外文献 查新( 编号: 98234) 表 明, 有 关的研究文献已达上 百种, 但研 究多 以试验 和微 幅 振动为前提。建立在非线性振动微分方程基础上 的 F PS 隔震结构的地震响应分析未见有报道。 作者曾在文献[ 5] , [ 6] 中分 别就自 治 F PS 的 相 平面特性和 F PS 多 层剪 切 型隔 震结 构的 水平 振 动 响应规律 进行 了探 讨。本 文 拟就 具有 F PS 的 多 层 剪切型结构的水平和竖向耦合地震反应性态作进 一
振动 响 应 沿 结 构 高
度分布 趋于 均匀 , 鞭
梢效应 得到 控制 ; 同
时显 示 了 上 部 结 构
( a) 绝对加速度| a| max ( b)层间位移| $| max 最大水 平 响 应 随 Lk
1 Lk= 01 1; 2 Lk= 01 15;
正变的规律。
3 Lk= 01 2; 4 Lk= 01 25 图 5 上部结构水平振动响应
考虑到实 际 的多 层 FPS 隔震 结 构滑 动界 面 上 具有较大的正压力 N , 本文假定 Lk 与 N , ¤ U 无关。
三、算例及分析
取一个六质点结构体系输入 El Centro NS 波 进
行时程计算。其中, mi = 345 600kg( i= 1~ 6) , k i = 31404 @ 105kN/ m, ci = 2 937kN # s/ m, k i = 110 @ 106 kN/ m, ci= 4 000kN# s/ m ( i = 2 ~ 6) 。为方 便 起 见, 取 Ls= 11 05 Lk。部分计算结果及分析 如下。
步研究。 二、分析模型和振动微分方程 11F PS 隔震器 图 1 为 FPS 示意图, 其中 U 为滑块 相对于滑 道
竖向对称轴 的转角; r 为 滑道 及滑 块底 部圆 弧面 半 径。滑块上有一 关节 可保证 滑块 与滑道 的贴 合, 贴 合面上材料的动摩擦系数为 0< Lk n 1。
21 分析模型和计算坐标系 采用图 2 所示模型和坐标系进行分析计 算。其 中 m 1 为 F PS 滑块( 包括 结构底板) 的质量; mi( i= 2 ~ n) 为上部多层 剪切型结构各层质量; ki , ci 分别 为
剪切型上部结构水平振动方程的矩阵形式为
[ M ] r { &y r} + [ C] r{ ¤ y r} + [ K ] r{ y r }
= - [ M ] r { I } ( &y 1 + &uy)
( 12)
式中
{ y r} = [ y r2 , ,, y r n ] T { ¤ y r} = [ ¤ y r2 , ,, ¤y r n ] T
&y 1 = r ( - ¤U2sinU+ &UcosU)
( 14)
&z 1 = r ( ¤U2cos U+ &UsinU)
( 15)
51 状态转换条件
易推知滑块 m 1 相对于地面静 止的充要条件为
P N
[ Ls
( 16)
¤ U= 0
其中, Ls 为滑 动界 面上 材料 的静 摩擦 系数; P 则 为 除摩擦力外所有作用于滑 块 m1 上 的力在 滑道切 向 的分量代数和, 由式( 10) 得
Lk= f max - ( f max - f min) ex p( - a| ¤ U| )
( 18)
式中: f max , f min 和 a 是 取决 于 N , ¤U 的参 数, 但试 验 同时证明: 承受 较大 正 压力 N 时, Lk 趋于 常 数; 承 受较小压力时, Lk 的值随振动速 度的增加 很快趋 于 稳定。
y oz 。仅用于表述滑块( 包括结构底板) 质 量 m 1 相对 于地面的运动状态变量。
第三 级 )) ) 固 定 于滑 块 m 1 上 的相 对 坐 标 系 y r o r z r, 用于表述上部 结构 各质 点 mi ( i = 2~ n ) 相
对于滑块 m 1 的运动状态变 量。 易知, 滑块 m1 相对 于地 面运动 的转 角 U 与 相
( 3)
式中, 符号函数
1, ¤U> 0
sgn( ¤U) =
( 4)
- 1, ¤U< 0
an , aS 分别表示滑块 m 1 在滑道 法向 和切向 的加 速
度分量, 由理论力学知
an = r¤ U2
( 5)
aS= r&U
( 6)
在滑道的法向, 由牛顿定律得
m1( an- &u ysinU) = N - GcosU- ( k 2y r2 + c2¤ y r2) sinU
P= - GsinU+ ( k 2y r2 + c2¤ y r2- m 1&uy ) cos U ( 17) 61 关于摩擦系数取值的说明 材料的静摩擦系数 Ls 一般 比其动 摩擦系 数 Lk
大, Ls 用于判定滑块 m 1 所处的运动状态。 材料的动摩擦系数 Lk 一般是界面正压 力 N 的
滑动振动速度¤U 的函数, 有 如下经验公式[ 2, 3] :
* 国家 自然科 学基金 ( 59878006) 和河南 省自然 科学基 金 ( 004040800) 项目。
61
( a) 滑块 m 1 的受力图 ( b) 滑块 m 1 的加速度图 图 3 滑块 m 1 的受力图和加速度分量图
F = - Lk N sg n( ¤y 1 ) = - Lk N sgn( ¤U)
62
{ &y r} = [ &y r2, ,, &y rn ] T
{ I} =
[ 1,
,,
1]
T 1@
(
n-
1)
m2
0
[ M r] =
w
0 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ k3 - k3
m n ( n- 1) @ ( n- 1)
- k3 k3+ k4 - k4
[ K r] =
w
w
w
- kn- 1 kn- 1+ kn - kn
3 171 219
91 438 11 858 01 333
4 201 818 101 123
21 330 01 411
5 191 593
91 546 21 379 01 488
6 191 204
91 089 21 361 01 507
不同 Lk 下的 B( % ) 值, r = 01 5m
表2
层号
2
对于地面的水平位移 y 1 和竖向位移 z 1 之间满足
y 1 = r sin U
( 1)
z 1 = r ( 1- cos U)
( 2)
31 滑块 m 1 的动平衡方程
首先, 将滑 块 m 1 的 受力图 和加 速度 分量图 示 于图 3 中。
图 3 中, N 为滑道 作用 于模 块 m1 的正压 力, F 为动摩擦力, 按库仑定律
( 12) 与( 13) 解耦; 当滑块 m1 处于 相对滑块 状态时,
须联 立求解方程( 11) , ( 12) , ( 13) , 才 能求 得结构 各
质点 的水平和竖向 振动 反应。为 此, 先将 矩阵方 程
( 12) 和( 13) 中的 &y 1 及 &z 1 表示成转角 U 及其时间导
数的函数。由式( 1) , ( 2) 分别得:
上部结构各层水平侧向刚度和阻尼系数; ki , ci( i= 2 ~ n)分别为上部 各层竖向则度和阻尼系数。
计算坐标系有三级: 第一级 )) ) 绝对坐标 系, 用于 表述 地面 及结 构 各质点的绝对运动状态变量。
图 1 FPS 构造示意图 图 2 分析模型和计算坐标系
第二级 ) )) 固 定 于滑 道中 点 o 的 相 对坐 标 系
最大绝对值( r = 1m)
为讨 论水 平 地 震作 用 对 结 构 竖 向 振动影响, 定义
B=
某结构 层竖向绝对加速度最大绝对值 某结构 层水平绝对加速度最大绝对值
( 18)
B( % ) 随 r 的变化规律( Lk= 011)
表1
层号 01 5 1
r ( m) 5 30
2 81 976 71 543 11 624 01 429
第 30 卷 第 7 期
建筑结构
2000 年 7 月
FPS 隔震结构的水平和竖向振动响应分析*
李大望
李桂青
周锡元
( 郑州工业大学 450002) ( 武汉工业大学 430070) ( 中国建筑科学研究院 北京 100013)
[ 提要] 建立了 FPS( F riction Pendulum System) 隔震多 层剪切型结 构水平和竖向耦合 振动微分方 程, 通过时程响应计算阐述了水平地震作用下 FPS 的隔震效果和结构的水平和竖向振动响应规律。 [ 关键词] 基底隔震 耦合振动 非线性 地震响应
图 4 结构顶层水平绝对加速度( 基底隔震 与固定) 对比时程( Lk= 01 1, r = 1m)
图 4 给出 FPS 隔震与基底固 定条件下结构顶层 m6 的水 平绝 对加 速度对 比时 程, 反映了 FP S 良 好 的隔震效果。
图 5 表 明, 经
FPS 隔 震 后 上 部 结
构各 层 的 最 大 水 平
{ z r} = [ z r2, ,, z r n] T { ¤z r} = [ ¤z r2, ,, ¤z r n] T
{ &z r} = [ &z r2, ,, &z r n] T
{ I} =
[ 1,
,,
1]
T 1@
(
n-
1)
k2+ k3 - k3
- k3 k3+ k4 - k4
[ K r] =
w
w
w
- kn- 1 kn- 1+ kn - kn
c2+ c3 - c3
- kn
kn ( n- 1) @ ( n- 1)
[ Cr] =
- c3 c3+ c4
w
w
- c4 w
- cn- 1 cn- 1+ cn - cn
- cn
cn ( n- 1) @ ( n- 1)
当滑 块 m1 处 于 相 对 静 止 状 态 时, 矩 阵 方 程
[ Cr] =
- kn
kn
c2+ c3 - c3
- c3 w
c3+ c4 w
- c4 w
- cn- 1 cn- 1+ cn - cn
( n- 1) @ ( n- 1)
- cn
cn ( n- 1) @ ( n- 1)
[ M ] r{ &z r} + [ C] r { ¤ z r} + [ K ] r { z r} = - [ M ] r{ I } &z 1 ( 13) 式中
01 1 81 976
Lk
01 15 51 566 01 2 101 108
01 25 81 720
( 7) 式中
n
E G =
mig - k 2 z r2 - c2¤z r2
( 8)
i= 1
整理得
N = G cos U- ( m1 &u y- k2 y r2- c 2¤ y r2) sin U+ m 1 an ( 9) 在滑道的切向, 由牛顿定律得:
m1 ( aS+ &u ycos U) = F- G sin U+ ( k2 y r2+ c2 ¤ y r2) cos U ( 10) 将式( 5) , ( 6) , ( 9) , ( 3) 依 次代 入式 ( 10) 中, 得 滑 块 m1 关于转角 U 的强非线性振动微分方程为:
m1 r&U+ m 1 r Lksg n( ¤ U) ¤ U2
+ G( Lksgn( ¤ U) cosU+ sinU) + ( k2 y r2
+ c2¤y r2 ) ( Lksg n( ¤ U) sinU- cosU)
= m1 &u y( Lksg n( ¤ U) sinU- cosU)
( 11)
41 上部结构的振动微分方程
一、前言 FPS( F riction P endulum System) 是一 种 有 效 的 干摩擦滑移隔震系统, 作 为建筑 结构 和桥梁 的隔 震 器, 受到了较为广泛的关注[ 1-4] 。我们在中国科学技 术信息研 究所中 外文献 查新( 编号: 98234) 表 明, 有 关的研究文献已达上 百种, 但研 究多 以试验 和微 幅 振动为前提。建立在非线性振动微分方程基础上 的 F PS 隔震结构的地震响应分析未见有报道。 作者曾在文献[ 5] , [ 6] 中分 别就自 治 F PS 的 相 平面特性和 F PS 多 层剪 切 型隔 震结 构的 水平 振 动 响应规律 进行 了探 讨。本 文 拟就 具有 F PS 的 多 层 剪切型结构的水平和竖向耦合地震反应性态作进 一
振动 响 应 沿 结 构 高
度分布 趋于 均匀 , 鞭
梢效应 得到 控制 ; 同
时显 示 了 上 部 结 构
( a) 绝对加速度| a| max ( b)层间位移| $| max 最大水 平 响 应 随 Lk
1 Lk= 01 1; 2 Lk= 01 15;
正变的规律。
3 Lk= 01 2; 4 Lk= 01 25 图 5 上部结构水平振动响应
考虑到实 际 的多 层 FPS 隔震 结 构滑 动界 面 上 具有较大的正压力 N , 本文假定 Lk 与 N , ¤ U 无关。
三、算例及分析
取一个六质点结构体系输入 El Centro NS 波 进
行时程计算。其中, mi = 345 600kg( i= 1~ 6) , k i = 31404 @ 105kN/ m, ci = 2 937kN # s/ m, k i = 110 @ 106 kN/ m, ci= 4 000kN# s/ m ( i = 2 ~ 6) 。为方 便 起 见, 取 Ls= 11 05 Lk。部分计算结果及分析 如下。
步研究。 二、分析模型和振动微分方程 11F PS 隔震器 图 1 为 FPS 示意图, 其中 U 为滑块 相对于滑 道
竖向对称轴 的转角; r 为 滑道 及滑 块底 部圆 弧面 半 径。滑块上有一 关节 可保证 滑块 与滑道 的贴 合, 贴 合面上材料的动摩擦系数为 0< Lk n 1。
21 分析模型和计算坐标系 采用图 2 所示模型和坐标系进行分析计 算。其 中 m 1 为 F PS 滑块( 包括 结构底板) 的质量; mi( i= 2 ~ n) 为上部多层 剪切型结构各层质量; ki , ci 分别 为
剪切型上部结构水平振动方程的矩阵形式为
[ M ] r { &y r} + [ C] r{ ¤ y r} + [ K ] r{ y r }
= - [ M ] r { I } ( &y 1 + &uy)
( 12)
式中
{ y r} = [ y r2 , ,, y r n ] T { ¤ y r} = [ ¤ y r2 , ,, ¤y r n ] T
&y 1 = r ( - ¤U2sinU+ &UcosU)
( 14)
&z 1 = r ( ¤U2cos U+ &UsinU)
( 15)
51 状态转换条件
易推知滑块 m 1 相对于地面静 止的充要条件为
P N
[ Ls
( 16)
¤ U= 0
其中, Ls 为滑 动界 面上 材料 的静 摩擦 系数; P 则 为 除摩擦力外所有作用于滑 块 m1 上 的力在 滑道切 向 的分量代数和, 由式( 10) 得
Lk= f max - ( f max - f min) ex p( - a| ¤ U| )
( 18)
式中: f max , f min 和 a 是 取决 于 N , ¤U 的参 数, 但试 验 同时证明: 承受 较大 正 压力 N 时, Lk 趋于 常 数; 承 受较小压力时, Lk 的值随振动速 度的增加 很快趋 于 稳定。
y oz 。仅用于表述滑块( 包括结构底板) 质 量 m 1 相对 于地面的运动状态变量。
第三 级 )) ) 固 定 于滑 块 m 1 上 的相 对 坐 标 系 y r o r z r, 用于表述上部 结构 各质 点 mi ( i = 2~ n ) 相
对于滑块 m 1 的运动状态变 量。 易知, 滑块 m1 相对 于地 面运动 的转 角 U 与 相
( 3)
式中, 符号函数
1, ¤U> 0
sgn( ¤U) =
( 4)
- 1, ¤U< 0
an , aS 分别表示滑块 m 1 在滑道 法向 和切向 的加 速
度分量, 由理论力学知
an = r¤ U2
( 5)
aS= r&U
( 6)
在滑道的法向, 由牛顿定律得
m1( an- &u ysinU) = N - GcosU- ( k 2y r2 + c2¤ y r2) sinU
P= - GsinU+ ( k 2y r2 + c2¤ y r2- m 1&uy ) cos U ( 17) 61 关于摩擦系数取值的说明 材料的静摩擦系数 Ls 一般 比其动 摩擦系 数 Lk
大, Ls 用于判定滑块 m 1 所处的运动状态。 材料的动摩擦系数 Lk 一般是界面正压 力 N 的
滑动振动速度¤U 的函数, 有 如下经验公式[ 2, 3] :
* 国家 自然科 学基金 ( 59878006) 和河南 省自然 科学基 金 ( 004040800) 项目。
61
( a) 滑块 m 1 的受力图 ( b) 滑块 m 1 的加速度图 图 3 滑块 m 1 的受力图和加速度分量图
F = - Lk N sg n( ¤y 1 ) = - Lk N sgn( ¤U)
62
{ &y r} = [ &y r2, ,, &y rn ] T
{ I} =
[ 1,
,,
1]
T 1@
(
n-
1)
m2
0
[ M r] =
w
0 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ k3 - k3
m n ( n- 1) @ ( n- 1)
- k3 k3+ k4 - k4
[ K r] =
w
w
w
- kn- 1 kn- 1+ kn - kn
3 171 219
91 438 11 858 01 333
4 201 818 101 123
21 330 01 411
5 191 593
91 546 21 379 01 488
6 191 204
91 089 21 361 01 507
不同 Lk 下的 B( % ) 值, r = 01 5m
表2
层号
2
对于地面的水平位移 y 1 和竖向位移 z 1 之间满足
y 1 = r sin U
( 1)
z 1 = r ( 1- cos U)
( 2)
31 滑块 m 1 的动平衡方程
首先, 将滑 块 m 1 的 受力图 和加 速度 分量图 示 于图 3 中。
图 3 中, N 为滑道 作用 于模 块 m1 的正压 力, F 为动摩擦力, 按库仑定律
( 12) 与( 13) 解耦; 当滑块 m1 处于 相对滑块 状态时,
须联 立求解方程( 11) , ( 12) , ( 13) , 才 能求 得结构 各
质点 的水平和竖向 振动 反应。为 此, 先将 矩阵方 程
( 12) 和( 13) 中的 &y 1 及 &z 1 表示成转角 U 及其时间导
数的函数。由式( 1) , ( 2) 分别得:
上部结构各层水平侧向刚度和阻尼系数; ki , ci( i= 2 ~ n)分别为上部 各层竖向则度和阻尼系数。
计算坐标系有三级: 第一级 )) ) 绝对坐标 系, 用于 表述 地面 及结 构 各质点的绝对运动状态变量。
图 1 FPS 构造示意图 图 2 分析模型和计算坐标系
第二级 ) )) 固 定 于滑 道中 点 o 的 相 对坐 标 系
最大绝对值( r = 1m)
为讨 论水 平 地 震作 用 对 结 构 竖 向 振动影响, 定义
B=
某结构 层竖向绝对加速度最大绝对值 某结构 层水平绝对加速度最大绝对值
( 18)
B( % ) 随 r 的变化规律( Lk= 011)
表1
层号 01 5 1
r ( m) 5 30
2 81 976 71 543 11 624 01 429
第 30 卷 第 7 期
建筑结构
2000 年 7 月
FPS 隔震结构的水平和竖向振动响应分析*
李大望
李桂青
周锡元
( 郑州工业大学 450002) ( 武汉工业大学 430070) ( 中国建筑科学研究院 北京 100013)
[ 提要] 建立了 FPS( F riction Pendulum System) 隔震多 层剪切型结 构水平和竖向耦合 振动微分方 程, 通过时程响应计算阐述了水平地震作用下 FPS 的隔震效果和结构的水平和竖向振动响应规律。 [ 关键词] 基底隔震 耦合振动 非线性 地震响应
图 4 结构顶层水平绝对加速度( 基底隔震 与固定) 对比时程( Lk= 01 1, r = 1m)
图 4 给出 FPS 隔震与基底固 定条件下结构顶层 m6 的水 平绝 对加 速度对 比时 程, 反映了 FP S 良 好 的隔震效果。
图 5 表 明, 经
FPS 隔 震 后 上 部 结
构各 层 的 最 大 水 平
{ z r} = [ z r2, ,, z r n] T { ¤z r} = [ ¤z r2, ,, ¤z r n] T
{ &z r} = [ &z r2, ,, &z r n] T
{ I} =
[ 1,
,,
1]
T 1@
(
n-
1)
k2+ k3 - k3
- k3 k3+ k4 - k4
[ K r] =
w
w
w
- kn- 1 kn- 1+ kn - kn
c2+ c3 - c3
- kn
kn ( n- 1) @ ( n- 1)
[ Cr] =
- c3 c3+ c4
w
w
- c4 w
- cn- 1 cn- 1+ cn - cn
- cn
cn ( n- 1) @ ( n- 1)
当滑 块 m1 处 于 相 对 静 止 状 态 时, 矩 阵 方 程
[ Cr] =
- kn
kn
c2+ c3 - c3
- c3 w
c3+ c4 w
- c4 w
- cn- 1 cn- 1+ cn - cn
( n- 1) @ ( n- 1)
- cn
cn ( n- 1) @ ( n- 1)
[ M ] r{ &z r} + [ C] r { ¤ z r} + [ K ] r { z r} = - [ M ] r{ I } &z 1 ( 13) 式中