第二章 减振理论基础

自由振动
2.1.1 无阻尼系统的自由振动
根据线性假设，静变形
k 0 x F m mg
在任一瞬时，物块位移为x，所受的弹性力为
m x
不计阻力，根据牛顿第二定律，系统所受到的惯性力为
令
，得到物块运动微分方程的标准形式
2.1.1 无阻尼系统的自由振动
二阶常系数线性齐次微分方程有两个特解
微分方程的通解为 代入初始条件：
确定两个积分常数：
其中，
2.1.1 无阻尼系统的自由振动
无阻尼自由振动的运动规律
2.1.1 无阻尼系统的自由振动
简谐振动的固有周期和频率
2.1.1 无阻尼系统的自由振动
思考题：下图是一根钢制矩形截面的悬臂梁，横截面宽度b=10mm，厚度
h=5mm， 梁的长度 l=6cm，钢的弹性模量E=200GPa，梁的自由端固定有 一物块，其质量m=0.5kg，试求物块在纵向做自由振动的固有频率和固有
2.4 包装件的随机振动
随机振动的基本概念
2.4 包装件的随机振动
随机振动的基本概念
各态历经性的随机过程：单个样品函数的时间平均与随机过程的总体平均相等
可以根据时间足够长的单次时间历程的记录来确定随机振动的统计特性
2.4 包装件的随机振动
随机振动环境的统计特性
平均值
均方值
随机振动环境的统计特性 幅值概率密度函数
易损零件对环境响应的Байду номын сангаас速度-时间函数 输入：
输出：
加速度峰值比与振幅比都等于包装件的传递率
2.3.4 包装件的幅频特性曲线
2.3.4 包装件的幅频特性曲线
分析包装件的简谐振动要计算易损零件两次共振的加速 度峰值，即要求出两次共振的放大系数。
2.3.5 缓冲衬垫对零件振动的影响
如果不包装，易损零件将直接受到振动环境的激励
g2/Hz
加速度均方值谱密度曲线
均方值谱密度曲线描述了样本函数的均方值随频率的分布情况，其曲 线与坐标轴围成的图形面积就等于样本函数的均方值
2.4 包装件的随机振动
易损零件对振动环境的响应
振动环境
零件响应
易损零件响应的统计特性
零件响应的第i个简谐分量的均方值为
零件响应的加速度均方值近似为各简谐分量的均方值之和
周期。
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
振动系统中存在粘滞阻尼、干摩擦阻尼和材料内阻等
k
c 0 x F R
m 阻尼器
令
，
m
mg
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程为：
方程的根为：
根的形式分为三种情况： 大阻尼 临界阻尼 小阻尼
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
时，通解为指数形式：
k
c
y 0
运输工具的振动
包装件示意图
包装件的力学模型
二自由度支座激励系统：y(t)已知，求x(t)? xs(t)?
2.3.3 包装件简谐振动的两级估算法
Xs?
ms
xs
0
ms ks cs m k c
x
0
ks cs m
易损零件系统 x 0
0
X?
m
y 0
0
k
c
产品-衬垫系统
y
0
2.3.3 包装件简谐振动的两级估算法 （一）产品-衬垫系统对振动环境的响应
第2章 减振理论基础
产品
包装
环境
包装破损系统
易损零件 运输工具
包装振动系统
解决问题
环境激励 包装振动系统 易损零件的响应
主要内容
单自由度系统的自由振动 单自由度支座激励系统的受迫振动 包装件的简谐振动
随机振动的概念
2.1 单自由度系统的自由振动
振动
物体在其平衡位置附近所做的来回往复运动
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
x m 0
k
运输工具
y c 0
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
物块受迫振动的位移时间响应： 输入： 输出： 物块受迫振动的加速度时间响应：
输入：
输出： 产品破损是由于产品受力太大，产品受到振动和冲击时，
作用在产品上的力是与加速度成正比的惯性力，所以在
零件响应的加速度均方值谱密度
易损零件响应的统计特性
根据概率统计理论，对于常系数线性系统，如果振动环境是正态分布， 则零件响应也必然是正态过程。 零件响应的均方根为
则零件响应的幅值概率密度函数可以表达为
易损零件响应的统计特性
正态概率密度函数
x
m k k m x 0
0
悬挂系统
支撑系统
单自由度系统
自由度表示确定一个物体或系统在空间位置的独立坐标。当系统振动时， 只要知道物块的坐标 x，整个系统在空间的位置就可以完全确定，因此称 为单自由度系统。
系统振动的条件
外因：外界的干扰或激励 内因： 质量和弹性。假设线性弹簧，F=kD，比例常数k称为弹性 常数或弹簧的刚度，单位N/m
x
支座激励：
0
m
k
c
y 0
物块在支座持续激励下的振动是受迫振动
mg m
单自由度系统：y(t)已知，求x(t)?
R
F
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
物块受力分析： 弹性力： 阻力： 重力： 运动方程：
令
，
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解由两部分组成：
对应的齐次方程的通解 有阻尼自由振动振幅的快速衰减
2.3.5 缓冲衬垫对零件振动的影响
相对于无包装而言，缓冲衬垫要起到减振作用，必须
即
缓冲衬垫产生减振效果的条件为
2.3.5 缓冲衬垫对零件振动的影响
缓冲衬垫的固有频率
根据线性假设，衬垫的应力与应变成正比
2.3.5 缓冲衬垫对零件振动的影响
2.4 包装件的随机振动
随机振动的特点
振动加速度测试仪
振动环境为简谐振动
产品-衬垫系统的稳态受迫振动
（一）产品-衬垫系统对振动环境的响应
产品的振幅
相位角：
（二）零件系统对产品激励的响应
产品激励
零件系统的稳态受迫振动
（二）零件系统对产品激励的响应
零件的振幅
相位角：
（三）易损零件对振动环境的响应
令
则易损零件的对振动环境的响应
（三）易损零件对振动环境的响应
方程的一个特解 支座激励下的稳态受迫振动
瞬态解
稳态解
其中，
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
振幅反映受迫振动的强弱，在缓冲包装的减振理论中有重要意义
传递率
频率比
阻尼比
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
单自由度支座激励系统的幅频特性曲线
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
从幅频特性曲线中可以总结一下规律：
分析包装件的振动时，最终要计算产品的加速度峰值。 支座激励系统的传递率
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
2.3 包装件的简谐振动
2.3.1 产品的力学模型
产品
ms
ks
cs
易损零件
m
产品示意图
产品的力学模型
2.3.2 包装件的力学模型
xs
ms
0
2.3.1 产品的力学模型
ks
cs m
x 0
易损零件
大阻尼的自由振动
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
当
通解为：
令
其中，
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
运动周期：
阻尼比：
小阻尼的自由振动
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
阻尼对自由振动的影响主要是表现在振幅上
小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减
2.1.2 有阻尼系统的自由振动
2.2 单自由度支座激励系统的受迫振动
随机振动环境的统计特性 幅值概率密度曲线
P
随机振动环境的统计特性 加速度均方值谱密度函数
将傅里叶积分公式应用于随机振动过程，将随机振动过程的样本函数 分解成频率连续分布的简谐函数的迭加，每个简谐函数称为简谐分量。
随机振动环境的统计特性
加速度均方值谱密度函数
第i个简谐分量的均方值为
则