第6章梁的应力分析与强度计算

6.1.4 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩的概念
惯性矩与惯性积的转轴的概念
所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些 坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
y
z
dA
y
O
z
z y
z y
dA
y z
y
O O
z
y
α0 α0
O z
如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零， 则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principal axes）。图 形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal moment of inertia of an area）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的， 所以，主轴总是成对出现的。
例题 3
已知：图形尺寸如图所示。 求：图形的形心主矩
270
50
30
300
例题 3
解 ：1．将所给图形分解为简单图形的组合
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2
30
C1
300
例 题 3
270
50
Ⅰ
y
Ⅱ
C2 C C1
30
yC
150
z
300
2.建立初始坐标，确定形心位置
例题 3
3. 确定形心主惯性矩
Ⅰ
y
y0
Ⅱ
C2 60
图形对于 z 轴的静矩
y
z
y
zC
dA
y
C
z
yC
O
分力之矩之和
O A
合力之矩
z
静矩与形心坐标之间的关系
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
对于组合图形
6.1.3 惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
－图形对 y 轴的惯性矩
dA
A
O
r
y
－图形对 z轴的惯性矩
z
－图形对 y z 轴的惯性积
相关的截面图形几何性质
实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将 产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小 有关，而且与截面的几何形状有关。
FN
Mz
研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、 主轴等。
90
C
ห้องสมุดไป่ตู้
150
z0
C1
Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)
z
例题 3
y y0
3. 确定形心主惯性矩
Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)
Ⅱ
C2
90
Ⅰ
C C1
150
60 z0
z
6.2平面弯曲时梁横截面上的正应力
6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念
6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念
对称面－ 梁的横截面具有对称轴，所有 相同的对称轴组成的平面，
内力是不可见的，但变形却是可见的， 而且二者之间通过材料的物性关系相联系。 因此，为了确定内力的分布规律，必须分 析和研究杆件的变形，必须研究材料受力 与变形之间的关系，即必须涉及变形协调 与物性关系两个重要方面。二者与平衡原 理一起组成分析弹性体内力分布规律的基 本方法。
6.1预备知识－与应力分析
对称性验证平面假定的正确性
对称性验证平面假定的正确性
对称截面A－A处的两侧杆件的结构与受力 对称，所以变形也是对称的。于是A－A截面必 然保持平面。
对称性验证平面假定的正确性
从对称截面A－A处将 杆件截开。 截开后的杆段，其结构 、受力和变形仍然是对 称的，所以杆段的对称 面同样保持平面。 无限分割下去，就可以 证明所有横截面都将保 持平面。
主轴平面－ 梁的横截面没有对称轴，但是都有 通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心 主轴组成的平面，称为梁的主轴平面
6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲－ 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后 将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内 ，如图所示。这种弯曲称为平面弯 曲
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性 矩的计算方法
6.1.2 静矩、形心及其相互关系
y
z
dA O
y
图形对于 y 轴的静矩 z
6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念
纯弯曲－ 一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一 般将有两个内力分量：剪力和弯矩。如果梁的横截面 上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲 （pure banding）。图中的几种梁上的AB段都属于纯 弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩， 因而，便只有垂直于横截面的正应力。
6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念
横向弯曲－梁在垂直梁轴线的横向力作用下， 其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁 的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种 弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲(transverse bending)。
6.2.2 纯弯曲梁横截面上的正应力分析
可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应 力分布。 梁的中性层与横截面的中性轴
惯性矩与惯性积的转轴定理
所谓转轴定理（rotation-axis theorem）是研
究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯
性矩和惯性积的变化规律。
已知： Iy、Iz、Iyz、 y 求： Iy1、Iz1、Iy1z1
z

z1
dA
y y1
O

z
y

z z1
dA
y y1
O

z
图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的 角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。
观察变形
观察变形
观察变形

纯弯曲的变形特征

纯弯曲的变形特征
基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设 纵向纤维间无正应力。

中性层与中性轴

中性层与中性轴
§6. 2.2 纯弯曲时的正应力
1 变形几何关系 取坐标系如图，z轴为中性轴； y轴为对称轴。 为求出距中性层 y处的应变， 取长dx的梁段研究:
y
α0 α0 O z
可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各 不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和 极小值。
y
0
O
z z0
dA
y y0
0
z y0、z0－通过O点的主轴
y
0
O
z z0
dA
y y0
0
z
当 改变时，Iyl、 Izl的数值 也发生变化，而当=0时，二者 分别为极大值和极小值。
2 应用胡克定律确定截面上的正应力分布
胡克定律
＝ E
＝－E
y

Cy
梁弯曲时的平面假定
C
E

3 应用静力学方程确定待定常数
dA F ＝0
A N


A 2
A
( dA) y M Z
Iy0、 Iz0－主惯性矩
主惯性矩：
对于任意一点（图形内或图形外）都有 主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴， 图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯 性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义 的是形心主轴与形心主矩。
y
-z z
dA dA
y C
y
有对称轴截面的惯性主轴
z
Iyz= (yizidA- yizidA)=0

A
ydA
2
E

E

A
y 2 dA M


A
y dA

Iz M
1


M EI z
M E y Iz
y
6.2.2 纯弯曲梁横截面上的正应力分析
1.应用平面假定 确定应变表达式:
dx＝－yd
dx d y ＝ ＝－y ＝－ dx dx 1 d 梁弯曲时的平面假定 ＝ dx
3 静力关系 对横截面上的内力系，有:
Mz My FN
由梁段的平衡有:
对横截面上的内力系，有:
由梁段的平衡有:
所以
z 轴通过形心。即：中性轴通过形心。
由
中性轴通过形心。
由
即：
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
由
梁的抗弯刚度
将上式代入
纯弯曲时正应力公式

公式的适用性
由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而 公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且 载荷作用在对称面内的情况。 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截 面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情 形（横力弯曲）？
纯弯曲时的正应力
根据N
y
E E
y

dA A
E


A
ydA 0

A
ydA S z Ay 0说明
M
中性轴通过截面形心
My
ZdA
A
E

A
yzdA 0

A
yzdA I yz 0; 对于对称轴 yz来讲此式自然满足
Mz
E
第6章
梁的应力分析与强度计算
6.1 与应力分析相关的截面图形几何性质 6.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 6.3 梁的强度计算
6.4 6.5 6.6 6.7
弯曲剪应力分析 斜弯曲应力计算与强度设计 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 结论与讨论
应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截 面上的内力分量，但内力分量只是杆件横截面 上连续分布内力的简化结果。因此，仅仅确定 了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大 小。这是因为：一般情形下，分布内力在各点 的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的 分布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件 横截面上内力在各点的数值。 怎样确定横截面上的内力分布规律呢？

纵向线bb变形后 的长度为: bb变形前的长度

中性层长度不变, 所以

变形后纵向线bb的应变为
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截 面高度呈线性分布。
2 物理关系 因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极 限时，由胡克定律有:
即：纯弯曲时横截面上任一点的正 应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。 3 静力关系
将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图 形的形心位置。
以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z 轴 一般与 简单图形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心 轴的惯性矩，利用移轴 定理（必要时用转轴定理）确 定各个简单 图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加 （空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz 和Iyz。 确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。 计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。
对称性验证平面假定的正确性
上述证明过程，实际 上假设了杆件两端的加 力方式与截开处横截面 上的应力分布是完全相 同的。
如果杆件两端的加力方式与截开处横截面上的 应力分布不相同，应用圣维南原理，距离加力点 稍远处的横截面依然保持平面。
纯弯曲时的正应力 分析时应从以 下三方面着手
y 1、 观察变形情况，导出应变表达式。 2、 根据物理关系，得到应力表达式。 3、根据静力学关系，推出应力计算式。
－图形对 O 点的极惯性矩
y
z
dA
y
－图形对 y 轴的惯性半径
O
z －图形对 z 轴的惯性半径
y
z
＞0
＞0
dA
y
＞0 ,＜0
O
z
＞0
y
z
dA
A
O
r
y
z
例题1
dA
y
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP 解：取圆环微元面积
r C
z
d
例题2
dy
y
dA
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz
有对称轴截面的惯性主轴
当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂
直的任意轴即为过二者交点的主轴。
组合图形的形心、形心主轴、 形心主惯性矩的计算方法
工程计算中应用最广泛的是组合图形的形
心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之
惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及
形心主轴的位置。
因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、 正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心 主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而 是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。
解：取平行于x轴和y轴的微元面积
dA
y
C z dz b
h
z
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem） 是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯 性积之间的关系。即通过已知图形对于 一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对 另一对坐标的惯性矩与惯性积。
y z1
z
已知： Iy、Iz、Iyz A dA
y
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
O
y1
a
O´ b
z
y1=y＋a z1=z＋b
y z1
z
dA O a O´ b
y y1
y1=y＋a z1=z＋b z
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心 轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标， 要 注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异 号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可 能减少。