第三节幂级数45818

收敛区域
发散区域 R
R 发散区域 x
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o
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定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
关于原点 的对称区 间
(R,R) 称为幂级数的收敛区间. 收敛域为
(R,R), [R,R), (R,R], [R,R].
规定
(1) 当幂级x数 0处 只收 在敛时，
R0, 收敛区间 x为 0；
(2) 当幂级数对 x都 一收 切敛时，
R, 收敛区(间 ,为 )；
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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定理2
如果 lim an1
n an
(或 lim n n
an
)
其中 an、an1 是幂级数 an xn 的相邻两项的系数，
n0
则这幂级数的收敛半径
R
1,
,
0， 0，
u (x)
11
n
n n1
1 1 x
1 (n) 1x
n (1x)n
(1) 当 1 1, 1x1,
1 x
即 x0或 x 2时 , 原级数绝对收敛.
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(2) 当 1 1, 1 x
1x1,
(1)n (
1
)n
n1 n 1x
即 2x0时 , n1 (n1)n(11x)n 发散
原级数发散.
发散
收敛 发散
收 o敛
发散x
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如果级数anxn在x x0(x0 0) 处收敛，则 n0
它在满足不等x式 x 的一切x 处绝对收敛；如 0
果 级 数an xn
在x
x 0
处 发 散 ， 则 它 在 满等足 不
n0
式 x x0 的一切x 处发散.
收敛区域
发散区域 R
R 发散区域 x
n n 1 1
为定义在区间 I 上的 函数项级数.
对 x0I, 若常数项级数 u n ( x0 )收敛, 称 x0 为其收
n 1
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数 u n ( x0 ) n 1
发散 ,
称 x0
为其发散点,
所有
发散点的全体称为其发散域 .
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在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数 S(x), 称它为函数
o
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推论
如 果 幂 级 数 anxn 不 是 仅x在 0一 点 收 敛 ，
n0
也不是在整个数敛 轴， 上则 收必有一个定完全确
的正数 R存在，它具有下：列性质
当x R时，幂级数绝对收敛；
当x R时，幂级数发散； 当xR与xR时，幂级数可能发 .收散 敛
lim (n1)x
u n
n n!xn
n
n
x0
级数仅在 x = 0 处收敛 .
n
级数 x 的收敛域1为 ， 1） . （ n1
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定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数 a n x n 在xx0点收, 敛
n0
(x 0
0)
则对满足不等式
x x0
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 xx0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 x x0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
的 其函 中x0数 2是 、项 幂某级级 个 数(数 1定 )完x叫 数 全ax0由0,做 ， a的 系1,数a幂 2构,成级 叫 的数 数做列， 幂 { 简 a}级 n来称 决数定幂 ， 的.级 系数 数
可简记a为 n(xx0)n. n0
当x00时 , 幂级数an为 xn a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n (1) n0
第三节 幂级数
一、函数项级数及其收敛域 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
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一、 函数项级数及其收敛域
设 u 常n(数x)项(n 级 1 数,2, ) 为定义在区间 I 上的函数 , 称
函
函
数数
数数
unu (x)n u u 1(1 x ) u u2 2 ( x)u 3 un( xu ) n
n0
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lim an1 x n1 n an x n
lim an1 n an
x
x,
当| x | 1 时,
级数|anxn| 发散 ,
n0
从而n 级 0anx数 n发.散收敛半R径1;
(2) 如果 0, 任意 x0,
标准幂级 数
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例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
(1) 1xn;
(2) n!xn.
解: (1) n0n!
limun1 lim
n0
1
xn1
(n1)!
lim 1 x 0
u n n
n
1 xn
n n1
n!
级数的收敛域为 ( ,).
(2) lim un1
(n1)!xn1 lim
(3)当 |1x|1, x 0 或 x 2 ,
当x0时, 级数
(1)n
收敛
n1 n
当x2时 , 级数 1 发散； n1 n
故级数的收 ( ,敛 2) 域 [0,为 ).
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二、幂级数及其收敛性Hale Waihona Puke Baidu
1、定义
形如 特点： a0 a1(x1、x幂0)级数a2((1x)的x每0)一2 项都是a非n(负x整x数0)幂n 的幂函数
0, .
证 对级数anxn 应用达朗贝尔, 判别法
n0
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lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
(1) 如l果 im an1(0)存,在
n an
由比值审敛法,
当| x | 1 时,
级数|anxn| 收敛 ,
n0
从而级an 数 xn绝对收 . 敛
即的收:函敛数性项n 得l级 i到 数m S 的n(收x)敛 性S可(x 以),借助nl于 i 常mr数n(项x)级数0
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例1 求级数 (1)n( 1 )n的收敛 . 域
n1 n 1x
分析: 考虑级数
(1)n (
1
)n
n1 n 1 x
11
解 由比值判别法
u (x) n1
n1 (1x)n1
项级数的和函数，并写成
S (x) = u n ( x ) n 1
和义函域问数就题的是定函:和函数的定义域?
数项级数的 收敛域。
例如若用, 等Sn比(x级) 数表示函数x项nn 级1数前xnx项2的 和,即xn
它的收敛域是Sn((xn 1),0 1)k当 ,1x u k((x )1,1)时 , 有和函数 则令它注在余函数：的收项数项发敛项级域散级数上r 域n 数的有(是x 在收) n某敛 0(点问xS n( 题xx 的 ) ；,1 收 11 S 敛xn ]问( 及 x 题)[，1， 实质 上） 是