简单剪切变形的应力应变

简单剪切变形的应力应变

对底面积为A ，高为H 的方形样品，一个面置于粗糙平面上，在另一个面上平行于边长施加水平力F ，就形成了一个简单剪切变形。

对不可压缩介质，由于其体积不变，从而有条件：

()cos l AH A θ

=⋅，这里，l 为斜边边长，θ为原高度边与当前斜边的夹角。 从而，高度方向上的应变是伸张应变为：11cos h εθ

=−。其余两个方向的边长无长度变化。这是一维的拖带变形。 与作用力方向一致的那个方向的纯粹剪应变为：tan h H ωθ∆==

，∆为顶面的水平位移量。

相应的应力为：

1(2)(1)cos h σλµθ=+−， 应力矩为：

2tan h σ

µθ= 顶面的边界条件为：2tan h A A F σµθ⋅=⋅= ，从而，有：tan()2F arc θµ

=。变形被外力和物性完全确定。

但是，就实验而言，顶面的垂向受到一个向上的分力作用：

1(2)(1)cos (2)(1cos )cos up F A A λµθλµθθ

=⋅+−⋅=⋅+− 从而，必须施加一个压力来抵消它的作用。这是很早就被实验学家所认识到的。 从而，顶面的外加作用力一般形式为：

(2)(1cos )total up x z F F F F e A e λµθ=−=⋅−⋅+−⋅G G G G G

或写成形式：

2tan (2)(1cos )total x z F A e A e µθλµθ=⋅⋅−⋅+−⋅G G G

这是外力与变形量的非线性方程。

对于底面，它受到的正压力为：

(2)(1cos )down F A λµθ=⋅+−

故，变形产生的水平力为：

1(2)(1)sin (2)(tan sin )cos hori F A A λµθλµθθθ=⋅+−⋅=⋅+−

由库仑定律，在临界滑动时，有条件方程： hori down F F F η+=⋅

有：

(2)(tan sin )2tan (2)(1cos )c c c c A A A λµθθµθηλµθ⋅+−+⋅=⋅+− 也就是说，有：

2(2)(1cos )tan (2)(1cos )c c c µλµθηθλµθ++−=⋅+−

由此可以看出，库仑系数与临界水平力的非线性关系为： 11[]2(2)(1cos arctan )2c c F F A A ηµλµµ=+⋅+−

11[]2(2)(1c F A ηµλµ=+⋅

+ 对于微小磨擦系数

12c F A µ<<，有近似：

21111[

][]22(2)(1(2)()2c c c F F F A A A ηµµλµλµµ=+⋅≈+⋅++ 对于大磨擦系数

12c F A µ>>，有近似： 1111[][]1222(2)(1)2c c c

F F A A

F A

ηµµλµλµµ≈+⋅≈+⋅++−