第3讲：非线性预测滤波算法及其应用

主要内容

※EKF的特点

※最小模型误差准则

※非线性预测滤波

※非线性预测卡尔曼滤波

※分段自调整加权的非线性预测滤波※总结

EKF的特点

EKF的优点

EKF是卡尔曼滤波在非线性系统中的扩展应用，其典型特征是在系统模型设计中采用状态空间表达式。

（1）适于对多维随机过程进行估计；

（2）算法具有递推性，便于在计算机上实现。

EKF的不足

EKF有效的前提条件是：

1）要求系统模型准确已知；

2）过程噪声被假设为协方差已知的零均值高斯白噪声过程。

在扩展卡尔曼滤波器的设计中，系统动态模型中存在的误差被作为过程噪声来处理，而且一般假定为零均值、协方差已知的高斯白噪声。然而，这种假设往往缺少理论根据，不能正确反映模型误差的真实特性，从而导致状态估计精度的下降，甚至使滤波器发散。

为了解决上述问题，Mook等人提出了一种新的最优估计准则，即最小模型误差准则（MME：Minimum Model Error）。

最小模型误差准则

最小模型误差准则

考虑某一系统的状态矢量的动态特性可被建模为

测量方程具有如下的离散形式

且测量噪声满足

考虑在存在建模误差的动态模型中增加修正项，此

时方程(1)被修改为

[]t t f t ),()(x x =&[])(),()(k k k k t t t h t v x y +={}0)(=k t E v {}kj j T

k R t t E δ=)()(v v （1）

（2）

[]()()t t G t t f t d x x

+=),()(&()t d ()t G 为模型误差矢量；为模型误差分配矩阵。

对于连续-离散系统

[]()()t t G t t f t d x x

+=),()(&[])

(),()(k k k k t t t h t v x y +

=最小模型误差估计的最优准则是，寻找满足协方差约束条件

的模型误差矢量的最小估计值。是时刻的测量噪声方差阵。在测量噪声是平稳随机过程的典型情况下，协方差约束条件可被描述为

[]{}[]{}k

T k k k k k k R t t x h t t t x h t ≈−−),(ˆ)(),(ˆ)(y y ()t d k R k t []{}[]{}R t t h t t t h t

M M k T

k k k k k k ≈−−∑=1),(ˆ)(),(ˆ)(1

x y x y （3）

指标函数：

[][][])()(2

1)(ˆ)()(ˆ)(21)(1t W t t t t t R t t t t t J T T d d y y y y d +∆+−∆+∆+−∆+=−由两项罚函数组成：

（1）测量残差的加权平方和；

（2）模型误差的加权平方和。

()t d ()()()t t t t t ∆+−∆+=y y e ˆ第一项用于权衡的比重，最小化此项使状态估计值趋近于真实测量值。加权矩阵选为测量噪声方差的逆，使准确的测量值（这时较小）比不准的测量值（这时较大）所占的比重大。

第二项反映了要使加入原始模型中的误差校正量达到最小。

()t e R R R ()t d

为半正定的模型误差加权矩阵。

两项罚函数之间的平衡依赖于的选取：

（1）当满足（3）式的协方差约束条件时，两项罚函数达到最佳平衡状态。

（2）如果减小，则模型误差校正量增大，使状态估值更加接近于测量值。

（3）如果增大，则模型误差校正量减小，使状态估计更加接近于原始状态传播模型。

W W W W W

两类解法

（1）MME非线性估计器

使指标函数达到最小的必要条件将导致一个两点边界值问题（TPBVP：Two-Point-Boundary-Value Problem），求解TPBVP，则状态估值与动态模型误差作为解的一部分被确定。MME估计器是一个批处理（离线）算法。

（2）非线性预测滤波器

借鉴预测跟踪方法的实现思想，基于测量矢量估计值的泰勒级数展开，Crassidis和Markley提出的一种求解最小模型误差准则的递推算法（实时）。

非线性预测滤波

李导数

给定一个光滑标量函数和一个维的向量场记

对的李（Lie ）导数是一个新的标量函数，定义为

λ()x λ()x f n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂=

n x x x d λλ

λλλL

2

1

x f ()()()()

x f x x f x

x ,λλ

λd L f =∂∂=函数对向量场的李导数实际上就是在向量场方向的变化率。

λf

李导数的运算可以重复进行。例如，先沿，后沿的李导数为

()x λ()x f ()x g ()()()

x g x x

∂∂=

λλf f g L L L 沿的次李导数定义为

()x λ()x f k ()()()()()x f x f x

x λλ

λ11−−=∂∂=k f

k f

k f

L d L L ()()

x x λλ=0f

L 此时

非线性预测滤波原理

（1）滤波器模型

[]()()t t G t t f t d x x

+=),()(&对于连续-离散系统

（4）（5）

[])

(),()(k k k k t t t h t v x y +=可建立滤波器模型[]()()t t G t t f t d x x

+=),(ˆ)(ˆ&（7）（8）

[]t t h t ),(ˆ)(ˆx y

=()t x

ˆ1×n 1×m ()t d 1×l ()t G l n ×是维状态矢量；是维模型误差矢量；是维的误差分配矩阵；是维测量矢量。)(ˆt y