数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章
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第十一章 反常积分
一、填空题 1．⎰
+∞
-++1
31x
x e
e dx
= 2．
⎰
-+-3
1
)
3()1(x x dx =
3．
⎰+∞
2
)(ln k
x x dx
其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1 当这积分收敛时，其值为 4．=++⎰ +∞ 28 4x x dx 5． =-+⎰∞ +2 2 )7(x x dx ___________ 6．=+⎰∞---0 2 )1(dx e xe x x ____________ 二、选择填空 1． ⎰ --= 1 1 2 1x xdx I 则（ ） A 可以令t x sin =求得⎰-= 22 sin π πtdt I 之值 B 可从凑微分求得⎰----=11221) 1(21x x d I 之值 C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元 D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A )(dx x f a ⎰ +∞ 收敛， )(dx x f c ⎰ +∞ 也必收敛，但 )(dx x f a ⎰ +∞ 发散， )(dx x f c ⎰ +∞ 不一 定发散。 B )(dx x f a ⎰ +∞ 发散， )(dx x f c ⎰ +∞ 也必发散，但 )(dx x f a ⎰ +∞ 收敛， )(dx x f c ⎰ +∞ 不一定收敛。 C )(dx x f a ⎰ +∞ 与 )(dx x f c ⎰ +∞ 同时收敛或同时发散。 D )(dx x f a ⎰ +∞ 收敛， )(dx x f c ⎰ +∞必发散。 3．若x x x f 104 )5(2-= -，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B. 4 π C.是发散的广义积分 D.是收敛的广义积分 4． =+⎰-2 22)1(x dx ( ) A.34- B.34 C.3 2 - D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( ) A. ⎰-1 1sin x dx B.⎰--1121x dx C.⎰+∞-02dx e x D.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题 1．计算下列无究限积分： （1） ⎰ ∞ +1 2 x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx ； （3） ⎰∞ +∞-++1x 2x 2dx 2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5） ⎰+∞ -0 x dx xe 2 2．讨论下列无穷限积分的敛散性： （1） ⎰ ∞ ++0 3 4 1 x dx ； （2） ⎰ ∞ +-a x dx e 1x ； （3） ⎰∞ ++0x 1dx ； （4） ⎰ ∞ ++1 3 dx x 1xarctgx ； （5） ()⎰ ∞ +->+0 1 a 1a dx x 1x ； （6） ()⎰∞ +≥+0n m 0n ,m dx x 1x ； （7） ()⎰ ∞ ++1 n dx x x 1ln ； （8） () ⎰ ∞ +3 x ln ln x dx 3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛： （1）⎰ +∞ 02dx x sin ； （2） ()dx x 1x sin sgn 0 2 ⎰ ∞ ++； （3） ⎰∞ ++0dx x 100x cos x ； （4） ()⎰ ∞ +3 xdx sin x ln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值： （1） ⎰ 1 xdx ln ； （2）⎰ -1 dx x 1x ； （3） ()()()⎰≠--b a b a x b a x dx 5．判别下列非正常积分的敛散性： （1） () ⎰-2 2 1x dx ； （2） ⎰ 1 2 3dx x x sin ； （3） ⎰ -1 04 dx x 1x ； （4）⎰-1 0dx x 1x ln ； （5）⎰-103 dx x 1arctgx ； （6） ⎰ ∞-0 x dx x ln e ； （7） ⎰ 1 x ln x dx ；