经典几何中线段和差最值(含答案)

几何中线段和，差最值问题

一、解决几何最值问题的通常思路

①两点之间线段最短；

②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

一般处理方法：

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）二、典型题型

1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=3

2

，则△PMN的周长的最小值为 6 ．

2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=

4

7

．

线段和(周长)最小

转化

构造三角形

两点之间，线段最短

垂线段最短

P A+PB最小，

需转化，

使点在线异侧

|P A-PB|最大，

需转化，使点在线同侧

线段差最大线段最大（小）值

三角形三边关系定理

三点共线时取得最值

平移

对称

旋转

使点在线异侧

（如下图）

使点在线同侧

（如下图）

使目标线段与定长

线段构成三角形

平移

对称

旋转

l

B'

A

B

P

l

B'

B

A

P

3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |

的最大值为 5

．

D P

B′N B

M

A

4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．

5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 8-54 ．

6．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为 12 ．

7．如图，线段AB 的长为4，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE ，那么DE 长的最小值是 2 ．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是≤

2BB′+CC′+DD′2

≤．

10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 ．

11．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB

-的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP OQ

⋅＝3．

第11题图第12题图

12.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的最小值为__2.4_______．

13.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_1

3+_______.若将△ABP中边PA的长度改为2

2，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为

___1

5+______．

14.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 2 ．x

O

A

B

y

A

B C

E

F

P

M

y

C

B A'

解答题：

1. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD

上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．

（1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ≤34-8PD 4≤ ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？ 8-54

2. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上

任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM . （1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；中点

（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.EC 与BD 的交点为M

A

B C D A

B

C

D

E

M N

P F

E D C

B

A A B

C

D E

F

P A

B

C

D

E

M N