第十五章虚位移原理

第十五<1）章虚位移原理

虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。b5E2RGbCAP

§15-1 约束·虚位移·虚功

1．约束及其分类

在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。我们从不同的角度对约束分类如下。p1EanqFDPw

<1）几何约束和运动约束

限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图15-1所示单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆长为l。这时摆杆对质点的限制条件是：质点M必须在以点O为圆心、以l为半径的圆周上运动。若以x，y表示质点的坐标，则其约束方程为。又如，质点M在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M的约束方程，即DXDiTa9E3d

又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。这三个条件以约束方程表示为RTCrpUDGiT

上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。

在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有

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上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。设和分别为点A 的坐标和车轮的转角，有。则上式又可改写为

<2）定常约束和非定常约束

图形15-5为一摆长l随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。设摆长在开始时为l0，然后以不变的速度v拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为jLBHrnAILg

由上式可见，约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。

不随时间变化的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不显含时间t，图15-1所示单摆的约束是定常约束。xHAQX74J0X

<3）其他分类

如果约束方程中包含坐标对时间的导数<如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。反之，如果约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如，在上述车轮沿直线轨道作纯滚动的例子中，其运动约束方程虽是微分方程的形式，但它可以积分

为有限形式，所以仍是完整约束。完整约束方程的一般形式为LDAYtRyKfE

式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。

在前述单摆的例子中，摆杆是一刚性杆，它限制质点沿杆的拉伸方向的位移，又限制质点沿杆的压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束<或称为固执约束），双侧约束的约束方程是等式。若单摆是用绳子系住的，则绳子不能限制质点沿绳子缩短方向的位移，这

类约束称为单侧约束<或称为非固执约束），单侧约束的约束方程是不等式。例如，单侧约束的单摆，其约束方程为Zzz6ZB2Ltk

本章只讨论定常的双侧几何约束，其约束方程的一般形式为

式中n为质点系的质点数，s为约束的方程数。

2．虚位移

在静止平衡问题中，质点系中各个质点都不动。我们设想在约束允许的条件下，给某质点一个任意的、极其微小的位移。例如在图15-2中，可设想质点M在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移

。在图15-3中，可设想曲柄在平衡位置上转过任一极小角

，这时点A沿圆弧切线方向有相应的位移，点B沿导轨方向有相应的位移。上述两例中的位移，，，都是约束允许的、可能实现的某种假想的极微小的位移。在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移用符号δ表示，它是变分符号，“变分”包含有无限小“变更”的意思。dvzfvkwMI1

必须注意，虚位移与实际位移<简称实位移）是不同的概念。实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有

关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。对于非定常约束，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一事实上是虚位移中的一个。对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如等。rqyn14ZNXI

3．虚功

力在虚位移中作的功称为虚功。如图15-3中，按图示的虚位移，为F的虚功为，是负功；力偶M的虚功为M，是正功。力F在虚位移上作的虚功一般以表示，本书中的虚功与实位移中的元功虽然采用同一符号，但它们之间是有本质区别的。因为虚位移只是假想的，不是真实发生的，因而虚功也是假想的，是虚的，图15-3中的机构处于静止平衡状态，显然任何力都没作实功，但力可以作虚功。EmxvxOtOco

4．理想约束

如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。若以表示作用在某质点i上的约

束力，表示该质点的虚位移，表示该约束反力在虚位移中所作的功，则理想约束可以用数学公式表示为SixE2yXPq5

在动能定理一章已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束，现从虚位移原理的角度看，这些约束也为理想约束。6ewMyirQFL

§15-2 虚位移原理

设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点mi，如图15-6所示，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束力的合力为FN i。因为质点系处于平衡状态，则这个质点也处于平衡状态，因此有kavU42VRUs

Fi＋FN i＝0

若给质点系以某种虚位移，其中质点mi的虚位移为，则作用在质点mi上的Fi和FN i的虚功的和为