多项式方程的判别式与求根公式

东莞理工学院本科毕业论文

（2015届）

题目: 多项式方程的判别式与求根公式

学生姓名:

学号: 201141410230

院（系）:计算机学院

专业班级: 信息与计算科学（2）班

指导教师:

起止时间: 2015年1月—2015年5月

多项式方程的判别式与求根公式

摘要: 近代数学史甚至能说是一部求解多项式方程的历史。对于高次方程的数值根求解法，人们从很早就开始并一直探求这样的问题。而且在古代，很多人都想出了一个办法来解决各种各样的多项式方程。如卡尔米诺的《大术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。

在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。当人们在进行科学或者工程计算时，求解多项式方程组更是非常容易遇到的问题之一。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些;但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。

对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际工程计算中，具有十分重要的意义。

关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLAB

Discriminant and seek the root of polynomial equations

Abstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.

In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, its

solving process is often more difficult.

The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.

Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB

目录

一、引言 (1)

（一）一元二次方程的判别式和求根与韦达定理 (1)

（二）一元三次方程的判别式和求根公式及其推导 (2)

（三）一元四次方程的解法 (5)

二、一元多次多项式 (8)

（一）代数基本定理 (9)

（二）域论基础 (10)

（三）多项式方程的判别式 (11)

（四）牛顿恒等式 (12)

（五）关于一元五次方程 (19)

三、总结与展望 (20)

参考文献 (23)

致谢 (24)

一、引言

在人类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天文学家及地理学家花拉子米作为第一人给出了一元二次方程的一般解法。而在1100年奥玛·海亚姆则根据于一元三次的方程的特殊性作出了不一般的解法。到了1541年，有名数学家塔尔塔利亚提出了对于一元三次方程一般解法的问题。1797年，德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯提出了代数的基本定理，首次证实了一元高次代数方程的根的存在。1819年，霍纳给数值方程根的另一种解法——霍纳法，俗称为劈因子法。

（一） 一元二次方程的求根

代数方程中的一个重要内容是一元二次方程，他是我们学习基本代数的重点和基础，在方程和方程组的进一步研究的基础上有非常重要的作用，如初始知识的功能，二次曲线和不等式等。

对于一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠ 的判别式为：24b ac ∆=-。 ∆>0⇔有两个不相等的实数根。

∆=0⇔有两个不相等的实数根。

∆<0⇔有两个不相等的实数根。

判别式包括以下几点作用：

1、对于数字系数的方程可以先直接计算判别式值，然后根据判别式的值，确定根的情况；

2、对于未知系数的一元二次方程，如果已知方程的根的情况，借此可判断判别式的值大于零、等于零还是小于零，从而判断未知系数的取值范围；

3、使用配方法，并连接一元二次方程根的判别式，即可证明存在未知系数的一元二次方程根的相关问题。

首先，对于20ax bx c ++=的方程进行配方化解：

20b c x x a a

++=；再同时加上和减去2

24b a ，得：