神奇的对数换底公式(公开课)

log10 2 log10 15，即
lg15 3.91. x log 2 15 lg 2
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
四、获取新知
lg15 由 log 2 15 抽象推广到一般情况可得重要 lg 2
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
x
方ຫໍສະໝຸດ Baidu一 根据函数关系式列表如下
x
0 1
1 0.84
2 0.71
3 0.59
4 0.50
5 0.42
… …
y 0.84x
观察表中数据， y 0.5 时对应有 x 4 ，
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
的对数转换公式：
换底公式
loga N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) loga b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，
对数换底公式
loga N a, b 0, a, b 1, N 0. logb N loga b
. log N log bN a . 因为x=logbN,所以 log ab
loga b
所以logb N
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
lg 27 lg 3 3 解: (1) log9 27 2 lg 9 lg 3 2 2 5 lg 3 lg 2 (2) log8 9 log27 32 3 lg 2 lg 33 2 lg 3 5 lg 2 10 3 lg 2 3 lg 3 9
3
(2) log8 9 log 27 32 log 23 3 log 32 2
2
5
2 5 10 log 2 3 log3 2 3 3 9
六、公式推论
1 推论1 logb a log a b
如何证明
令N
log a N a， 由 logb N log b a
n
即可得到
3
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
log3 27 log3 33 3 解法二: (1) log9 27 2 log3 9 log3 3 2
log3 32 log3 25 (2) log8 9 log27 32 3 log3 2 log3 33 2 log3 3 5 log3 2 10 3 log3 2 3 log3 3 9
较2
100
与 3 的大小吗?
65
(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?
思考：对数换底公式的作用是什么？ 答：利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同 底的对数；或将一般地对数化为自然对数或常用对数， 这样便于查表和计算. 思考：在什么情况下选用对数换底公式？ 答：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表 获得对数值时，可化为10为底的常用对数进行运算.
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
如何证明
n 推论2 log am b m log a b
n n
log a b n log a b n log am b log a b m log a a m m
直接利用换底公式
七、跟踪练习
1 1 1 计算： (1) log 9 8 log 32 27; (2) log 2 log 3 log 5 . 125 32 3 13 13 1 lglg 2 lg lg lg 3 lg 8 lg 27 1 27 1 1 125 32 3 解： ( 1 ) log 8 log 解： (2) log log 3 log 5 9 2 32 2 5 lg2 3 lg lg 9 lg3 32 lg 125 32 lg 2 3 lg 5 3 lg 9 3 5 2 3 lg 1 3 lg 5 lg 2 lg 3 15 2 lg 3 5 lg 2 10 lg 2 lg 3 lg 5
M 3loga loga M loga N . N
二、动手实践
1、利用计算器计算 lg15和lg 2 （精确到 . 0.001 ）
2、利用计算器计算ln15和ln 2 （精确到 . 0.001 ）
结果：1、lg15 1.176 2、ln 15 2.708
lg 2 0.301 ln 2 0.693
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学
计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
三、问题探究
问题：可否利用计算器的“lg”或“ln”键求出 log 2 15 的值呢？
从而有 我们可设 log 2 15 x，
x
2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
4.2 神 奇 的 对 数 换 底 公 式
一、复习与回顾 1、对数的定义 a N b loga N
b
2、对数的运算性质
如果a 0, a 1, M 0, N 0, 则
1loga MN loga M loga N ; n 2loga M n loga M n R ;
log1.082 2 8.795
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则 经过 1 年，剩留量是 y 0.84 ；
选做题:已知 lg x lg y 2lg( x 2 y) ,求 log
2
x 的值. y
十、知识延伸
思考:对数有换底公式,指数有换底公式吗?
指数的换底公式
a b
n
n logb a
问题与思考
(1)你能证明指数换底公式吗? (2)已知 lg 2 0.3010 ， lg3 0.4771 ，你能否较快地比
x
x 方法二 依题意得 0.84 0.5 ， ln 0.5 x log0.84 0.5 ln 0.84 3.98
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
八、课时小结
你从这节课上学到了什么？
loga N a, b 0, a, b 1, N 0. 对数换底公式 logb N loga b
3 3 1 1 1 法二： log log 2 log25 3 法二： log928 log log log 32 27 32 5 3 125 32 3 3 3 3 1 5 log log 2 23 log 2 5log 5 3 3log 3 2 2 2 (3) (5) (1) log2 5 log3 2 log5 3 15
知识应用
例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）
log2 48 ； log3 10 ; log8 ; log5 50 ; log1.082 2 lg 48 解： log2 48 5.585 lg 2 ln 10 log 3 10 2.096 ln 3 log5 50 2.431 log8 0.550
两个推论
logb a loga b 1
n log a m b log a b m
n
思考：(1)对数换底公式的作用是什么？ (2)在什么情况下选用对数换底公式？
(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
九、课外作业
必做题: 教材 P88 习题 B 组 T4 2、 已知 log7 3 a,log7 4 b , 试用 a , b 表示 log48 49 .
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用 运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根 据运算法则进行化简或求值. 思考：在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
答：一般进行数值计算的可选用以10为底的常用对数， 便于查表和计算；若进行化简和证明，可选用被处理 的式子中用的比较多的底数作为底数.
n logam a m
n
logam bn n log a b
m
loga b logb a 1
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
3 3 解法三: (1) log 9 27 log 32 3 log 3 3 2 2
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
x
经过 2 年，剩留量是 y 0.84 ； ……………………
2
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
如何证明
证:设 log 2 15 x ，
证明: 设x=logblog N,根据对数定义 ,有 根据对数的定义, a N 证明二：设 x , 写成指数式，得 x N=b .log b 换底公式好神奇 a 2 x 15 两边取以a为底的对数,得 换成新底可任意 两边取常用对数,得 x x. x lg 2 lg15 log N= log b log b 则loga N b 原底加底变分母 a x log a a a lg15 而logabx=xlogab,所以 所以 x . 真数加底变分子 lg 2 x log N= x logb N log N 所以 N a bxlog ab. a . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得 x loga b loga N