第十章 曲线积分与曲面积分学习指导

第十章 曲线积分与曲面积分学习指导

一、内容提要

(一) 对弧长的曲线积分

1．定义：()()∑⎰=→∆=n

i i i i L

s f dx y x f 1

,lim ,ηξλ，其中()n i s i ,,2,1 =∆表示第i 个

小弧段的弧长{}i n

i s ∆=≤≤1max λ。

2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。 3．计算：

(1) 若曲线L 的界数方程为()t x x =，()t y y =(βα≤≤t )且()t x '，()t y '在

[]βα,上连续，()y x f ,在L 上连续，则

()()()[]()()[]

⎰⎰

'+'=β

α

dt t y t x t y t x f ds y x f L

2

2

,,。

(2) 若曲线L 的方程为()x y y =()b x a ≤≤且()t y '在[]b a ,连续，()y x f ,L 上连续，则

()()[]()[]

⎰⎰

'+=b

a

L

dx x y x y x f ds y x f 2

1,,。

(3) 若曲线L 的极坐标方程为()θρρ=(βθα≤≤)，且()θρ'在[]βα,上连续，

()x f 在L 上连续，则

()[]()()⎰⎰

'+=β

α

θθρρθρθρd f ds y x f L

2sin ,cos ,。

(4) 若空间曲线L 的方程为()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,上连续()z y x f ,,在L 上连续，则

()()()()[]()[]()[]()[]⎰⎰

'+'+'=β

α

dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L

2

2

2

,,,,。

(二) 对坐标的曲线积分

1．定义：()()()()[]∑⎰=→∆+∆=+n

i i i i i i i L

y Q x P dy y x Q dx y x P 1

,,lim ,,ηξηξλ其物理意

义是变务()()j y x Q i y x P F

,,+=沿有向弧段L 所作的功，即

()()⎰⎰

+==L

L

dy y x Q dx y x P s d F W ,,

2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性

()()()()⎰⎰-+-=+L

L

dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ,,,,

3．计算：

(1) 若曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '在[]βα,或[]αβ,上连续，()y x P ,，()y x Q ,在

L 上连续，则

()()()()[]()()()[](){}dt t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L

⎰⎰'+'=+β

α,,,,

(2) 若曲线L 的直角坐标方程为()x y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的x 的值为a 和b ，又()x y '在[]b a ,或[]a b ,上连续，则

()()()[]()[](){}dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P b

a

L

⎰⎰'+=+,,,,

(3) 若空间曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，()t z z =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,或[]αβ,上连续，则

()()()()()[]()()()()[](){⎰⎰'+'=++β

αt y t z t y t x Q t x t z x y t x P Rdz dy y x Q dx y x P L

,,,,,,

()()()[]()}dt t z t z t y t x Q '+,,

(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式

设()y x P ,和()y x Q ,及一阶导数在闭区域D 上连续，则有

()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂-∂∂=+L D dxdy y Q x P dy y x Q dx y x P ,, 其中分段光滑曲线L 是区域D 的正向边界。

2．四个等价命题

若()y x P ,，()y x Q ,在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则在D 内下列四个命题相互等价：

(1) 曲线积分()()⎰+L

dy y x Q dx y x P ,,与路径无关，其中L 是D 中分段光滑曲

线；

(2) 沿D 中任一分段光滑闭曲线L 有()()0,,=+⎰L

dy y x Q dx y x P 。

(3) 对D 内的任一点()y x ,有

y

Q

x P ∂∂=

∂∂。 (4) 在D 内存在一函数()y x U ,使()()dy y x Q dx y x P dU ,,+=，则有

()()()()

()⎰

+=y x y x dy y x Q dx y x P y x U ,,00,,,

3．两种曲线积分之间的关系()()()⎰⎰+=+L

L

ds Q P dy y x Q dx y x P βαcos cos ,,其中αcos ，βcos 是L 上任一点L 方向上的切向量的方向余弦。

(四) 对面积的曲面积分

1．定义：()()∑⎰⎰=→∑

∆=n

i i i i s f dx z y x f 1

,lim ,,ηξλ，其中i s ∆(n i ,,2,1 =)是曲面块

∑上的第i 个块的面积{}i n

i s ∆=≤≤1max λ。

物理意义是密度()z y x f ,,的曲面块S 的质量()⎰⎰∑

=ds z y x f M ,,当

()1,,=z y x f 时为面积。

2．计算

若曲面∑可用单值函数()y x z z ,=表示设xy D 为在xoy 平面上的投影区域，则

()()[]⎰⎰

⎰⎰

++=

∑

xy

D y x dxdy z z y x z y x f ds z y x f 2

21,,,,,

若曲面∑的方程为单值函数()z y x x ,=若()z x y y ,=，设yz D 和xz D 为∑在yoz 平面和xoz 平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：

()()[]⎰⎰

⎰⎰

++=

∑

yz

D z y dydz x x z y z y x f ds z y x f 221,,,,,

或

()()[]⎰⎰

⎰⎰

++=

xz

D z x D

dxdz y y z z x y x f ds z y x f 221,,,,,

(五) 对坐标的曲面积分