气溶胶力学第二章(含原第三章)

（2-20） （2-21）
其中 所以
D B sin / r
2
P P 2 cos sin cos dP dr d B( 3 dr 2 d ) Bd ( 2 ) r r r r
积分得：
3 cos P P av 0 2 2 r
（2-15）
式（2-15）所应满足的边界条件：
当r→∞时 ，vr=0 ,vθ=0。 当r→a时 ，
1 vr 2 v0 cos r sin 1 v v0 sin r sin r
(2-16)
（2-17）
由（2-16）式，必须 A=C=0 由式（2-17）得：

（2-26）
该情况下的流线如图2-3所示。而球体所收的
阻力于前同。

图 2-3 流体对球体的绕流
在气溶胶力学的研究内容中，常把式 （2-24）
表示为 ： v=FB
其中B=1/6πμa,称为粒子的迁移率
（2-27）
（Moblility），或者说，对于给定的粒子，其 运动速度与作用其上的力成正比，比例常数 即粒子的迁移率B与粒子的大小a之间的关系 见图2-4。
1

gradP v 2 v
divv 0
改写成球面坐标形式为：
当
vβ=0 vγ=vγ(γ,θ) , vθ=v(γ,θ)
2 vr 1 2 vr 2 vr ctg vr 2 v 2vr 2ctg 1 P P v( 2 2 2 2 2 2 2 v ) r r r r r r r r r r 2 v 1 2 v 2 v ctg v 2 vr v vr v( 2 2 2 2 2 2 2 ) r r r r r r r sin r 1 v 2vr ctg v 0 r r r

——气体密度，kg／m3；

——粒子与气体的相对运动速度， m／s； CS ——阻力系数。
因此，只要知道阻力系数，则可计算气体对
球形粒子的阻力。阻力系数取决于雷诺数Re,
d p Re (2-31) 其关系如图2-5所示。根据Re的大小可近似分 3个区段来考虑。
CS

图2-5 球的阻力系数和雷诺数
1 3 a 2 2 1 a 3 v0 r sin ( ) ( ) 1 2 2 r 2 r
而此情况下的速度分量为：
1 a a 3 v r v0 cos ( ) 3( ) 2 2 r r 1 a a 3 v v0 sin ( ) 3( ) 4 4 r r
f n(n 1)r
n 2
所以
所以
n(n 1)r
n 2
2r
n 2
0
解该式得 n=-1 ,n=2
f Ar Br
2
1
带入式（2-13）得
2 B 2 F 2 F Ar r r
同理
A 4 1 D 2 F (r ) r Br Cr 10 2 r
三
肯宁汉修正
前面的讨论是在粒子直径不太小时是有效的，
然而对很小的粒子，能发生分子滑动，导致 实际阻力低于前面公式的计算值，需要我们 对斯托克斯公式加以修正，粒子直径越小， 这一修正越有必要，即

F=6πμaν/C
(2-36)
式中C——为肯宁汉修正系数，C>1，
由斯特劳斯（Strauss）给出的修正系数值为
（2-22）
其中P∞——是无限远处的均一压力。
( r ) r a v 1 v r v v ( ) r r r r
此外
3 v0 sin 2 a
（2-23）
由图2-2所示，物体上所受阻力（x方向上）
是两个力的合力，即压力阻力Px和摩擦阻力 的Fx。
1 1 D 4 2 ( Ar Br Cr ) sin 2 所以 10 2 r
（2-14）
由式（2-8）与（2-14）可求出：

A 2 B1 D v r 2 cos ( r C 3 ) 10 2r r 2 1B D v sin ( Ar 2 2C 3 ) 5 2 r r
为了描述气溶胶粒子的运动需要应用粘性流
体的基本方程 ，即奈维-斯托克斯（NovierStokes）方程和连续性方程，其向量形式为：

V 2 v v 1 gradP v v t divv 0 t
（2－1）

（2－2）
对稳定不可压缩流动
v v 1 gradP v v

（2－7）
引进流函数

1 vr 2 r sin 1 v r sin r
（2－8）
利用斯托克斯算符：
2 sin 1 D 2 2 ( ) r r sin

（2－9）
式（2-7）中的前两个方程可表为：
s

0
3 v0 2a 2 sin 3 d 2 a
3av0 sin 3 d 4av0
0

所以球体上所受的阻力是
F Fx Px 4av0 2av0 6av0
（2-24） 球体上所受阻力与球的半径和运动速度成正 比，式（2-24）是斯托克斯于1851年导出的。 若按流体对原球的绕流考虑，气流线与前面 的讨论不同，此时的流函数为： (2-25)
第二章
气溶胶粒子的直线 运动
作用于气溶胶粒子上的力有重力，静电
力等以及介质的阻力。粒子间的距离相 对于粒子的直径是很大的，因此可以把 粒子的运动看成彼此无关的，必要时可 以对粒子间相互作用的影响进行修正。
在常力作用下粒子的等速直线运动是气
溶胶动力学中最简单的情况，这是我们 首先进行讨论的原因。
0.165 C 1 dp
（2-39）
式中dp的单位取为μm。 在标准状态条件下，不同粒径时的修正系数
见表2-1。
表 2-1 肯宁汉修正系数
d p (m)
C 22.68 2.91 1.890 1.574 1.424 1.337 1.280 1.240 1.210 1.186
d p (m)
(1)
斯托克斯(Stokes)区 Re≤1 CS =24／Re (2.32)
代人式(2.30)，得著名的斯托克斯阻力公式
f 3d p
(2)艾伦(AlIen)区
(2.33)
l< Re≤500 =10.6／Re ½ (2.34) CS
(3)牛顿区

CS
500< Re <2×105 =0. 44 (2.35)
C 1 2

dp
(1.257 0.400e
0.55d p
)
（2-37）
其中

dp——粒子直径； λ——气体分子平均自由程。
M (cm) 2RT

（2-38）
μ——粘性系数，g/cm· s; ρ——气体密度，g/cm³ ; M——分子量； R——气体常数； T——绝对温度，K。 对于标准状态的空气，λ=0.667μm,此时肯宁 汉修正系数为： 其中
C 1.168 1.084 1.056 1.042 1.034 1.028 1.024 1.021 1.019 1.017
0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
二
球体的阻力系数
作用于气溶胶粒子上的力有重力、离心力、
静电力以及介质的阻力等。在气固分离过程 中，运动粒子所受到的介质阻力始终存在， 该阻力的确定对分析粒子的运动行为是必不 可少的。气体对球形粒子的阻力可用一通式 表示

f CS
d
2 p

2
2
4
(2-பைடு நூலகம்0)
式中
d p ——粒子直径，m；

图 2-2 物体上所受阻力
由（2-22）式
Px P(r , ) cos ds
s


0
3 v0 ( P cos ) cos sin 2a 2 d 2 a

2 0
3v0 a sin cos d 2av0
由式（2-23）
Fx r sin ds
1 P v D 2 0 r r sin 1 P v D 0 sin r
（2-10） 从式（2-10）中消去P，得到下列偏分方程：

D²ψ=0
(2-11)
这是球体在静止液体中运动时，流函数所满
足的微分方程。为了解（2-11），我们取下 列形式的试验解： ψ=sin²θF(r) (2-12)
在实际烟尘净化中，斯托克斯阻力公式(2.33)
适用于大部分情况。例如在常温时，对于1 m 粒子，为使Re≤1，速度≤15 m／s,对于10 粒 m 子，要求≤1.5m／s,对于过滤方法、电除尘方 法等都能满足。个别情况下，会落入艾伦区。 通常，进人牛顿区的可能性很小，在大颗粒 的空气动力输送等特殊情况下才可能出现。
u P U u x x v P U v x y w P U w x z
（2-28）
得到式（2-28）的解为
3 F 6aU (1 Re) 16
（2-29）
在Re<1时斯托克斯公式与奥森公式均被实验所 证实。但奥森公式比斯托克斯公式在理论上 更严密。
图 2-4
粒子的迁移率与粒子大小的关系
奥森（Oseen）在讨论同一问题时，没有完
全忽略惯性项，他假设以均匀流速U流过球 体时，在球的附近在三个方向上流速发生微 小变动u΄,v΄,w΄,这时，再x,y,z三个方向上的流 速为 u= -U+u΄ , v= v΄ , w= w΄ 此时的运动方程为：
2

（2－4）
divv 0

（2－5）
一球体的缓慢运动——斯托克斯定律
设半径为a的球体以速度vo在无界的粘性
流体中等速运动（见图2-1）， vo与a都 很小，而流体的粘性很大，因而雷诺数 很小。在此条件下，流体的惯性影响比 流体的粘性影响小得多，因而惯性项与 粘性项相比完全可以忽略，此时奈维-斯 托克斯方程与连续方程可以写为：
B 2D 3 v0 a a 1B D v0 3 2a a
可解出
3 B v0 a 2
1 3 D v0 a 4
最后得到的流函数为：

1 a r 2 2 v0 a sin ( 3 ) 4 r a
（2-18）
或者
1 a 2 2 a 3 v0 r sin ( ) 3( ) 4 r r
则
2 D sin ( F 2 F ) r
2
令
2 f ( r ) ( F 2 F ) r
（2-13）
则
2 D sin ( f 2 f ) 0 r
2 2
因此必须 取试验解
2 f 2 f 0 r
f r
n
代入原式
因为
而速度分量为：
1 a 2 a r v r v0 cos ( ) ( 3 ) 2 r r a 1 a a 2 v v0 sin ( ) ( ) 3 4 r r

（2-19）
由式（2-10）
P 2 ( D ) r r sin P ( D ) sin r