圆锥曲线复习_课件(经典)

2
.
2.
2
2
离心率 e=1 准线 ⑥ x=- p
2
.
e=1 x＝ p
2
e=1
e=1
y＝－ p ⑦ y= p .
2
2
9.直线与圆的位置关系的判断
由圆心到直线的距离d与圆半径r比较 大小判断位置关系;(1)当d＞r时,直线与圆 ① 相离 ;(2)当d=r时,直线与圆② 相切 ;(3) 当d＜r时，直线与圆③ 相交 .
x2 a2

y2 b2
=1,
a2+b2＝20
a2=12
则
(3 2)2 a2

22 b2
=1
,求得 b2=8,
故所求双曲线的方程为 x2 y2 =1.
12 8
方法提炼
1.a,b,c 有 关 系 式 c2=a2+b2 成 立 ， 且 a>0,b>0,c>0. 其 中 a 与 b 的 大 小 关 系 ， 可 以 为 a=b,a<b,a>b.
14.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件 本身就是一些几何量(如距离与角)的等量 关系，或这些几何条件简单明了且易于表 达，我们只需把这种关系转化为x,y的等 式就得到曲线的轨迹方程；
(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程；
5.椭两圆条直ax线22 xby=22 ±=1a(2a(>cb2=>a02)-的b2焦)与点x轴为的F1交、点F2，为
c
M 、 N ， 若 ｜ MN ｜ ≤ 2|F1F2|, 则 该 椭 圆 的
离心率e的取值范围是［ 2 ,1) .
2
由已知|MN|=2·a2 .
c
又|MN|≤2|F1F2|,则2· a≤2 4c,
4.根据方程判定焦点的位置时，注意 与椭圆的差异性.
5.求双曲线的标准方程时应首先考虑 焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需 进行讨论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2+By2=1(AB<0).
6.与双曲线
x2 a2

y2 b2
1
a
由两渐近线互相垂直得 b ·(- b )=-1,即a=b.
从而e= c = a2 b2 = 2 . a a
a
a
10.若双曲线C的焦点和椭圆2x52

y2 5
=1的焦
点相同，且过点(3 2,2)，则双曲线C的
方程是 x2 y2 =1 .
12 8
由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在
x轴上，设双曲线C的方程为
(1)
x2 y2 a2 b2
=1 (a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点
坐标为④ F1(-c,0),F2(c,0) .
(2)
x2 b2

y2 a2
=1 (a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点
坐标为⑤ F1(0,-c),F2(0,c).
4.椭圆
x2 y2 a2 b2
=1 (a＞b＞0)的几何性质
(2)写出动点M所满足的③ 几何条件的集合. (3)将动点M的坐标④ 代入几何条件,列出关 于动点坐标的方程f(x,y)=0.
(4)化简方程f(x,y)＝0为最简形式.
(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上 的所有点是否都满足已知条件.
注意：第（2）步可以省略，如果化 简过程都是等价交换，则第（5）可以省 略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小） x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完 备（即去伪与补漏）.
(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹 问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨 迹方程，再联立方程，通过解方程组消去 参变量，直接得到x,y的关系式.
课堂练习
1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之 和等于6，则点P的轨迹是( C )
A.椭圆 C.线段F1F2
B.圆 D.直线F1F2
10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时， 可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去 y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方 程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.
(1)当a≠0时,则有④ Δ＞0 ,l与C相交; ⑤ Δ=0 ,l与C相切;⑥ Δ＜0 ,l与C相离;
(3) 顶 点 ： A1(-a,0),A2(a,0) ； 实 轴 长 ⑩ |A1A2|=2a ，虚轴长11 |B1B2|=2b ;
一般规律：双曲线都有两个顶点，顶
点是曲线与它本身的对称轴的交点.
(4)离心率e= c ( 12 e＞1 )；双曲线的离 心率在(1,+∞)内，a 离心率确定了双曲线的
形状.
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
(4)参数法：有时求动点应满足的几何 条件不易得出，也无明显的相关点，但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的 制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一 变量的变化而变化，我们可称这个变量为 参数，建立轨迹的参数方程；
由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10， 所以|PF2|=12-10=2. 又焦点坐标F1（-7，0），F2（7，0），顶点
坐标为（±5，0）， 所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.
9.若双曲线
x2 a2

y=21的两条渐近线互相垂直，
b2
则双曲线的离心率 e.= 2
由已知，两渐近线方程为y=± bx,
2.椭圆 x2 + y2 =1的焦点坐标是 (± 7 ,0,)若弦
16 9
CD过左焦点F1,则△F2CD的周长是 16 .
由已知，半焦距c= 16 9 = 7 ,故 焦点坐标为(± 7 ,0),△F2CD的周长为 4a=4×4=16.
3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( 3,0),
离心率为 1 的椭圆方程为
3.椭圆中有“两线”(两条对称轴)， “六点”(两个焦点、四个顶点)，注意 它们之间的位置关系(焦点在长轴上等) 及相互间的距离(如焦点到相应顶点的 距离为a-c等).
6.双曲线
y2 x2
=1的实轴长是
8 ，焦点坐
16 9
标是 （0,±5) .
7.方程 x2 y2 =1表示双曲线，则实数k的取
(1) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ① 方程的解 ;
(2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 均 是 ② 曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方 程，这条曲线叫做方程的曲线.
13.求轨迹方程的基本思路
(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任 意一点（动点）坐标为M(x,y).
近线方(5)程渐为近1线3 y：=±双b曲x 线;双ax22 曲 by线22
a
两条渐近线方程为 14
y=± ax
1 的两条渐
x2 a2

y2 b2
1
的
.
b
双曲线有两条渐近线，他们的交点就 是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等 于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可 能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共 轭放大或放大后共轭的双曲线.
一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是
曲线与它本身的对称轴的交点.
(4)离心率：e=⑩
c a
(0＜e＜1)，椭圆的离
心率在11 (0,1)内,离心率确定了椭圆的形状(扁
圆状态).当离心率越接近于12 0 时,椭圆越圆;
当离心率越接近于13 1 时，椭圆越扁平.
5 .双曲线的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之差的 绝对值为常数2a(且① 0＜2a＜|F1F)2的| 点的 轨迹叫双曲线，有||MF1|-|MF2||=2a.
已知双曲线的标准方程求双曲线的渐
近线方程时，只要令双曲线的标准方程中
的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程x2ຫໍສະໝຸດ a2y2 b2
0
近线方程.
就是双曲线x2
a2

y2 b2
1
的两条渐
8.抛物线的定义
平面内与一定点F和一条定直线l(F
l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物 线的① 准线.
2
x2 y2
34
=1
.
b=3
依题设
e=
c a
=
1 2
,解得 a=2 b=3.
a2=b2+c2
又椭圆焦点在y轴上,故其方程为 x2 y2 =1.
34
4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满 足|PA|+|PB|=8,则｜PM｜的最大值为 4,最 小值为 .7
依题意可知，P点轨迹为以A、 B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半 焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大 值为4，最小值为半短轴 7 .
1,其
中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).
性质
7.双曲线
x2 a2

y2 b2
1
(a＞0,b＞0)的几何
(1)范围：⑨ |x|≥a ,y∈R；
(2) 对 称 性 ： 对 称 轴 x=0,y=0 ， 对 称 中 心(0，0)；
一般规律：双曲线有两条对称轴，它 们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中 垂线.
(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则 l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为 双曲线,则l⑦ 平行于双曲线的渐近线;若C 为抛物线,则l⑧ 平行于抛物线的对称轴.