曲线和方程(二)

解:设动点为(x，y)，则由题设得
x22y2|x|
化简得: y2=4(x-1)
这就是所求的轨迹方程.
10
3. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的 中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系.
设A(x，y)，又D(0，0)，所以
2.
y2 x2
y x的
B
3
例１、设Ａ、Ｂ两点的坐标是 (-1, -1)、(3,7),求线段ＡＢ 的垂直平分线方程 .
法一: 运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2,
y
∴所求直线的斜率 k= 1
B
又∵线段 AB 的中点坐标2
是 (1 3 , 1 7) 即(1,3)
y
则
x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
且
x12 x22
y12 6x1 4y1 9 0 ① y22 6x2 4y2 9 0 ②
Al
M
B
C
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
6(x1 x2 ) ∵ kOM
一、复习回顾
曲线的方程和方程的曲线的概念： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一
个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做 方程的曲线.
1
2.1.2求曲线方程
2
练习1. 解:
3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.
即利用动点P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点,
另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关
系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中，
得到动点P的轨迹方程.
12
例 3.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; √4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; √ 5.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．. 7
例 2 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距 离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距 离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条
y2
0
36
.
y
0C
Mx
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了13 !
思考2
13
例 4.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
|A|D x2y23
化简得 :x2+y2=9 (y≠0)
这就是所求的轨迹方程.
11
求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 0
x
y 3 1 (x 1) .即 x+2y-7=0
A
2
4
例１、设Ａ、Ｂ两点的坐标是 (-1, -1)、(3,7),求线 段ＡＢ的垂直平分线方程 .
法二:若没有现成的结论怎么办
──需要掌握一般性的方法
y
B
M
0
A
x
5
我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y 由中点坐标公式可知
x1
y1
x 2 y 2
(x, y)
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2 y 1 x2 6x 9 y2 14 y 49
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 M1A M1B
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 . 6
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
即 x2(y2)2y2① 将①式移项平方化简得 y 1 x 2
8 因为曲线在x轴上方,所以y>0.虽然原点O的坐 标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线
所以曲线的方程应是 y 1 x2(x 0)
8
9
练习1.
源自文库
B
2.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是__y_2_=4(x-1)
曲线的方程.
分析:建立坐标系时,要充分
y
利用已知条件中的定点、定
直线,使问题中的几何特征显
现出来,从而使曲线方程的形
式更简单.
F(.0 , 2 )
解:建立如图所示的坐标系,设曲线上
任一点 M 的坐标为(x,y)
0
l
.M
(x, y)
x
8
作MB⊥x轴,垂足为B,则点M属于
P { M ||M F | |M B | 2 }