角动量定理和角动量守恒定律

第6节 角动量定理和角动量守恒定律

一、 质点对固定点的～

定义：质点对O 点的角动量(动量矩)

L =r ⨯P L =ϕsin rP =ϕsin rmV ， 12-s k g m ，12-T ML 定义：力F 对O 点的力矩：M =r ⨯ M =θsin rF

F r V m V dt P d r P dt r

d P r dt d

dt L d

⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=)(

M

dt M ：元冲量矩

⎰21

t t dt M ：冲量矩，N m s ，1

2-T ML 如果合外力矩M

=0

0=dt L d ⇒C P r L =⨯=：角动量守恒定律

例：圆锥摆球在水平面内匀速转动

分别对固定点A 和O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩 合力矩和角动量

对A ：T R M T ⨯==0， G R M G

⨯=≠0 M =T M +G M

≠0， V m R L A ⨯

=不守恒 对O ：T r M T ⨯=≠0

，G r M

G

⨯=≠0

M =T M +G M =)(G T r +⨯=0

V m r L O

⨯=守恒

例：证明开普勒第二定律

“从恒星到行星的矢径在相同 的时间内扫过相同的面积” 证：合外力矩M =r ⨯F =0 角动量L =r V m ⨯=C r V ⨯=C ' ，ϕsin rV =C '

dt ，面积ϕi n 2

121r d s r d h dA == ϕs i n 21dt ds r dt dA ==2/sin 2

1C rV '=ϕ：常数 二、质点系对固定点的～ i m ：动量：i i i V m P = 角动量i i i P r L ⨯= 定义：质点系对O 点的角动量 ∑∑⨯==i i i P r L L ∑∑⨯+⨯=dt P d r P dt r d dt L d i i i i ∑∑+⨯+⨯=)(i i i i i f F r P V ∑∑⨯+⨯=i i i i f r F r 外M F r i i =⨯∑：合外力矩

⨯f r ：合内力矩，∑⨯i i f r =0 如果合外力矩外M =0 0=dt

L d ⇒∑==C L L i ：角动量守恒定律 例：两只猴子，质量相同，距地面高度相同 一只猴子向上爬，另一只猴子不爬，

请问，哪只猴子先到达滑轮？

解：角动量守恒：21RmV RmV -=0

21V V =，同时达到滑轮

三、刚体对定轴的~

i

m

∆对z轴的角动量

i

i

i

i

i

i

V

m

r

P

r

L

∆

⨯

=

⨯

=

=

∆

⨯

i

i

i

V

m

r

ω2

i

i

i

i

i

r

m

V

m

r∆

=

∆

i

L

=ω

2

i

i

r

m

∆，

刚体对z轴的角动量

L

=ω

ω

I

r

m

i

i

=

∆

∑2，x

M

βI

dt

ω

d

I

ωI

d

L d

=

=

=

=)

(

如果0

=

M，则C

L

=：角动量守恒定律

非刚体，I一般随时间变化，β

I

M=不成立

角动量定理及角动量守恒定律仍成立！

定轴转动，M

dt

dL

=，Mdt

dL=，⎰=

∆

2

1

t

t

Mdt

L

C

L=，ωI

L=，βI

M=

演示实验

例：水平面内，均质杆（M，l）2/

V 子弹（m，V）击穿杆的

自由端后速度降为2/

V

求：杆转动的角速度ωV 解：角动量守恒

ω2

3

1

2

Ml

l

V

m

mVl+

=，

Ml

mV

2

3

=

ω

例：m

r

A

2.0

=，kg

m

A

2

=ω

1

50-

=rads

A

ω

m

r

B

1.0

=，kg

m

B

4

=

1

200-

=rads

B

ω

求：A B对心衔接后

共同的角速度ω，A B

A B受到的冲量矩，机械能损失。

解：ω

ω

ω)

(

0B

A

B

B

A

A

I

I

I

I+

=

+，2

2

1

A

A

A

r

m

I=，2

2

1

B

B

B

r

m

I=