第2章__线性时不变系统

物理意义：两个LTI系统级联 后的单位冲激响应 是单个冲激响应的卷积，且与级联顺序无关
x[n] h1[n] h2[n] y[n]
x[n] h[n]=h1[n]*h2[n] y[n]
x[n]
h[n]=h1[n]*h2[n]
y[n]
x[n]
h2[n]
h1[n]
y[n]
4、LIT系统的因果性 因果性:输出只决定于现在和过去的输入值 对LTI系统， y[n] x[k ]h[n k ] k 要求k>n时，h[n-k]=0，即 n<0时，h[n]=0 n x[k ]h[n k ] 因果系统的输出表示为 y[n] k 或
若 h(t ) h1 (t ) (t ) 则冲激响应为的系统 是冲激响应为h(t)的系统的逆系统
8、LTI 系统的单位阶跃响应g[n] / g(t) 定义：当激励为u[n] / u(t)时系统的零状态 响应。
g[n] u[n] h[n]
m
h[m]
t
n
h[n] g[n] g[n] g[n 1]
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]





x(百度文库h(t )d


x() h(t d A h(t ) d
第二章 线性时不变系统的 时域分析
回顾序言0.2
系统基本定义： 对输入信号（激励）作出响应的物理结构 本质： 对输入信号进行处理，并将处理后的信号作为输 出（响应） 输出另外的信号或某些需要的特性 形成： 自然形成；人为设计 例： 电路系统；互联网；人体的各种系统；计算机程序
2.1 引言
1 1 2 2 1 2 1 2
比例性(齐次性, 均匀性) : 若x1 (t ) y1 (t ),则ax1 (t ) ay1 (t )

ax1 (t ) bx2 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
ax1[n] bx2 [n] ay1[n] by2 [n]
其中a , b 为任意复常数 →叠加性质：若 xk [n] yk [n] ak xk [n] y[n] ak yk [n] 则 x[n] k k →零输入零输出 ： 0 x[n] 0 y[n]
y[n] h[k ]x[n k ]
k 0
连续LTI：t <0时，h(t)=0 --因果信号：n<0 或t<0时恒为零的信号 LTI系统的因果性 等价于冲激响应为因果信号
y(t ) x()h(t )d h() x(t )d
0 t
5、LTI系统的稳定性 稳定性：有界的输入产生有界的输出 对LTI系统， 当 x(t ) A 时（A是小于无穷的正 数），有：
2.4 （LTI系统的）单位冲激响应
定义： LTI系统在单位冲激信号激励下的零 状态响应 2.4.1 离散时间LTI系统的单位脉冲响应 已知 x[n] x[k ][n k ] k hk [n] 为某线性系统对δ[n-k]的响应， • 由线性系统的叠加性,其输出y[n]为
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
2.2.5 时不变性 若系统的特性行为（物理参数）不随时间 而变,该系统就是时不变的 若 x(t ) y(t ) ，则 x(t t0 ) y(t t0 ) 例： y(t ) sin[x(t )] -是时不变的 y[n] nx[n] -不是时不变的
2.2.6 线性 可加性 : 若x (t ) y (t ), x (t ) y (t ),则x (t ) x (t ) y (t ) y (t ) 线性系统
（2）并联的LTI系统可以用单一的一个LTI 系统来代替,其单位冲激响应是并联联结中 各个单位冲激响应的和
h1(t)
x(t)
h2(t)
y(t)
x(t)
h1(t)+h2(t)
y(t)
3、结合律
x[n] (h1[n] h2[n]) ( x[n] h1[n]) h2[n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) h2 (t )
y(t ) y(0 )e

at
e a (t ) x()d
0
t
当 y(0 ) 0 ，输出和输入之间不满足线性和 时不变性。
将以上完全解分为两部分： 第一项与激励 x(t ) 无关，而与系统的起始 状态 y(0 ) 有关，称其为零输入响应 第二项仅与激励 x(t ) 有关，而与系统的起 始状态无关，称其为零状态响应 零状态响应与激励之间满足线性、时不变性 更加符合物理概念 若无特别说明，系统“响应”指零状态响 应
→若某时刻以前系统的输入为零，则该时刻以前系
统的输出也必为零
→所有的无记忆系统都是因果的；反之不成立 例：y[n] x[n] -非因果 y(t ) x(t ) cos(t 1) -因果(且是无记忆系统)
2.2.4 稳定性 稳定系统：若输入有界,则输出也有界 这里有界指最大幅值是有限值 物理意义：小的输入不会使响应发散 例： y(t ) tx(t ) - 不稳定 y(t ) e x (t ) - 稳定
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
2.4.2 连续时间LTI系统单位冲激响应 若 h(t ) 是系统输入为 (t ) 时的零状态响应-单 位冲激响应，有： 卷积积分 y(t ) x(t ) h(t ) x()h(t )d 2.4.3 单位冲激响应在系统分析中的地位 —LTI系统的一种描述方法 求系统对任意输入信号的零状态响应 描述系统特征
t
c
广义的说,记忆系统
, 过去的输入输出有关 . 输出与当前输入 , 将来的输入输出有关 输出与当前输入
2.2.2 可逆性与可逆系统 一个系统在不同的输入下导致不同的输出, 则称其为可逆的,若一个系统是可逆的,那 么就是一个可逆系统
x[n]
系统
y[n]
逆系统
w[n] x[n]
例： y[n] Re{x(n)} -非线性 例： y[n] 2 x[n] 3 -非线性
这是一个增量线性系统,即其响应的变化对于输入 的变化是线性的,或者说,对任意两个输入,其响应 的差是两个输入的差的线性函数.
y0 (t )
x(t)
线性系统 + y(t)
“信号与系统”研究的对象-线性时不变系统 LTI
2.5.1 线性常系数微分方程 连续时间LTI系统可用线性常系数微分方程 n m 描述 d n i d m j
a
i 0
y[n]
k
x[k ]h [n]
k

• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
h(t) x(t)
？
hD(t) hD(t) hD(t)
y(t)
+ hG(t)
解：由系统互联，可得：
h(t ) [(t ) hD (t ) hD (t ) hD (t )] hG (t ) [(t ) (t 1) (t 1) (t 1)] [u (t ) u (t 3)] [(t ) (t 1) (t 2)] [u (t ) u (t 3)] u (t ) u (t 3) u (t 1) u (t 4) u (t 2) u (t 5)
1、交换律
x[n] h[n] h[n] x[n]
物理意义： 输入为x[n]/x(t)，单位冲激响应为h[n]/h(t)的 LTI系统的输出，与输入为h[n]/h(t)，单位冲 激响应为x[n]/x(t)的LTI系统的输出是一样的
x(t ) h(t ) h(t ) x(t ) h() x(t )d
3、系统互联 复杂系统，由简单系统互联而成 互联的几种基本形式 ： Input 串联（级联） 系统1 系统2
系统1
Input
output
output
并联
系统2
+
串联/并联的组合
Input
系统1
系统2
+
output
系统3
反馈联结
Input
+
output +
-
系统1
系统2
2.2 基本系统性质
2.2.1 记忆系统与无记忆系统 无记忆系统 ： 系统某一时刻的输出仅取决于该时刻的输入 2 2 y[n] (2x[n] x [n]) ——电阻器； 记忆系统：该系统具有保留或存储不是当前 时刻输入信息的功能 ——含有电感、电容、寄存器的系统 1 y[n] y[n 1] x[n] y(t ) x(t )dt
1、什么是系统？ 从广义的组成的角度看,系统是一些元器件 或子系统的互联. 从功能看,一个系统可看作是一个(处理)过程, 或简单看作”黑匣子” 即:系统以某种方式对信号作出响应,或对输入 信号作某种变化
输入信号
输出信号
系统
另外的信号 或某些特性
2、系统的描述方法： 根据系统输入输出间关系，建立数学模型 ——框图、列表、数学方程及其组合
2.3 LTI系统的 零输入响应和零状态响应
如上节例，线性方程 y[n] 2 x[n] 3 若没有常数项， y[n] 2 x[n] 就是一个线性系统 将系统的响应分为两部分： 一部分与激励信号无关 一部分完全由激励信号决定——满足线性
再看一个例子：线性常系数微分方程
其解：
dy (t ) ay (t ) x(t ) dt

k
h[k ]x[n k ]

2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和


6、有记忆和无记忆LTI系统 系统无记忆 h[n] k[n] ，k为常数
h(t ) k(t ) k=1时称为恒等系统， y (t ) x(t )
x(t) x(t) y(t) h1(t) h(t)
7、LTI系统的可逆性
w(t)=x(t) x(t)
(t ) 恒 等 系 统(t)
x（t） 3 2 1 0 1 t 1 0 1 2 3 4 5 t h（t）
• 欲求x（t）和h（t）的 卷积，利用卷积的微 分、积分性质
dh (t ) y (t ) x()d dt
t
3

•1
0
t

x()d
dh (t ) dt
1
t
y (t )
t 3
1
t
0
3
6
t
2.5 用微分和差分方程描述的 LTI系统