多自由度体系的水平地震作用(精)
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对于满足一定条件的多自由度结构可以使用更为简单 的底部剪力法。
底部剪力法的适用条件
高度不超过40m、以剪切变形为主、质量和刚度沿高 度分布比较均匀的多自由度结构； 近似于单质点体系的结构。
底部剪力法的基本步骤
先计算作用于结构的总水平地震作用，即作用于结 构底部的剪力； 将总水平地震作用按一定的规律在分配给各个质点。
Fi (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
x0 (t ) j x0 (t ) X ji
j 1 n
xi (t ) j j (t ) X ji
j 1
n
则上式又可以写为
Fi (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]
j 1
n
x0 (t ) j (t ) ——与第j振型相应振子的绝对加速度。
由上式可以求得随时间变化的曲线，即时程曲线。曲 线上 Fi (t ) 的最大值就是设计用的最大地震作用。
一般采用方法是先求出对应于每一振型的最大地震 作用（同一振型中各质点地震作用将同时达到最大值） 及其相应的地震作用效应，然后将这些效应进行组合， 以求得结构的最大地震作用效应。
各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增 加而迅速减小。 因此在实际计算中，一般采用前2~3个振型即可。 考虑到周期较长结构的各个自振频率比较接近， 因此《抗震规范》规定，当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时，可适当增加参与组合的振 型个数。
从设计反应谱中可以看出，在长周期段，地震影响系数下降较快， 对于基本周期大于 3.5s 的结构，根据振型分解反应谱方法计算所 得的水平地震作用下的结构作用效应可能太小，因此为了保证结 构的安全，《抗震规范》规定了各楼层水平地震剪力最小值。
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
质点的水平地震作用为 Fi (t ) 1 1 X1iGi 故 Fi (t ) Gi X1i 根据假定，振型为倒三角形时 Fi (t ) Gi Hi 故 由此可得 Gi H i Fi n FEk G jH j
振型组合的方式有多种，如求和、取最大、平方和开平 方等方法。 如假定地震时地面运动为平稳的随机过程，则对于各平 动振型所产生的地震作用效应可近似采用“平方和开平 方”的方法来确定，即：
S
2 S j
S——水平地震作用效应 Sj——第j振型水平地震作用所产生的作用效应，包括 内力和变形。
将各振型的地震作用效应以平方和开平方法求得结构 地震作用效应； 将各振型的地震作用以平方和开平方法进行组合，随 后计算其作用效应。 两者结果不同，采用后一种方法，计算结果将夸大 结构的地震作用效应。
FEk 1Geq
Geq c Gi
i 1
n
Geq——结构等效总重力荷载; Gi——集中于质点i的重力荷载代表值； c—— 等效系数。根据统计结果分析，其大小与结构的基本 周期及场地条件有关。
当结构的基本周期小于 0.75s 时，可近似取 0.85 ；对于单质 点体系等于1.0。适用于用底部剪力法计算地震作用的结构的 基本周期一般都小于 0.75s ，所以《抗震规范》规定对于多质 点体系取c=0.85；对于单质点体系取c= 1.0。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
பைடு நூலகம்i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
VEki G j
j 1
n
VEki ——第i层对应于水平地震作用标准值的楼层剪力；
λ ——剪力系数，对竖向不规则结构的薄弱层，尚应 乘以1.15的 增大系数； Gi——第i层的重力荷载代表值。
二、底部剪力法
按振型分解反应谱方法求解多自由度体系的地震反应 时，需要计算结构的各个自振频率，运算较繁。
2．振型组合
求出第 j 振型第 i 质点上的水平地震作用后，便可以按 一般力学方法计算结构的地震作用效应（内力、变形）。 根据振型分解法，结构在任意时刻所受到的地震作用 为该时刻各振型地震作用之和，并且所求得的相应于各 振型的地震作用均为最大值。 因此按求得的地震作用效应Sj也是最大值。 然而，在任一时刻各振型的地震作用并不一定同时达 到最大值，其相应的地震作用效应也不一定同时达到最 大值。 因此，需要进行合理的振型组合方式，以确定合理的 地震作用效应。
底部剪力法的适用条件
高度不超过40m、以剪切变形为主、质量和刚度沿高 度分布比较均匀的多自由度结构； 近似于单质点体系的结构。
底部剪力法的基本步骤
先计算作用于结构的总水平地震作用，即作用于结 构底部的剪力； 将总水平地震作用按一定的规律在分配给各个质点。
Fi (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
x0 (t ) j x0 (t ) X ji
j 1 n
xi (t ) j j (t ) X ji
j 1
n
则上式又可以写为
Fi (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]
j 1
n
x0 (t ) j (t ) ——与第j振型相应振子的绝对加速度。
由上式可以求得随时间变化的曲线，即时程曲线。曲 线上 Fi (t ) 的最大值就是设计用的最大地震作用。
一般采用方法是先求出对应于每一振型的最大地震 作用（同一振型中各质点地震作用将同时达到最大值） 及其相应的地震作用效应，然后将这些效应进行组合， 以求得结构的最大地震作用效应。
各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增 加而迅速减小。 因此在实际计算中，一般采用前2~3个振型即可。 考虑到周期较长结构的各个自振频率比较接近， 因此《抗震规范》规定，当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时，可适当增加参与组合的振 型个数。
从设计反应谱中可以看出，在长周期段，地震影响系数下降较快， 对于基本周期大于 3.5s 的结构，根据振型分解反应谱方法计算所 得的水平地震作用下的结构作用效应可能太小，因此为了保证结 构的安全，《抗震规范》规定了各楼层水平地震剪力最小值。
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
质点的水平地震作用为 Fi (t ) 1 1 X1iGi 故 Fi (t ) Gi X1i 根据假定，振型为倒三角形时 Fi (t ) Gi Hi 故 由此可得 Gi H i Fi n FEk G jH j
振型组合的方式有多种，如求和、取最大、平方和开平 方等方法。 如假定地震时地面运动为平稳的随机过程，则对于各平 动振型所产生的地震作用效应可近似采用“平方和开平 方”的方法来确定，即：
S
2 S j
S——水平地震作用效应 Sj——第j振型水平地震作用所产生的作用效应，包括 内力和变形。
将各振型的地震作用效应以平方和开平方法求得结构 地震作用效应； 将各振型的地震作用以平方和开平方法进行组合，随 后计算其作用效应。 两者结果不同，采用后一种方法，计算结果将夸大 结构的地震作用效应。
FEk 1Geq
Geq c Gi
i 1
n
Geq——结构等效总重力荷载; Gi——集中于质点i的重力荷载代表值； c—— 等效系数。根据统计结果分析，其大小与结构的基本 周期及场地条件有关。
当结构的基本周期小于 0.75s 时，可近似取 0.85 ；对于单质 点体系等于1.0。适用于用底部剪力法计算地震作用的结构的 基本周期一般都小于 0.75s ，所以《抗震规范》规定对于多质 点体系取c=0.85；对于单质点体系取c= 1.0。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
பைடு நூலகம்i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
VEki G j
j 1
n
VEki ——第i层对应于水平地震作用标准值的楼层剪力；
λ ——剪力系数，对竖向不规则结构的薄弱层，尚应 乘以1.15的 增大系数； Gi——第i层的重力荷载代表值。
二、底部剪力法
按振型分解反应谱方法求解多自由度体系的地震反应 时，需要计算结构的各个自振频率，运算较繁。
2．振型组合
求出第 j 振型第 i 质点上的水平地震作用后，便可以按 一般力学方法计算结构的地震作用效应（内力、变形）。 根据振型分解法，结构在任意时刻所受到的地震作用 为该时刻各振型地震作用之和，并且所求得的相应于各 振型的地震作用均为最大值。 因此按求得的地震作用效应Sj也是最大值。 然而，在任一时刻各振型的地震作用并不一定同时达 到最大值，其相应的地震作用效应也不一定同时达到最 大值。 因此，需要进行合理的振型组合方式，以确定合理的 地震作用效应。