天津大学金杰电磁场与电磁波 第6章 时变电磁场

C
◇ 穿过回路的磁通量为 综上可得
m B dS
S
法拉第电磁感应定律的积分形式 E dl =
C
d B dS dt S
B t
法拉第电磁感应定律的微分形式 E 五、意义
◇ 积分形式：感应电场在时变磁场中沿闭合曲线的线积分等于该曲线所围曲面 上穿过磁通的负变化率。 ◇ 微分形式： 1.感应电场是涡旋场，不是保守场； 2.感应电场的源是时变的磁场。
初步了解坡印廷矢量的工程应用。
◇ 掌握时变电磁场的波动方程，理解矢量位和标量位的概 念以及它们满足的方程。
6.1 法拉第电磁感应定律
一、法拉第电磁感应定律：磁通量变化会产生感应电动势 定义：当穿过导体回路的磁通发生变化时，回路中会产生感 应电流，这表明回路中感应了电动势，其大小等于磁通的时 间变化率，其方向与磁力线的方向满足右手螺旋法则。
应用散度定理，得到
坡印廷定理
( E H ) dS
S
d We +Wm P dt
单位时间体积 内的 热损耗（损耗功率）
单位时间穿过闭合面S 进 入体积 的电磁场能量
体积 内总储能 对时间的变化率
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◇ 意义：表征电磁场中的能量守恒关系。
1.当方程右侧为正值时，则等号左方也应该为正值，它表示能流是流入封闭 面的； 2.当方程右侧为负值时，且损耗功率只能为正值，则储能必须是减少的，而 且减少量大于热损耗，这部分能量一定要通过闭合面而流出去，此时等号左 方也为负值，即能流是流出封闭面的。 三、坡印廷矢量 ◇ 定义 大小：穿过与它方向垂直的单位面积上的电磁功率（能流矢量）。 方向：能量流动的方向。（满足右手定则）
一、能流矢量（功率流） ◇ 定义 大小：单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积上的能量。 方向：能量流动的方向。
二、坡印廷定理 由麦氏第一、第二方程 带入
H J D t
E
B t
H E E H H
B D EJ E t t
S

全电流定律：穿过任意闭合曲面的各类电流之和恒为零。（基尔霍夫电流定 律） 说明：传导电流、运流电流、位移电流均能产生磁场。
例：海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流与
传导电流振幅的比值。（电场随时间作正弦变化 e E cos t E x m
解：位移电流密度为
）
Jd
其幅值为
D e x 0 r Em sin t t
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
传导电流密度为
Jc E ex 4Em cos t
其幅值为
J cm 4Em
故位移电流与传导电流振幅之比为
J dm 1.125 103 J cm
H J D t
积分形式
D H dl J + dS S t C B E dl dS S t C
E
B t
B 0
D
Fra Baidu bibliotek
B dS 0
S
D dS q
S
◇ 第四方程—高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场。
(2)导体表面电流存在于两导体相向的面
Js
z 0
n H ez H ey
z 0
Js
z d
n H e z H ey
z d
0 d
E0 sin t k x x
E sin t k x x 0 d 0
6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量
6.2 位移电流
一、位移电流 ◇ 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾。 经过S1面 经过S2面
S2
S1
c
H dl i
C
S1
i
◇ 麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板之间存在另一种电流，其值
与 传导电流i相等。 D 位移电流密度 J d
C
H dl 0
t
二、推广的安培环路定理 一般情况下，空间可能同时存在自由电流和位移电流，则
E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n
例：在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度 为 E e y E0 sin z cos t k x x 式中kx为常数。 d z 求：(1)磁场强度H；(2)两导体表面上的面电流密度Js。 解:(1)由 E 0 得 e x
E t H E t H 0 E 0 H
两边取旋度
E
H t
矢量恒等式 A A 2 A
有 E 2 E 可得
2
H t
D1n D2 n
n D1 D2
分界面上电位移的法向分量不连续。
五、特殊情况 ◇ 两种无耗媒质的分界面（J s 0, 0）
n H1 H2 = 0 n E1 E2 0
n B1 B2 0 n D1 D2 0
n
H 1t
l
H1
h
H dl JS dS +
C S
D dS t S
1
2
S
H2 H 2t
当 h 0该积分为零
与恒定磁场相比较
C
H dl J
S
S
dS
因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的形式相同，即
n H1 H2 = Js
分界面上磁场强度的法向分量不连续。
第6章 时变电磁场
6.1 法拉第电磁感应定律
6.2 位移电流
6.3 麦克斯韦方程
6.4 时变电磁场的边界条件
6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量
6.6 波动方程
6.7 动态矢量位和标量位
内容概要
◇ 牢固掌握麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式，并理 解其物理意义，能够理解和正确使用边界条件。 ◇ 深刻理解坡印廷矢量和坡印廷定理的定义和意义，能够
二、E 的边界条件
同样的分析可得时变场中E的边界条件与静电场时的形式相同，即
n E1 E2 0
分界面上电场强度的切向分量连续。 三、B 的边界条件 与恒定磁场相同
B1n B2n 0
矢量形式
n B1 B2 0
分界面上磁感应强度的法向分量连续。 四、D 的边界条件 与静电场相同 矢量形式
in
d dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。 二、楞次定律：感应电流总是反抗引起它的原因 当穿过回路的磁通增大时，感应电动势的方向与设定正方向相反，产 d 0 生的感应电流引起磁通来阻止原磁场的增加； dt
当穿过回路的磁通减少时，感应电动势的方向与设定正方向相同，产 d 0 生的感应电流引起磁通来补充原磁场的减少。 dt
J t = Jc Jv J d
对上式取散度有
D J c J v J d = J H 0 t
对任意闭合曲面积分有
ic iv id J c J v J d dS = J c J v J d d = 0
利用矢量恒等式
即
( E H ) H ( E ) E ( H )
1 1 E2 H 2 E2 t 2 2
E H
取体积分
E H d

d 1 2 1 E H 2 d E 2d dt 2 2
H 1
H t
d
E E H ez 0 z x t
则
o
x
E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x ez x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d
6.3 麦克斯韦方程
一、麦克斯韦方程组：描述宏观电磁现象的基本规律 微分形式 第一方程 第二方程 第三方程 第四方程 二、意义 ◇ 第一方程—全电流定律：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。 ◇ 第二方程—电磁感应定律：表明变化的磁场能产生电场。 ◇ 第三方程—磁通连续性方程：表明磁场是无散场,即磁场不是由磁荷产生的， 磁力线总是闭合曲线。
H 1 B 1 其中 H H H H H 2 t t 2 t t 2 E 1 D 1 E E E E E 2 t t 2 t t 2 E J E2 1 1 可得 H E E H E2 H 2 E2 t 2 2
三、媒质的本构关系式 对于线性各向同性媒质有
D E 0 r E B H 0 r H J E
四、麦克斯韦方程组的限定形式 ◇ 麦氏方程的非限定形式：用E、D、B、H四个场量写出的方程。 ◇ 麦氏方程的限定形式：用E、H 二个场量写出的方程。 微分形式
H E E t
2 E E 2 0 t
二、H 的波动方程
同E 的波动方程，有
2 H H 0 2 t
或
H1t H2t 0 E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n D2n 0
◇ 理想介质和理想导体的分界面（E2 0, D2 0, B2 0, H2 0 ）
n H1 = J s
n E1 0
n B1 0 n D1
或
H1t J s
积分形式
H dl ( E
S C
E ) dS t
E
H t
E dl
S C
S
H dS t
H 0
H dS 0
E
E dS q
S
6.4 时变电磁场的边界条件
一、H 的边界条件 将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭合 回路，高度为无限小量 h 。
三、应用
◇ 变压器
感生电动势： 回路不变，磁场随时间变化。
in =
◇ 发电机
B dS t S
动生电动势： 回路切割磁力线，磁场不变。
in = v B dl
C
四、公式推导
◇ 感应电动势亦是感应电场强度沿闭合回路的线积分，即
in E dl
◇ 表达式： ◇ 意义：
S EH
单位：W/m2
1.表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦
称为功率流密度。
2.S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
6.6 波动方程
一、E 的波动方程 对于均匀、线性、无耗、各向同性媒质的无源区域 0, J 0, 0 根据麦克斯韦方程
D H dl J 安培环路定律的积分形式 dS S t C
安培环路定律的微分形式 H J
D t
三、全电流定律 自由电流 全电流
传导电流 J c E
运流电流 J v v
位移电流 J d
D t
全电流：传导电流、运流电流和位移电流之和。