《趸缴纯保费》PPT课件

1, t m bt 0, t m
vt v t , t 0
v T , T m Z 0, T m
延期m年的终身寿险的趸缴纯保费：
t A e m| x . fT (t )dt m
2、延期m年n年定期两全保险 延期m年n年定期两全保险－指被保险人在投保后的前m年内的 死亡不获赔偿，从第m+1年开始，为期n年的定期两全保险，发 生保险责任范围内的死亡时，保险人才给付保险。
100
假设这项基金在最初时数额为h，才能保证 P Z h 0.95
Z E( Z ) h E( Z ) 根据中心极限定理： P( ) 0.95 Var( Z ) Var( Z )
Z 400 h 400 30 30
h 400 1.645 30
h 449.35


v .t p x . x t dt v t .t p x . x t dt
t
h

v .t p x . x t dt v A x h h p x
t h 0
0 h
h

两边同时乘以－ 1，加上 A x h , 在两边同除以 h
Ax h Ax 0 h
例 2：假设有100个相互独立的年龄为 x岁的被保险人都投了保 险金额 为10元的终身寿险，随机变 量T的概率密度函数是 f T (t) e－t ,
0.04, t 0。保险金于被保险人死 亡时给付，保险金给付 是从某项 基金中按利息力 ＝0.06计息支付。试计算这项 基金在最初（ t 0)时
vt vt , t 0 1 , t n bt 0 , t n
v t , t n zt bt vt 0 , t n
签单时保险金给付现值随机变量：
vT , T n ZT bT vT 0, T n
E Z zt . fT t dt v t . fT t dt
三、终身寿险的趸缴纯保费
终身寿险－指被保险人在保单生效的任何时刻，发生保险责任 范围内的死亡，保险人均给付保险金。
假定：（x)岁的人投保终身寿险，保险金额为1元
bt 1, t 0 t v v ,t 0 t Z b v vT ,T 0 T T
终身寿险的趸缴纯保费：
vq x vp x v j 1 . j p x 1 .q x j 1
j 0
k 1
k 1

k 1
递推公式一：
Ax vqx vpx Ax1
递推公式二：
q x 1 px Ax vAx 1 v(1 Ax 1 )q x
Ax vAx 1 v(1 Ax 1 )q x
现值函数： zt bt vt （未来保险金给付在签单时的现值）
zT bT vT
一、精算现值的概念
在签单时的精算现值。
注：保险金 b T的现值 z T的平均值 E（ZT ）称为未来保险金给付
二、n年定期保险的趸缴纯保费
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险
责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。 假定：（x)岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系
Var ( Z j ) 2 A ( A) 2 25 16 9


E ( Z ) E ( Z j ) E ( Z j ) 100 4 400
j 1 j 1
100
100
Var ( Z ) Var ( Z j ) 100 9 900
j 1
ln 0.9
ln v
0.9 ) P (T ln 0.9 ) ln v 60 1 f T ( t )dt ln 0.9 dt ln v 60
ln 0.9 6 ln v
ln 0.9 1 (60 ) 0.9 60 ln v 6 ( v e ) ln 0.9 6 ln v 0.9 v
第二章：趸缴纯保费
第一节 死亡即付的寿险
死亡后立即给付保险金－指被保险人一旦发生保险责任范围类 的死亡，保险人立即给付保险金。
注 ：x 连 续 型 随 机 变 量 ; bt 保 险 金 给 付 函 数 ; v t 折 现(贴 现 ） 函 数 ; t 从 签 单 到 死 亡 的 时 间度 长;
dAx 1 ( Ax 1 Ax ) v(1 Ax 1 )q x
赚得的利息具有双重身 份：一方面，它增加了 由年龄x岁到 x 1岁的终身寿险的现值， 另外还承担了一年期的 定期寿险
二、连续型终身寿险模型的微分方程式
Ax v t .t p x . x t dt
0
1, m t m n bt 0, t m 或t m n mn t A e . fT ( t )dt m| x:n

m mn
Ax:m n Ax:m
0
e
t
. fT ( t )dt e t . fT ( t )dt
0
m

第五节 递推公式
一、离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式
针对离散性的保险金额为1元的终身寿险
Ax v
k 0

k 1
.k p x .q x k vq x v k 1 .k p x .q x k
k 1

vq x v k 1 . p x .k 1 p x 1 .q x k vq x v k .v . p x .k 1 p x 1 .q x k vq x vp x v k .k 1 p x 1 .q x k ( k j 1)
1 lim [e ( ) b 1] b 0.04 E ( Z j ) 10 Ax 4 0.06 0.04 0.04 2 2 2 25 E ( Z j ) 10 Ax 100 0.04 2 0.06

A
1 30:10
1 10 2 t e dt e . fT ( t )dt 0 0 70 1 1 2 t 10 [ e / 0 ] 0.063803 70 2
10 2t
Var( Z ) 0.063803 (0.092099)2 0.055321

Ax E ( Z )
Ax E ( Z ) zt . fT ( t )dt v t .t p x . x t dt
0 0



Ax e t .t p x . x t dt
0


Var( Z ) 2 A ( A)2


例2：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔 付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
1 v k h px lim Axh h 0 h lim v h .h p x . x h
h 0
lim
h 0
h
0
v t .t p x . x t dt h
x
1 v k h px 1 v h h px lim A x h lim . lim A x k h 0 h 0 h 0 h h 1 v h h px (lim ). A x A x ( x ) h 0 h
对于年龄x＋k岁的人：
Ax k vAx k 1 v(1 Ax k 1 )q x k
递推公式三：
Ax v k 1 (1 Ax k 1 )q x k
k 0

x岁的终身寿险现值 A x , 是由一系列一年期定期 保险的现值 之和构成
递推公式四：
d 1 v
0

1 30:10
1 10 -t e dt ( ln 1.1) v . fT ( t )dt 0 70 0 1 1 [ (1.1) t / 10 0 ] 0.092099 70 ln 1.1
10 t
Var( Z ) A
2
2 1 x:n
2 ( A1 ) x:n
h
－
v t .t p x . x t dt h
1 v k h px A xh h
A Ax lim x h lim h 0 h 0 h
A Ax d Ax lim x h h 0 h dx




h
0
v t .t p x . x t dt h
1 1 t 60 1 e 60 [ e / 0 ] ( 0) 60 60
2Var( Z ) 2 A ( A)2
1 e 120 1 e 60t 2 ( ) ( 0) 120 60


3P ( Z 0.9 ) P (v T
n 0 0
e t .t p x . x t dt
0
n
这种n年定期保险的趸缴纯保费：
1 x:n
A
e t .t p x . x t dt
0
n
更一般，若死亡时给付的保险金为x元，则趸缴纯保费为：
x . A1 x:n
Z的方差：

Var( Z ) E ( Z 2 ) [ E ( Z )]2 E ( Z 2 ) ( A ) E ( Z 2 ) zt 2 . fT t dt 0 e
的死亡给付的概率达到 95％。
的数额至少为多少时， 才能保证从这项基金中 足以支付每个被保险人
解： 令Z j表示第j个被保险人的死亡给付 在签单时的现值 ( j 1,..100) 对每个被保险人都有：
bt 10, t 0 t 0.06 v v , t 0 , v e t
0 n 2 t
1 2 x:n 2 1 x:n
.t p x . x t dt A
Var( Z ) A
2 1 x:n
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2 ( A1 ) x:n

x 例：设生存函数 s(x) 1－ ,0 x 100, 年利率i 0.1, 保险金 100 额为1元, 试计算 : (1)趸缴纯保费A
1 , 0 t 60 fT (t) 60 , 其它 0
计算（） 1 Ax (2)Var ( zt )
(3) Pr( z 0.9 ) 0.9的 0.9 .
解：
1Ax 0


1 60 t e dt z t . fT ( t )dt 60 0
这项基金在最初时数额为449.35元，比收取的趸缴纯保费总额400 元超出49.35元。
四、延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的终身寿险－指被保险人在投保后的前m年内的死亡 不获赔偿，从第m+1年开始，发生保险责任范围内的死亡时， 保险人才给付保险。
假定：（x)岁的人投保延期m年的终身寿险，保险金额为1元
Z j 10v T
令Z Z j
j 1
100
Ax z t . fT ( t )dt e
0



t
0
. .e
t
dt e ( ) t dt
0

lim e
b 0
b
( ) t
1 ( ) t b lim .[ e ] / dt 0 b
－ 1 30:10
; (2)Var(Z)
s ( x t ) 1 / 100 1 解： f T ( t ) s( x ) 1 x / 100 100 x 1 x 30 fT ( t ) 70
A A
1 x:n
v t . fT ( t )dt