线段、角的计算的四种常见类型
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北师版 七年级上
第四章 基本平面图形
阶段归类专训 线段、角的计算的四种常见类型
习题链接
提示：点击 进入习题
1 A住宅区．
2 22.5°. (1)1.8 s后；
3 (2)1 s或9 s后.
4 42°.
答案显示
(1)6 cm 或 14 cm.
5
(2)12(a－b)cm. 6 (1)7(cm)．(2)12a cm.
阶段归类专训
②当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图②所示． 因为 M 为 AB 的中点，所以 MB＝12AB＝12×20＝10(cm)． 因为 N 为 BC 的中点，所以 BN＝12BC＝12×8＝4(cm)． 所以 MN＝MB＋BN＝10＋4＝14(cm)． 综上，线段 MN 的长为 6 cm 或 14 cm.
(3)图略.12b cm.理由略.
(1)6.(2)图略；6. 7 (3)图略；MN＝12AB.
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提示：点击 进入习题
8 5 cm. 9 2 cm或8 cm. 10 75°.
11 90°.
答案显示
阶段归类专训
1．如图，某公司员工住在A，B，C三个住宅区，A 区有30人，B区有15人，C区有10人．三个住宅 区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打 算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为 使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那 么停靠站的位置应设在哪个区？
阶段归类专训
5．已知A，B，C三点在一条直线上，若线段AB＝20 cm， 线段BC＝8 cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．
(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a cm，BC＝b cm，且a＞b，其他条件都不变，求MN的长度(直接 写出结果)．
解：MN＝12(a＋b)cm 或 MN＝12(a－b)cm.
阶段归类专训
10 ． 如 图 ， ∠ AOB ＝ ∠ COD ＝ 90° ， OC 平 分 ∠ AOB ， ∠BOD＝3∠DOE，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，OC 平分∠AOB， 所以∠BOC＝12∠AOB＝45°. 因为∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－45°＝45°， ∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°. 所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°.
阶段归类专训 11．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON ＝50°，∠BOC＝10°，求∠AOD的度数．
解：设∠COD＝2x，∠AOB＝2y， 由题意得∠CON＝x，∠BOM＝y. 因为∠MON＝∠NOC＋∠BOC＋∠BOM＝50°， 即x＋10°＋y＝50°，所以x＋y＝40°. 所 以 ∠ AOD ＝ ∠ COD ＋ ∠ BOC ＋ ∠ AOB ＝ 2x ＋ 10°＋2y＝10°＋2(x＋y)＝10°＋2×40°＝90°.
阶段归类专训
5．已知A，B，C三点在一条直线上，若线段AB＝20 cm， 线段BC＝8 cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
解：分两种情况： ①当点 C 在线段 AB 上时，如图①所示． 因为 M 为 AB 的中点，所以 MB＝12AB＝12×20＝10(cm)． 因为 N 为 BC 的中点，所以 BN＝12BC＝12×8＝4(cm)． 所以 MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
解：设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，解得t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，解得t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA :OB＝1 :2.
阶段归类专训
4．如图，∠AOB 内有两条射线 OC，OD，∠AOD ＝2∠BOD，∠AOC＝13∠COB，∠COD＝70°， 求∠AOC 的度数．
解：设∠AOC＝x，则∠COB＝3x，∠AOB＝4x. 由 题 中 图 可 知 ∠ BOD ＝ ∠ BOC － ∠ COD ＝ 3x － 70°，∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝x＋70°. 因 为 ∠ AOD ＝ 2 ∠ BOD ， 所 以 x ＋ 70° ＝ 2(3x － 70°)，解得x＝42°.所以∠AOC的度数是42°.
阶段归类专训 (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M， N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？ 请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
解：MN＝12b cm.理由如下： 因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC－NC＝12AC－12BC＝12(AC－BC)＝12b cm.
阶段归类专训 6．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M， N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长．
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点， 所以 MC＝12AC＝12×8＝4(cm)，NC＝12BC＝12×6＝3(cm)． 所以 MN＝MC＋NC＝4＋3＝7(cm)．
阶段归类专训
7．(1)已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，N分别 是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点， 所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC＋NC＝12AC＋12BC＝12AB＝12×12＝6.
阶段归类专训 (2)把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延
阶段归类专训 3．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A， B两点分别以每秒1个单位长度、每秒4个单位长 度的速度同时向左运动． (1)几秒后，原点恰好在两点正中间？
解：设运动时间为x s. 根据题意，得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8. 答：1.8 s后，原点恰好在两点正中间．
阶段归类专训 3．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A， B两点分别以每秒1个单位长度、每秒4个单位长 度的速度同时向左运动． (2)几秒后，恰好有OA ：OB＝1 ：2?
阶段归类专训
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他 条件不变，你能猜想出MN的长度吗？说明理由．
解：MN＝12a cm.理由如下：因为 M，N 分别是 AC，BC 的 中点，所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC＋NC＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12a cm.
综上可知，停靠站应设在A住宅区．
阶段归类专训
2．如图，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC ： ∠AOE＝3 ：1，求∠COD的度数．
解：根据题意，得∠BOC＋∠AOE＝ ∠AOD＋∠BOD－∠EOC＝90°＋90°－90°＝90°. 因为∠BOC ：∠AOE＝3 ：1， 所以∠BOC＝34×90°＝67.5°. 所以∠COD＝90°－67.5°＝22.5°.
阶段归类专训
8．如图，点C，D，E将线段AB分成1 ：2 ：3 ：4 四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的 中点，且MN＝15 cm，求PQ的长．
解：设 AC＝x cm，则 CD＝2x cm，DE＝3x cm，EB＝4x cm. 由题意得12x＋2x＋3x＋2x＝15，解得 x＝2. 所以 PQ＝x＋32x＝5 cm，即 PQ 的长为 5 cm.
长线上”，其他条件均不变，画图并求线段MN的长度；
解：如图①，MN＝MC－NC＝12AC－12BC＝12AB＝12×12＝6.
(3)已知线段AB，点C为直线AB外任意一点，点M，N分 别是AC，BC的中点，连接MN，画图猜想线段MN与 线段AB的数量关系(只要求画图，写出结论)．
如图②，通过度量可得 MN＝12AB.
阶段归类专训
9 ． 在 一 条 直 线 上 顺 次 取 A ， B ， C 三 点 ， 已 知 AB ＝ 5 cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求线 段BC的长．
解：①若点O在线段BC上，则OC＝OA＝AB＋OB＝6.5 cm， 所以BC＝OB＋OC＝8 cm； ②若点O在线段AB上，则OC＝OA＝AB－OB＝3.5 cm， 所以BC＝OC－OB＝2 cm.综上，线段BC的长为2 cm或8 cm.
阶段归类专训
解：当停靠站设在A住宅区时，所有员工步行到停靠站的路 程之和为30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4 500(m)．
当停靠站设在B住宅区时，所有员工步行到停靠站的路程之 和为30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m)．
当停靠站设在C住宅区时，所有员工步行到停靠站的路程之 和为30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12 000(m)．
第四章 基本平面图形
阶段归类专训 线段、角的计算的四种常见类型
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1 A住宅区．
2 22.5°. (1)1.8 s后；
3 (2)1 s或9 s后.
4 42°.
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(1)6 cm 或 14 cm.
5
(2)12(a－b)cm. 6 (1)7(cm)．(2)12a cm.
阶段归类专训
②当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图②所示． 因为 M 为 AB 的中点，所以 MB＝12AB＝12×20＝10(cm)． 因为 N 为 BC 的中点，所以 BN＝12BC＝12×8＝4(cm)． 所以 MN＝MB＋BN＝10＋4＝14(cm)． 综上，线段 MN 的长为 6 cm 或 14 cm.
(3)图略.12b cm.理由略.
(1)6.(2)图略；6. 7 (3)图略；MN＝12AB.
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8 5 cm. 9 2 cm或8 cm. 10 75°.
11 90°.
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阶段归类专训
1．如图，某公司员工住在A，B，C三个住宅区，A 区有30人，B区有15人，C区有10人．三个住宅 区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打 算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为 使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那 么停靠站的位置应设在哪个区？
阶段归类专训
5．已知A，B，C三点在一条直线上，若线段AB＝20 cm， 线段BC＝8 cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．
(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a cm，BC＝b cm，且a＞b，其他条件都不变，求MN的长度(直接 写出结果)．
解：MN＝12(a＋b)cm 或 MN＝12(a－b)cm.
阶段归类专训
10 ． 如 图 ， ∠ AOB ＝ ∠ COD ＝ 90° ， OC 平 分 ∠ AOB ， ∠BOD＝3∠DOE，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，OC 平分∠AOB， 所以∠BOC＝12∠AOB＝45°. 因为∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－45°＝45°， ∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°. 所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°.
阶段归类专训 11．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON ＝50°，∠BOC＝10°，求∠AOD的度数．
解：设∠COD＝2x，∠AOB＝2y， 由题意得∠CON＝x，∠BOM＝y. 因为∠MON＝∠NOC＋∠BOC＋∠BOM＝50°， 即x＋10°＋y＝50°，所以x＋y＝40°. 所 以 ∠ AOD ＝ ∠ COD ＋ ∠ BOC ＋ ∠ AOB ＝ 2x ＋ 10°＋2y＝10°＋2(x＋y)＝10°＋2×40°＝90°.
阶段归类专训
5．已知A，B，C三点在一条直线上，若线段AB＝20 cm， 线段BC＝8 cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
解：分两种情况： ①当点 C 在线段 AB 上时，如图①所示． 因为 M 为 AB 的中点，所以 MB＝12AB＝12×20＝10(cm)． 因为 N 为 BC 的中点，所以 BN＝12BC＝12×8＝4(cm)． 所以 MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
解：设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，解得t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，解得t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA :OB＝1 :2.
阶段归类专训
4．如图，∠AOB 内有两条射线 OC，OD，∠AOD ＝2∠BOD，∠AOC＝13∠COB，∠COD＝70°， 求∠AOC 的度数．
解：设∠AOC＝x，则∠COB＝3x，∠AOB＝4x. 由 题 中 图 可 知 ∠ BOD ＝ ∠ BOC － ∠ COD ＝ 3x － 70°，∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝x＋70°. 因 为 ∠ AOD ＝ 2 ∠ BOD ， 所 以 x ＋ 70° ＝ 2(3x － 70°)，解得x＝42°.所以∠AOC的度数是42°.
阶段归类专训 (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M， N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？ 请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
解：MN＝12b cm.理由如下： 因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC－NC＝12AC－12BC＝12(AC－BC)＝12b cm.
阶段归类专训 6．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M， N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长．
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点， 所以 MC＝12AC＝12×8＝4(cm)，NC＝12BC＝12×6＝3(cm)． 所以 MN＝MC＋NC＝4＋3＝7(cm)．
阶段归类专训
7．(1)已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，N分别 是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点， 所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC＋NC＝12AC＋12BC＝12AB＝12×12＝6.
阶段归类专训 (2)把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延
阶段归类专训 3．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A， B两点分别以每秒1个单位长度、每秒4个单位长 度的速度同时向左运动． (1)几秒后，原点恰好在两点正中间？
解：设运动时间为x s. 根据题意，得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8. 答：1.8 s后，原点恰好在两点正中间．
阶段归类专训 3．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A， B两点分别以每秒1个单位长度、每秒4个单位长 度的速度同时向左运动． (2)几秒后，恰好有OA ：OB＝1 ：2?
阶段归类专训
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他 条件不变，你能猜想出MN的长度吗？说明理由．
解：MN＝12a cm.理由如下：因为 M，N 分别是 AC，BC 的 中点，所以 MC＝12AC，NC＝12BC. 所以 MN＝MC＋NC＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12a cm.
综上可知，停靠站应设在A住宅区．
阶段归类专训
2．如图，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC ： ∠AOE＝3 ：1，求∠COD的度数．
解：根据题意，得∠BOC＋∠AOE＝ ∠AOD＋∠BOD－∠EOC＝90°＋90°－90°＝90°. 因为∠BOC ：∠AOE＝3 ：1， 所以∠BOC＝34×90°＝67.5°. 所以∠COD＝90°－67.5°＝22.5°.
阶段归类专训
8．如图，点C，D，E将线段AB分成1 ：2 ：3 ：4 四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的 中点，且MN＝15 cm，求PQ的长．
解：设 AC＝x cm，则 CD＝2x cm，DE＝3x cm，EB＝4x cm. 由题意得12x＋2x＋3x＋2x＝15，解得 x＝2. 所以 PQ＝x＋32x＝5 cm，即 PQ 的长为 5 cm.
长线上”，其他条件均不变，画图并求线段MN的长度；
解：如图①，MN＝MC－NC＝12AC－12BC＝12AB＝12×12＝6.
(3)已知线段AB，点C为直线AB外任意一点，点M，N分 别是AC，BC的中点，连接MN，画图猜想线段MN与 线段AB的数量关系(只要求画图，写出结论)．
如图②，通过度量可得 MN＝12AB.
阶段归类专训
9 ． 在 一 条 直 线 上 顺 次 取 A ， B ， C 三 点 ， 已 知 AB ＝ 5 cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求线 段BC的长．
解：①若点O在线段BC上，则OC＝OA＝AB＋OB＝6.5 cm， 所以BC＝OB＋OC＝8 cm； ②若点O在线段AB上，则OC＝OA＝AB－OB＝3.5 cm， 所以BC＝OC－OB＝2 cm.综上，线段BC的长为2 cm或8 cm.
阶段归类专训
解：当停靠站设在A住宅区时，所有员工步行到停靠站的路 程之和为30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4 500(m)．
当停靠站设在B住宅区时，所有员工步行到停靠站的路程之 和为30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m)．
当停靠站设在C住宅区时，所有员工步行到停靠站的路程之 和为30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12 000(m)．