第三章 多维随机变量及其分布
第3章 多维随机变量及其分布 (NXPowerLite)
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4
P(Y j) P(X i)P(Y j X i)
i 1
j 1, 2,3, 4
7
例2:某足球队在任何长度为 t 的时间区间内得黄牌或红牌
的次数N t 服从参数为t 的Possion分布,记Xi 为比赛进行
ti
分钟后的得牌数, i
1, 2
t2
t1
。试写出X1
10
例3:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度:
ke(2x3y), x 0,y 0
f (x, y) 0,
其他
y
•(x, y)
1 求常数k;
0
x
2求分布函数F(x, y);
3求P(Y X )的概率.
解: (1)利用 f (x, y)dxdy 1,得 - -
…
…
p•2 … p• j …
1
17
对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为 f (x, y)
X,Y的边缘概率密度为:
事实上,
fX (x) f (x, y)dy
fY (y) f (x, y)dx
FX (x) F(x, ) P(X x,Y )
y 0
x 6e(2u3v)dudv,
0
x 0, y 0
0 ,
其他
x 2e2udu
0
y 3e3vdv,
0
x
0, y
0 (1 e2x )(1 e3y ),
0 ,
其他
0,
x 0, y 0 其他
3
离散型随机变量的联合概率分布:
第3章多维随机变量及其分布
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1
o 1 2
(2,1)
返回
第三章 多维随机变量及其分布
F ( x, y ) pij
xi x y j y
1 p11 0, p12 p21 p22 3
F ( x, y ) 0
(1)x<1 或y < 1时,
(2)1≤x < 2, 1≤y < 2时, F ( x, y ) p11 0 (3)1≤x <2, y≥2时, (4)x≥2, 1≤y <2时,
或
P(Y y j ) P( X xi / Y y j )
xi x y j y
F ( x, y ) P ( X x, Y y )
p
ij
返回
第三章 多维随机变量及其分布
例3.3 一个口袋中有三个球, 依次标有数字1, 2, 2, 从中任取一个,
不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相 等. 以X, Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X, Y
出(iv)).
返回
第三章 多维随机变量及其分布
例 3.1 设随机变量(X, Y)等可能地取值:(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2,
2), 求X, Y的联合分布函数.
解: I. x < 0, 或y < 0时,
F ( x, y) P( X x, Y y) P() 0
则( X , Y )的联合分布列为
Y
X 0
1
0 0
1/15
1
2 3/15
3/15
返回
2/15
6/15
第三章 多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布.doc
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可以证明,凡满足性质(1)的任意一个二元函数f(x,y),必可作为某个二维随机变量的联合密度函数。
(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续,则
证明
(4)设G是xOy平面上的一个区域,则有
在几何上z=f(x,y)表示空间的一张曲面。由性质(1)知,介于该曲面和xOy平面之间的空间区域的体积是1。由性质(3)知, 的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。
3.1.3联合分布列
定义3.1.3若二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对(xi,yj),则称(X,Y)为二维离散型随机变量。称
,i,j=1,2,…,n,
为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列,也可用如下表格记联合分布列。
Y
联合分布列的基本性质:
(1)非负性
(2)正则性
例1盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布列和 。
解(1) 的分布函数为
(2)将 的共同分布函数 代入上式得
(3)Y的分布函数仍为上式,密度函数可对上式关于 求导得
(4)将指数分布的分布函数和密度函数代入(2)和(3)的结果中得
二、最小值分布设 是相互相互独立的n个随机变量,若 ,在以下情况下求Y的分布。(1) ~ ;(2) 同分布,即 ~ ;(3) 为连续随机变量,且 同分布,即 的密度函数为 , ;(4) ~ 。
0.216 0 0 0
二、多维超几何分布
袋中有N只球,其中有Ni只 号球, ,记 。从中任意取出n只,若记Xi为取出的n只球中 号球的个数, ,则
其中 。
例4在例3中改为不放回抽样,求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。
第3章多维随机变量及其分布
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i
j
离散型随机变量的独立性
定理3.6 设(X,Y)是二维离散型随机变量, 则X与Y相互独立,等价于 pij pi pj (独立时联合分布律等于边缘分布律的乘积)
2016/2/17 34
例3.7
(X,Y)有二维概率分布 X Y 0 1
2016/2/17 29
随机变量相互独立
定义3.6 F(x, y)是二维随机变量(X,Y) 的二维分布函数, FX(x), FY(y)分别为X,Y 的边缘分布函数. 若对任意x, y, 有
F ( x, y) FX ( x )FY ( y)
则称X与Y相互独立.
2016/2/17
30
随机变量独立与事件独立
2016/2/17 5
y y2 ( x 1 , y2 ) (x2, y2)
y1 O
(x1, y1) x1 x2
(x2, y1) x
2016/2/17
6
分布函数F(x, y)的性质
(1) 单调不减性: 对任意y R, 当x1<x2时, F(x1, y) F(x2 , y); 对任意x R, 当y1<y2时, F(x, y1) F(x , y2).
2016/2/17
19
例3.4
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 Ay, 0 y x 1 f ( x, y ) 其它 0, 1 1 (1) 求A; (2) 求 P ( X , Y ); 2 4 1 3 (3)求 P ( X Y ), P ( X Y ). 2 2 解: (1) 画出密度函数的有效定义域:
2016/2/17 2
定义3.2 设(X, Y)是二维随机变量, 对任意 (x, y)R2, 则称 F(x,y)=P(Xx, Yy) 为(X, Y)的二维分布函数, 或为X与Y的联合 分布函数. 即F(x,y)为事件(Xx)与(Yy)同时发 生的概率.
第三章 多维随机变量及其分布
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F(x, y) f (u,v)dudv ,
则称 (X ,Y) 为二维连续型随机变量, f (x, y) 称为 (X ,Y) 的概率密度或称为 X 和 Y 的联合概率密度或联合密 度函数.
(X ,Y) 的联合密度函数 f (x, y) 具有性质:
性质 1 非负性: f (x, y) 0 .
第三章 多维随机变量及其分布
在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标 上的位置,我们用定义在同一个样本空间Ω 上的 两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横 坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维 随机变量或二维随机向量(X,Y)表示.
一般地,设随机试验 E 的样本空间为 {} , X X () 和 Y Y() 分别是定义在同一个样本空间Ω 上的随 机变量,我们称向量(X,Y)为二维随机变量或二 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量.
证 对任意的 x1 x 2
因为 (X x 1 ,Y y ) (X x 2 ,Y y )
所以 P ( X x 1 ,Y y ) P ( X x 2 ,Y y ) 即 F(x1,y)F(x2,y)
同理可证,对任意的 y1 y 2
有
F(x,y1)F(x,y2)
边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 设 (X ,Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ,则
F X ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , ) y l i m F ( x , y ) F Y ( y ) P ( Y y ) P ( X , Y y ) F ( , y ) x l i m F ( x , y )
第三章-多维随机变量及其分布总结
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1 / 8第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.首先引入(X , Y )的分布函数的概念.定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1)(1)与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质:1︒ F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2︒ 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.(凡含-∞的概率分布为0) 3︒ F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).4︒ 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.注: 二元分布函数具有性质1︒~ 4︒, 其逆也成立(2︒中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1︒~ 4︒, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4︒是必不可少的, 即它不能由1︒~ 3︒推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0;111=∑∑∞=∞=i j ijp.我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=),(y x F ∑∑≤≤==x x yy j ii j yY x X P },{=∑∑≤≤x x yy iji j p这里∑∑≤≤x x yy i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..2 / 8解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=312231=⋅. 同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=31. 即(X , Y )的分布律如右表所示.当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0; 当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31; 当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 31; 当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.所以, (X , Y )的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧<≤≥⎩⎨⎧≥<≤⎩⎨⎧<≤<≤<<=.2,2,1,21,22,21,31,21,2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或 三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有⎰⎰∞-∞-=y x dudv v u f y x F ),(),(,则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.概率密度f (x , y )具有以下性质: 1︒ f (x , y ) ≥ 0; 2︒1),(),(=+∞+∞=⎰⎰∞+∞-∞+∞-F dxdy y x f3︒ 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 4︒ 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),(}),{( (2)例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.解: (1) 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得21=A . (2) ⎰⎰∞-∞-+-=yxy x dxdy e y x F )(),(=⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰+-,,0,0,0,00)(其它y x dxdy e yxy x =⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(其它y x e e y x (3) edxdy e e dxdxdy y x f Y X P xy x D21),()},{(1010-===⎰⎰⎰⎰---.3 / 8例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,20,10,3),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }. 解: P {Y ≥ X }=2417)3(),(221=+=⎰⎰⎰⎰≤xxy dy xy x dxdxdy y x f . 以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验,它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞→.我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞→.一、离散型设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则∑∑≤∞==+∞=x x j ijX i px F x F 1),()(, ∑∑≤∞==+∞=y y i ijY i py F y F 1),()(.从而X 与Y 的分布律分别为 ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …; ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, …;记=⋅i p ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, ….分别称p i ⋅和p ⋅ j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.注: 1︒ 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2︒ 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然. 二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=x X dx dy y x f x F x F ]),([),()(;⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=y Y dy dx y x f y F y F ]),([),()(.知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(;⎰∞+∞-=dx y x f y f Y ),()(.称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为4 / 8⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0,),(,1),(其它D y x Ay x f 则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度. 解: 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得A = π.当|x | < 1时, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(21112122x dy x x-==⎰---ππ; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2x x x x f X π同理可得, ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2y y y y f Y π例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解: 令m = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----222221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x2121212122121221212222)()()())((2)(σμσμρσμρσσμμρσμ-+---+----=x x x y x y2121221122)()1(σμρσμρσμ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x x y . 所以, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(=⎰∞+∞----dy e m )1(22212121ρρσπσ⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=dy e ex y x 2112222121)1(212)(221121σμρσμρσμρσπσ.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1122211σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ⋅-=, 从而, 22222)1(211212211222ρσπσρσμρσμρ-=⋅-=⎰⎰∞+∞--∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----dt edy e t x y .所以, 21212)(121)(σμσπ--=x X ex f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22222)(221)(σμσπ--=y Y e y f (+∞<<-∞y ).5 / 8表明, ),(~211σμN X , ),(~222σμN Y .此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B )由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义 设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤==≤}{},{limx x X x P x x X x y Y P x ∆+≤≤∆+≤≤≤=→∆),(),(),(),(lim0+∞-+∞∆+-∆+=→∆x F x x F y x F y x x F x)()()()()()()()(lim0+∞-+∞∆+-∆+=→∆Y X Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()()]()([lim 0x F x x F y F x F x x F XX Y X X x -∆+-∆+=→∆= F Y (y ) =P {Y ≤ y }.这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布. 一、离散型设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …),(X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为=⋅i p ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, ….则X 和Y 相互独立的充要条件是P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =⋅i p j p ⋅(2)二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f6 / 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0.例4 若(X , Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-,,0,0,0,),()(其它y x e y x f y x 则X 和Y 相互独立.证: 显然⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X ⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎩⎨⎧≥=-,,0,0,5)(5其它y e x f y Y 试求: (1) X 与Y 的联合概率密度; (2) P {Y ≤ X }.解: (1) 由已知条件, 得⎩⎨⎧≤≤=,,0,2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≤≤=-.,00,2.00,25),(5其它y x e y x f y (2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }⎰⎰≥-=0),(y x dxdy y x f ,积分区域如图, 化成二次积分后得⎰⎰≈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤-2.00103679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x .以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞--n n x x x n n dx dx dx x x x f 112121),,,(,则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X dx dx dx x x x f x f32211),,,()(1, ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X X dx dx dx x x x f x x f432121,),,,(),(21, …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n =, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.7 / 8定理 设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.第三节、条件分布离散型:在已知X=x i 的条件下,Y 取值的条件分布为;•===i ij i j p p x X y Y P )|( 在已知Y=y j 的条件下,X 取值的条件分布为,)|(jij j i p p y Y x X P •===连续型:在已知Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为)(),()|(y f y x f y x f Y =;在已知X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为)(),()|(x f y x f x y f X =例3.9: 设二维连续型随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,其中},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D 求X 的边缘密度()X f x 和X 的边缘密度()Y f y解:1,(,)20,.Df x y ⎧⎪=⎨⎪⎩其他111111,10;21()(,)1,01;20,.x x x X x dy x x f x f x y dy dy x x +--+∞+-∞-⎧=+-<<⎪⎪⎪===-<<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰-其他例3.10 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布()P λ,每个顾客购买某种商品的概率为p ,并且每个顾客是否购买某种商品相互独立,求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y 的分布列。
第3章多维随机变量及其分布
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f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中,1、2为实数,1>0,2>0, | |<1,则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布,可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量,称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D:x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时, F(x1, y) F(x2 , y); 对任意x R, 当y1<y2时, F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
第三章多维随机变量及其分布
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第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中,需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如,考查某地区学龄前⼉童发育情况,对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查,需要同时观察他们的⾝⾼和体重,这样,⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如,考察礼花升空后的爆炸点,此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中,我们将引⼊多维随机变量的概念,并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布,并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间,X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量,则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此,逐个讨论X和Y的性质是不够的,需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似,我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量,x,y为任意实数,事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数,记作F(x,y),即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标,则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率(见图3-1)。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰(见图3-2)分布函数F (x,y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x,y)≤1.对于任意固定的x和y,有(2) F (x,y)是变量x或y的单调不减函数,即对任意固定的y,当x2 ≥x1时,;对任意固定的x,当y2 ≥y1时,。
第三章 多维随机变量及其分布
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求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
1. 3
y
y x
o
x
四、小结
在这一节中,我们与一维情形相对照,介绍了 二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分 布律以及连续型随机变量的概率密度函数.
例 已知二维随机变量(X,Y)的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
解答 PX Y 4 X 1
4
PX Y 4, X 1
2
PX 1
12
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
3 8 18
第二节 边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 小结
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
第3 多维随机变量及其分布
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记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
17 May 2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
二、多维超几何分布
口袋中有 N 只球,分成 r 类 。 第 i 种球有 Ni 只, N1+N2+……+Nr = N. 从中任取 n 只, 记 Xi 为取出的n 只球中,第i 种球的只数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
第三章 多维随机变量及其分布
第15页
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
(正则性)
注意: P(X ,Y ) D p(x, y)dxdy
D
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第三章 多维随机变量及其分布
第16页
3.1.5 常用多维分布
一、多项分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar
例3.1.2 设随机变量 Y ~ N(0, 1),
求
X1
0, 1,
|Y |1, |Y |1
X2
0, 1,
|Y | 2 |Y | 2
的联合分布列.
解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下:
P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
§3.1 多维随机变量及其联合分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1
概率论与数理统计讲义第三章 多维随机变量及其分布
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第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义:随机试验的样本空间为S={ω},若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S上,则称(X1(ω),X2(ω),…,X n(ω))为n维随机变量(向量)。
简记为(X1,X2,…,X n)。
二维随机向量(X,Y),它可看作平面上的随机点。
对(X,Y)研究的问题:1.(X,Y)视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度;Joint2.分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度;marginal3.X与Y的相互关系;4.(X,Y)函数的分布。
§ 3.1 二维随机变量的分布一.离散型随机变量1.联合分布律定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i,j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i, j=1,2,…——(3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。
(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下:性质:(1) p ij ≥ 0,i, j=1,2,… (2) ∑ji ij p ,=12.边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律,简称为(X,Y)的边缘分布律。
二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系: p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij (3.4) 同理可得 p .j =i∑p ij(3.5)例1:一整数X 随机地在1,2,3三个整数中任取一值,另一个整数Y随机地在1到X中取一值。
第3章多维随机变量及其分布-精选文档
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1 x y l i m( a r c t a n ) ( a r c t a n ) 2 x 2 22 2 1 y ( a rc ta n ). 2 2
二. 离散型随机向量的概率分布
定义:如果二维随机向量(X,Y)的可能取值是有 限组或可列无限组 ( xi , y j ), i, j 1, 2, ,则称(X,Y)为二 维离散型随机向量,将(X,Y)取每组值的概率
一. 随机向量及其分布函数
是定义在概率空间 (, P) 上的 定义1 设 X ,X X 1 2,... n ,X ,... X , P) 上的一个 n个随机变量,则称 (X 1 2 n)是 ( n维随机向量。 ,X ,... X , P) 上的一个n维随机向量, 定义2 设 (X 1 2 n)是 ( 则称n元函数
y
(x1,y2) Ⅲ Ⅰ o Ⅱ
(x2,y2)
Ⅳ
(x1,y1)
(x2,y1)
x
二维随机向量联合分布函数的性质
F(x, y)有以下性质 : ( 1 ) 0 F ( x , y ) 1 ; ( 2 ) F ( x ,y ) 关于 x 和 y 均单调非减 ,右连续 ;
( 3 ) F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 ,
一般地,设随机试验 E 的样本空间为 {} , X X ( ) 和 Y Y () 分别是定义在同一个样本空间 Ω 上的随 机变量,我们称向量(X,Y)为二维随机变量或二 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量.
F ( x , x ,..., x ) P { X x , X x ,..., X x } 1 2 n 1 1 2 2 n n
第3章 多维随机变量及其分布
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例1 已知的联合密度为,求的密度函数。 解 先求的分布函数:由分布函数的定义知对任意有,由于事件等价 于事件,于是,所以(由图2—6)
图2-6 在积分中,和是固定的,令,则得 由概率密度的定义 , 由于的对称性,也有 。 上两式为的密度函数的一般公式。
特别当相互独立时,由于对一切都有,此时的密度函数的公式为: 或。
例1[二维均匀分布] 设为二维随机变量,是平面上的一个有界区 域,其面积为,又设,可验证满足概率密度的基本性质,我们称由这个 密度函数确定的分布为二维均匀分布。
例2[二维正态分布]设
() 其中都是常数,且。
可以证明满足概率密度的两条基本性质,因此确定了一个二维随机 变量的分布,我们称由这个密度函数所确定的分布为二维正态分布,记 为。
图2-4 解 (1)
=,所以; (2); (3)关于的边缘分布密度函数为 当时,=0. 当时, 故有
=; 同理可求得关于的边缘分布密度函数为
=. 因为对任意的实数,都有 ,所以相互独立。
例 2.16 设服从域(如图2—5)上的均匀分布,求关于和关于的边 缘分布,并判断是否相互独立。
解 由均匀分布的定义,的联合分布密度函数为
定义 2.5 :设为随机试验的样本空间,,是定义在上的随机变量,则 称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。
定义 2.6:设是二维随机变量,对于任意实数,称二元函数为二维随 机变量的联合分布函数。
如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点,那末分布函数 在()处的函数值就是随机点落在以点()为顶点而位于该点左下方的 无穷矩形域内的概率。
2.二维随机变量联合分布函数的性质: (1) ; (2) 是变量的单调不减函数,即:对于任意固定的,当时有 ;对于任意
第3章 多维随机变量及其分布
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0,
x 0, y 0,求(1)A ? 其它
(2)( X ,Y )的联合分布函数; (3)P{Y X }; (4)P{ X 1}.
解(1)由 f ( x, y)dxdy 1,得
y
1=
f ( x, y)dxdy=
dx
Ae (2 x y)dy
0
0
O
x
A
e2 xdx
(X1, X2, , Xn) 本章主要以二维随机变量 ( X ,Y ) 为例进行讨论。
3
第一节 二维随机变量的联合分布
1、联合分布函数
定义1 设( X ,Y )是二维随机变量, 对于任意实数x, y, 称二元函数
F ( x, y) P{X x,Y y}
为二维随机变量( X ,Y )的分布函数或X和Y的联合分布函数。
(乘法公式)
P{Y y j }P{ X xi Y y j };
(2) ( X ,Y )的联合分布函数为F ( x, y) P{ X x,Y y} p ij xi x y j y
8
例1 箱子中有10张彩票,其中3张可中奖,甲乙二人先后各抽取
一张彩票,定义两个随机变量X ,Y:
则称( X ,Y )是连续性二维随机变量,并将f ( x, y)称为( X ,Y )的联
合概率密度函数.
概率密度f ( x, y)的性质:
(1) f ( x, y) 0;
(2)
f ( x, y)dxdy F (, ) 1;
10
(3)若f ( x, y)连续, 则F ( x, y)偏导存在且 2F ( x, y) f ( x, y); xy
0
e ydy
0
e2 x
A
2
0
(ppt) 第三章 多维随机变量及其分布
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D
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章 多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示 随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域 内的概率.
14 August 2013
第三章 多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y
x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
18
联合概率密度函数的基本性质
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对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2, y1<y2 ),则 P{x1<X x2, y1<yy2 }
=F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1).
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x2, y1)
分布函数F(x, y)具有如下性质:
P{X (,Y)G }f(x,y)dx.dy
G
例设
1 0x1,0y1
(X,Y)~f(x,y) 0
others
求:P{X>Y}
P{XY}1dxx1dy1
00
2
例设
A(e 2x3y),x0,y0
(X,Y)~f(x,y)
0,其它
求:(1)常数A;(2) F(1,1);
(3) (X, Y)落在三角形区域D:x0, y0, 2X+3y6
(X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,(i, j=1, 2, … ),
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... P1j ... x2 p21 p22 ... P2j ...
xi
pi1 pi2 ... Pij 二次摸到白球
Y X
1
0
11
3
10 10
03
3
P52 23 P P{{X X10,,YY01}}3P522 P52
P{X0,Y0}P32 P52
10 10
四.二维连续型随机变量及其密度函数
1、定义
对于二维随机变量(X, Y),若存在一个非负 可积函数f (x, y),使对(x, y)R2,
xy
其分布函数 F(x,y) f(u,v)dud,v
则称 (X, Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)为
(X, Y)的密度函数(概率密度),或X与Y的联合密 度函数,可记为
(X, Y)~ f (x, y), (x, y)R2
2、联合密度f(x, y)的性质
(1)非负性: f (x, y)0, (x, y)R2;
二. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量,(x, y)R2, 则称 F(x,y)=P{Xx, Yy}
为(X, Y)的分布函数,或X与Y的联合分布函数。
几何意义:分布函数F( x0 , y0 ) 表示随机点(X,Y)落在区域
x ,y , x x 0 , y y 0
中的概率。如图阴影部分:
(2)归一性: f (x, y)dxdy1; --
反之,具有以上两个性质的二元函数f (x, y),必 是某个二维连续型随机变量的密度函数。
此外,f (x, y)还有下述性质
(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续,则有
2F(x,y) f(x,y); xy
(4)对于任意平面区域G R2,
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量函数的分布
3.1 二维随机变量的联合分布
一、 多维随机变量
1.定义(p41)将n个随机变量X1,X2,...,Xn构 成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为 n维随机变量。
一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐 标多维随机变量的研究方法也与一维类似,用分 布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律
2
F ( , y ) A [ B ]C [ ar (y c ) t ]0 g
2
3
F ( x ,) A [ B ar (x c )C ] t g [ ] 0
2
2
BC
2
A12
P { 0 X 2 ,0 Y 3 } F ( 0 ,0 ) F ( 2 ,3 ) F ( 0 ,3 ) F ( 2 ,0 ) 1 16
(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,
且 F( , )lim F(x,y)1 x y F (, )lim F (x,y)0 x y F( , y) limF(x, y) 0 x
F (x ,) lim F (x ,y ) 0
y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时, F(x1, y) F(x2 , y); 对任意x R, 当y1<y2时, F(x, y1) F(x , y2).
... ...
... ... ... ... ... ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j=1, 2, … ;
(2) pij=1
i1 j1
例 袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二 次, 令
1 第一次摸到红球 ,求(X,Y)的分布律。
X 0 第一次摸到白球
P{X1,Y1}P22
(3)右连续 对任意xR, yR,
F (x ,y 0 0 ) y l y i0 F m (x ,y ) F (x ,y 0 ).
F (x 0 0 ,y ) x l x i0 F m (x ,y ) F (x 0 ,y );
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2, y1<y2 ), F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1)0.
内的概率。
解(1)由归一性
f(x,y)dxdy A e(2x3y)dxdy1
- -
00
A6
1
(2)F (1 ,1 ) 16e (2x 3y)dxd (1 y e 2)1 (e 3) 0 0
三.联合分布律
若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j=1, 2, … ),则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij, 则称 P{X=xi, Y= yj,}= pij , (i, j=1, 2, … ),为二维离散型随机变量(X, Y)的分 布律,或随机变量X与Y的联合分布律. 可记为
反之,任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。
例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x,y)A [Bar(c x)t]C g [ar(c y)t]g
2
3
1)求常数A,B,C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解:
F( , )A [B]1