量子力学第五章-全同粒子
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（ S q1 , q2 ) C [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )] （ A q1 , q2 ) C [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )]
显然 S (q1,q2) 和 A (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆 为 ：
E i j
所以
1
2 1
1
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
E（q1 , q2 )
粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：
E i j （q2 , q1 ) i (q2 ) j (q1 )
状态 （q1 , q2 )和 （q2 , q1 ) 能量是简并的，由于这 两种 状态可通过 q1 q2 互换得到， 故称该简并为交换简并 。
位置 轨道 速度
2 1 2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。
（3）微观粒子的不可区分性 服从 用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的
（4）基本假设5：全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不引起体 系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
即：
ˆ (q , q , q q q , t ) H ˆ (q , q , q q q , t ) H 1 2 j i N 1 2 i j N
表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，交 换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。
（2）对称和反对称波函数
（二）波函数的对称性质
（1）Hamilton 算符的对称性
调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
2 N 2 ˆ (q , q , q q q , t ) H i U ( q i , t ) V ( q i , q j ) 1 2 i j N 2 i 1 i j 其中 qi {ri , si } 为第i个粒子的坐标和自旋。 N
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性 是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子。 如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。 （2）Fermi 子 自旋为 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。 例如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。
V. S 和 A 的归一化
首先 证明 若单粒子波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的。
证：
* （ q1 , q2 )（q1 , q2 )dq1dq2
* * （ （ q1 ) j (q2 )dq1dq2 i q1 ) j ( q2 ) i
引入粒 子坐标 交换算 符
ˆ ( i , j ) ( j , i ) ( i , j ) ij ˆ 2 ( i , j ) ˆ ˆ ij ij ij ( i , j ) ˆ ( i , j ) 2 ( i , j ) ij
所以
1，
(q1 , q2 ,q j qi q N , t ) (q1 , q2 ,qi q j q N , t )
再做一次（q i , q
j
) 调换
2 (q1 , q2 , qi q j q N , t )
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
III. 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：
E i j （q1 , q2 ) i (q1 ) j (q2 ) ˆ （q , q ) E（q , q ) H
1 2 1 2
验证：
ˆ (q ) H ˆ (q )]（q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) [H 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ (q , q ,q q q , t )(q , q ,q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 j i N
i
表明： （q 根据全同 性原理：
, q
j
) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。 描写同一状态。 因此，二者相差一常数因子。
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
* * （ q ) （ q ) dq i 1 i 1 1 j (q2 ) j (q2 )dq2 1
同理，
而
* （ q2 , q1 )（q2 , q1 )dq1dq2 1
* （ q2 , q1 )（q1 , q2 )dq1dq2
* * （ （ q1 ) j (q2 )dq1dq2 i q2 ) j ( q1 ) i
ˆ 本征值 对称波函数是 ij
1的本征态；
ˆ 本征值 反对称波函数是 ij
1的本பைடு நூலகம்态。
（三）波函数的交换对称性不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是 对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永 远是反对称的。
证
方法 I ：
ˆ (q ) (q )] (q ) (q )[ H ˆ (q ) (q )] [H 0 1 i 1 j 2 i 1 0 2 j 2
i i (q1 ) j (q2 ) j i (q1 ) j (q2 ) ( i j ) i (q1 ) j (q2 )
II . 单粒子波函数
ˆ 对全同粒子是一样的， H 0 设其不显含时间，则 ˆ（q ) ( q ) ( q ) H 0 1 i 1 i i 1 ˆ（q ) ( q ) ( q ) 0 2 i 2 i i 2 H
i (qn ), (n 1,2.)
称为单粒子波函数。
* * （ q ) （ q ) dq j 1 i 1 1 i (q2 ) j (q2 )dq2 0
同理，
证毕
* （ q1 , q2 )（q2 , q1 )dq1dq2 0
考虑S 和 A 归一化
1
S S dq1dq2
*
* * C 2 [ （ q1 , q2 ) （ q2 , q1 )][ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )]dq1dq2
二对称波函 数之和仍是 对称的
对称
对称
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a ，在t 以后任何时刻都是反对称的。
方法 II：
ˆ 0 ˆ ,H ij
全同粒子体系哈 密顿量是对称的 结论：
ˆ 是守恒量，即 ij
交换对称性不随时间改 变。
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对 称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上， 则它将永远处于对称（或反对称）态上。
设全同粒子体系波函数 s 在 t 时刻是对称的，由体系 哈密顿量是对称的，所以 H s 在t 时刻也是对称的。
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Shrodinger方程 ˆ i s H 中式右的 s 是对称的。 s t t 在 t+dt 时刻，波函数变化为 s s dt t
i
) 调换，得：
(q1 , q2 , q j qi q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 由于Hamilton 1 2 j i N 1 2 j i N
量对于（q i , q j ) 调换 不变
例如： 例如：
3 1
奇数个 Fermi子组成
奇数个 Fermi子组成
全同粒子体系波函数 Pauli 原理
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
（一）2 个全同粒子体系波函数
（1）对称和反对称波函数的构成 I. 2 个全同粒子体系Hamilton 量
2 2 2 ˆ H 1 2 2 V ( q1 ) V ( q2 ) 2 2 ˆ (q ) H ˆ (q ) H 0 1 0 2
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒 子 如： 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完 全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。 偶数个 Fermi 子组成
Bose 子组成
2 1 4 H （氘核）和 （ Bose子 1 2 He 2 粒子）是 3 H （氚核）和 1 2 He1 是Fermi 子
i
考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 i j N
j
将方程中（q i ,q
IV. 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而 (q1,q2) 和 (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数； 当 i j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。 所以 (q1,q2) 和 (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数： C 为归一化系数
* * C 2 [ （ q1 , q2 ) （q1 , q2 ) （ q2 , q1 ) （q1 , q2 ) * * （ q1 , q2 ) （q2 , q1 ) （ q2 , q1 ) （q2 , q1 )]dq1dq2
1 2 1 则归一化的 S： （ q , q ) [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )] S 1 2 2 1 同理，归一化的 A： （ [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )] A q1 , q2 ) 2 C 2 [1 0 0 1] 2C 2 C
第五章 全同粒子的特性
（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化 （四）Fermi 子和 Bose 子
（一）全同粒子和全同性原理
（1）全同粒子
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。 因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的 位置和速度。 1
显然 S (q1,q2) 和 A (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆 为 ：
E i j
所以
1
2 1
1
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
E（q1 , q2 )
粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：
E i j （q2 , q1 ) i (q2 ) j (q1 )
状态 （q1 , q2 )和 （q2 , q1 ) 能量是简并的，由于这 两种 状态可通过 q1 q2 互换得到， 故称该简并为交换简并 。
位置 轨道 速度
2 1 2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。
（3）微观粒子的不可区分性 服从 用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的
（4）基本假设5：全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不引起体 系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
即：
ˆ (q , q , q q q , t ) H ˆ (q , q , q q q , t ) H 1 2 j i N 1 2 i j N
表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，交 换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。
（2）对称和反对称波函数
（二）波函数的对称性质
（1）Hamilton 算符的对称性
调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
2 N 2 ˆ (q , q , q q q , t ) H i U ( q i , t ) V ( q i , q j ) 1 2 i j N 2 i 1 i j 其中 qi {ri , si } 为第i个粒子的坐标和自旋。 N
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性 是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子。 如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。 （2）Fermi 子 自旋为 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。 例如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。
V. S 和 A 的归一化
首先 证明 若单粒子波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的。
证：
* （ q1 , q2 )（q1 , q2 )dq1dq2
* * （ （ q1 ) j (q2 )dq1dq2 i q1 ) j ( q2 ) i
引入粒 子坐标 交换算 符
ˆ ( i , j ) ( j , i ) ( i , j ) ij ˆ 2 ( i , j ) ˆ ˆ ij ij ij ( i , j ) ˆ ( i , j ) 2 ( i , j ) ij
所以
1，
(q1 , q2 ,q j qi q N , t ) (q1 , q2 ,qi q j q N , t )
再做一次（q i , q
j
) 调换
2 (q1 , q2 , qi q j q N , t )
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
III. 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：
E i j （q1 , q2 ) i (q1 ) j (q2 ) ˆ （q , q ) E（q , q ) H
1 2 1 2
验证：
ˆ (q ) H ˆ (q )]（q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) [H 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ (q , q ,q q q , t )(q , q ,q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 j i N
i
表明： （q 根据全同 性原理：
, q
j
) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。 描写同一状态。 因此，二者相差一常数因子。
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
* * （ q ) （ q ) dq i 1 i 1 1 j (q2 ) j (q2 )dq2 1
同理，
而
* （ q2 , q1 )（q2 , q1 )dq1dq2 1
* （ q2 , q1 )（q1 , q2 )dq1dq2
* * （ （ q1 ) j (q2 )dq1dq2 i q2 ) j ( q1 ) i
ˆ 本征值 对称波函数是 ij
1的本征态；
ˆ 本征值 反对称波函数是 ij
1的本பைடு நூலகம்态。
（三）波函数的交换对称性不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是 对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永 远是反对称的。
证
方法 I ：
ˆ (q ) (q )] (q ) (q )[ H ˆ (q ) (q )] [H 0 1 i 1 j 2 i 1 0 2 j 2
i i (q1 ) j (q2 ) j i (q1 ) j (q2 ) ( i j ) i (q1 ) j (q2 )
II . 单粒子波函数
ˆ 对全同粒子是一样的， H 0 设其不显含时间，则 ˆ（q ) ( q ) ( q ) H 0 1 i 1 i i 1 ˆ（q ) ( q ) ( q ) 0 2 i 2 i i 2 H
i (qn ), (n 1,2.)
称为单粒子波函数。
* * （ q ) （ q ) dq j 1 i 1 1 i (q2 ) j (q2 )dq2 0
同理，
证毕
* （ q1 , q2 )（q2 , q1 )dq1dq2 0
考虑S 和 A 归一化
1
S S dq1dq2
*
* * C 2 [ （ q1 , q2 ) （ q2 , q1 )][ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )]dq1dq2
二对称波函 数之和仍是 对称的
对称
对称
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a ，在t 以后任何时刻都是反对称的。
方法 II：
ˆ 0 ˆ ,H ij
全同粒子体系哈 密顿量是对称的 结论：
ˆ 是守恒量，即 ij
交换对称性不随时间改 变。
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对 称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上， 则它将永远处于对称（或反对称）态上。
设全同粒子体系波函数 s 在 t 时刻是对称的，由体系 哈密顿量是对称的，所以 H s 在t 时刻也是对称的。
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Shrodinger方程 ˆ i s H 中式右的 s 是对称的。 s t t 在 t+dt 时刻，波函数变化为 s s dt t
i
) 调换，得：
(q1 , q2 , q j qi q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 由于Hamilton 1 2 j i N 1 2 j i N
量对于（q i , q j ) 调换 不变
例如： 例如：
3 1
奇数个 Fermi子组成
奇数个 Fermi子组成
全同粒子体系波函数 Pauli 原理
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
（一）2 个全同粒子体系波函数
（1）对称和反对称波函数的构成 I. 2 个全同粒子体系Hamilton 量
2 2 2 ˆ H 1 2 2 V ( q1 ) V ( q2 ) 2 2 ˆ (q ) H ˆ (q ) H 0 1 0 2
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒 子 如： 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完 全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。 偶数个 Fermi 子组成
Bose 子组成
2 1 4 H （氘核）和 （ Bose子 1 2 He 2 粒子）是 3 H （氚核）和 1 2 He1 是Fermi 子
i
考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 i j N
j
将方程中（q i ,q
IV. 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而 (q1,q2) 和 (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数； 当 i j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。 所以 (q1,q2) 和 (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数： C 为归一化系数
* * C 2 [ （ q1 , q2 ) （q1 , q2 ) （ q2 , q1 ) （q1 , q2 ) * * （ q1 , q2 ) （q2 , q1 ) （ q2 , q1 ) （q2 , q1 )]dq1dq2
1 2 1 则归一化的 S： （ q , q ) [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )] S 1 2 2 1 同理，归一化的 A： （ [ （q1 , q2 ) （q2 , q1 )] A q1 , q2 ) 2 C 2 [1 0 0 1] 2C 2 C
第五章 全同粒子的特性
（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化 （四）Fermi 子和 Bose 子
（一）全同粒子和全同性原理
（1）全同粒子
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。 因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的 位置和速度。 1