关于大数定律的教学思考

关于大数定律的教学思考作者：郭闪闪
来源：《科教导刊·电子版》2020年第21期
摘要：大数定律揭示了随机变量频率的稳定性，是概率论的精华。

由于本节内容比较抽象，理论性较强，学生在学习过程中不容易理解，本文尝试从生活实例出发，逐步介绍大数定律内容，对大数定律本质进行探讨。

关键词：大数定律;随机变量;频率;稳定性
中图分类号：G642.4 ;;;;文献标识码：A
在大量重复性试验中，人们观察到，随机事件发生的频率稳定在一个具体数值附近。

比如说，对于抛硬币试验，如果向上抛一枚硬币，硬币落下后，可能是朝上，也可能是朝下，但是当抛硬币试验重复多次进行时，就会发现硬币朝上和硬币朝下发生的次数各占总次数的一半。

大数定律从数学角度出发揭示了随机变量频率的稳定性，具体研究了稳定性的确切含义以及出现的条件。

1大数定律的起源
研究随机变量频率的稳定性，类似于利用数学分析中极限的思想。

在不改变试验条件下，当试验次数无限增大时，讨论频率是否逐渐稳定，由此得到概率的定义。

在重伯努利试验中，当试验次数充分大，频率趋近于一个稳定数值，也就是概率，即，与有较大偏差的发生的可能性非常小，这就是频率稳定性的真正含义。

用数学语言描述，就可以得到下述伯努利大数定律。

伯努利大数定律：设表示重伯努利试验中事件发生的次数，为事件在每次试验中发生的概率，则对任意的，有
（2）
成立。

证明：可以借助切比雪夫不等式进行证明，详见文献[2]第六章。

伯努利大数定律是历史是第一个研究频率稳定性的定理。

在实际推断中，当试验次数很大时，我们可以借助伯努利大数定律用频率来近似表示事件概率。

2弱大数定律
伯努利大数定律中随机变量的期望和方差都存在，对于更一般的情形，比如对于独立同分布的序列，只知道期望存在的条件下，仍然可以考虑频率稳定性问题，称为弱大数定律（辛钦大数定律）。

弱大数定律（辛钦大数定律）：设为一列随机变量组成的序列，它们之间相互独立的，且服从同一分布，若数学期望，存在，则对任意的，有
（3）
成立，其中表示前项的算术平均值。

证明：详见文献[2]第六章。

辛钦大数定律给出了近似求解随机变量数学期望的方法。

實际生活中经常用算术平均值去估计随机变量的均值。

如：用观察到的某地区5000个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值。

3大数定律举例
例：用仪器检测已知物体的质量，经过次独立测量，得到的测量数据分别为，假设仪器不存在误差，问：当充分大时，仪器测量方差的值是否可取为？
解：设为独立同分布的随机变量，具有数学期望与方差
，，
若仪器不存在误差，则，即有. 记
，
则为独立分布的随机变量，且
，
由辛钦大数定律定律，可得
从而当充分大时，可以取作为仪器测量的方差。

4结语
大数定律揭示了随机事件中偶然现象背后所隐藏的必然规律，是概率论与数理统计中非常重要的内容。

除了伯努利大数定律和辛钦大数定律之外，还有泊松大数定律、切比雪夫大数定律以及马尔可夫大数定律。

通过学习大数定律，掌握其本质思想，有助于解决一些实际问题。

作者简介：郭闪闪（1991.05—）女，汉族，河南周口人，重庆师范大学讲师，博士，研究方向：偏微分方程。

参考文献
[1]刘倩.大数定律的教学设计[J].高师理科学刊，2015（35）.
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第4版）[M].高等教育出版社，2008.
[3]李贤平.概率论基础（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
[4]邱志平.大数定律教学设计探究[J].高等教育教学，2016.。