第三章+线性规划的对偶问题

•价格应该是非负的 minW=36y1+40y2 +76y3
5
设备
A B C 利润（元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
可供台时数
36 40 76
由此可得两个对称的线性规划：
maxZ=32x1 +30x2
3x1 +4x2 36
59xx11
+4x +8x
2 2
40 76
x1 0,x2 0
目标函数变量系数 约束条件右端项
15
例2 写出下列线性规划的对偶问题
maxZ= 5x1+4x2 +6x3
x1 +2x2 2
-3xx11
+2x
2
+ x3 +x3
3 -5
x1 -x2 +x3 =1
x1
0,x 2
0,x
无约束
3
解：对偶规划： minW=2y1+3y2 -5y3+y4
y1 + y2 -3y3 +y4 5
23
定理5：互补松弛定理
如果 X , Y分别是原问题(min)和对偶问题（max)的可行解，那么 和 为最X 优解Y的充要条件是
通常称
YT (AX-b)=0 ,为(A互T补Y松-弛C条)T件X。=0
YT (AX-b)=0 , (AT Y-C)T X=0
证明：充分性
YT (AX-b)=0 ,YT AX=YT b (YT A-CT )X=0 ,YT AX=CT X
x1 x2
3 4
36
5 9
4 8
x1 x2
பைடு நூலகம்
40 76
x1 x2
0
y1
minW=(36,40,76)
y2
y3
3 4
5 4
9 8
y1 y2 y3
32 30
y1
y2
0
y3
7
对偶线性规划
考虑如下具有不等式约束的线性规划问题
第三章 线性规划的对偶问题
对偶线性规划 对偶定理 对偶单纯形法
1
第一节 对偶问题
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个与之相对应 的线性规划问题，如果前者称为原始问题，后者 就称为“对偶”问题。
对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述 其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在 求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线 性规划的最优解，反之亦然。
若 X是原（极小化）问题的可行解， Y 是对偶（极大化）问题的可
行解，那么 CT X bT Y
证明：因为 Y 是对偶问题的可行解，所以满足约束条件
Y 0，AT Y C
又因为 是原问题的可行解，可得
X
，X 0 A,X b
所以
CT X
T
X C
T
X
AT。Y
(AX)T Y bTY
注：原（极小化）问题的最优目标函数值以对偶问题任一 可行解的目标函数值为下界。
• （3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
• （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
其他形式问题的对偶
min f=CTX
s.t.
AX≥b
X
≥0
min f=CTX
s.t.
AX=b
X
≥0
min f=CTX
s.t.
AX≤b
X
≥0
max z=bTY s.t. ATY≤C
y "k
……………
am1x1 am2 x2 amn xn bm
ym
则 DP 为 max w b1y1 bk y 'k bk y"k bm ym
s.t.
a11 y1 ak1 y 'k ak1 y "k am1ym c1
a1l y1 akl y 'k akl y "k aml ym cl
证明：设原问题为
对偶问题为
minZ=CT X
AX b 改写对偶问题为 X 对0偶问题的对偶为
maxW=bT Y ATY C Y 0
min-W=-bT Y -AT Y -C Y 0
max-Z=-CT X minZ=CT X
-AX -b X 0
AX b X 0
18
定理2：弱对偶定理
设 y1,y分2别, y为3 设备A，B，C每台时的租价，
•约束条件：把设备租出去所获得的租金不应低于利用这些设备自行生 产所获得的利润
3y1 +5y2 +9y3 32 4y1 +4y2 +8y3 30 •目标函数：所获租金总额尽y量1 少0．,（y2价格0应,y该3尽量0低，这样，才能有
竞争力）
ak1x1 ak 2x2 akn xn bk
y "k
am1x1 am2 x2 amn xn bm
ym
x1, x2, , xn 0
9
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
y1
……………
ak1x1 ak 2 x2 akn xn bk
y 'k
ak1x1 ak 2x2 akn xn bk
a1n y1 akn y 'k akn y "k amn ym cn y1, , y 'k , y"k , , ym 0
令 yk y 'k y"k ，则 yk 为自由变量。
10
推论：若线性规划问题（LP）的第k(1 k m)个变量 yk 为
自由变量，则其对偶线性规划（DP）的第个约束为等式约束。
解：上述问题的对偶规划：
maxW=4y1-2y2 +6y3
2y1 －3 y2＋2y3 9
y1 －y2
+2y3 6
－4y1＋ y2 +y3 －3
y1 0, y2自由变量, y3 0
17
第二节 对偶定理
本节讨论几条重要的对偶定理，这些定理揭示了原始问题的解和对偶问题
的解之间的基本关系。
定理1：（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的 理论，是线性规划理论的重要内容之一。
对偶线性规划
对偶问题的提出
例1、某工厂生产甲,乙两种产品，这两种产品需要在A,B,C三种不同设备上 加工。每种甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时，它们销售后所能获 得的利润，以及这三种设备在计划期内能提供的有限台时数均列于表。试 问如何安排生产计划，即甲,乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获得利 润达到最大。
证明：等式约束等价于
ak1x1 ak 2 x2 akn xn bk
则 LP 为
ak1x1 ak 2x2 akn xn bk m i nz c1x 1 c 2x 2 cnxn
s.t. a1 1x 1 a 1x2 2 a n x1n b 1 y 1
ak1 x1 ak 2 x2 ak n xn bk ' y k
约束条件个数：m个
第i个约束条件 (i 1, 2, m)
变量个数：n个
（第j j个1，变2，量nx）j 无 00约束
对偶问题（或原问题）
目标函数minW 变量个数：m个
（第i i个1，变2，量myi）无 00约束
约束条件个数：n个
第j个约束条件 （j 1，2， n）
约束条件右端项 目标函数变量系数
X* =
(
4
,
8)
(元)
maxZ=282
2
9x1 +8x2 76
3
3
x1 0,x2 0
即在计划期内甲产品生产 吨，4乙产品生产8吨，可以使总利润达到最大，
为 元。
3 2
282
3
4
现在从另一个角度来考虑该工厂的生产问题: 假设该厂的决策者打算不再自己生产甲,乙产品，而是把各种设备的 有限台时数租让给其他工厂使用，这时工厂的决策者应该如何确定各种 设备的租价。
证明：设 X 是原问题(min)的最优解，则对应的基Ｂ必有
CT
-C
T B
B-1
A
0
。
若定义 Y=CBTB-1，则 AT Y C ，
因此 Y=CBTB-1为对偶问题的可行解，而且 CT X=CBTB-1b=YTb，由 最优性定理， Y=CBTB是-1对偶问题的最优解。
21
定理4：设 X 满足原问题(min)的最优性条件的一个基本解， 则其对应的线性规划问题(min)的检验数对应对偶问题的一
X
b -b
X 0
(AT
,-AT
)
Y1 Y2
=AT
(Y1 -Y2
)
C
Y1 0,Y1 0
若令 Y=Y1-Y2线性规划标准型
的对偶规划为： maxW=bTY
ATY C
Y无约束 12
对偶问题的特点
• （1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
• （2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
x1 +2x2 2
x1 -
x2 3
解：原问题的对偶问题为：
minW=2y1+3y2 +5y3 +2y4 +3y5
y1+y2 +2y3 +y4 +3y5 4
2y1 -y2 +3y3 +y4 + y5 3
由yi对偶0,问i=题1,最2,优3,解4,5
minZ=CT X AX b X 0
可以得到另一个线性规划：
maxW=bTY ATY C Y 0
称之为原线性规划问题的对偶问题，
8
定理：若线性规划问题（LP）的第k(1 k m)个约束为等式
约束，即
ak1x1 ak 2 x2 akn xn bk
则其对偶线性规划（DP）的第k 个变量 yk 为自由变量。
Y ≥0
max z=bTY s.t. ATY≤C
Y ：unr
max z=bTY s.t. ATY≤C
Y ≤0
对偶线性规划的求法
从任何一个线性规划出发，都可以求出相应的对偶规划，在实际求
解过程中，通常不通过求标准型，而是利用如下反映原始问题与对偶问 题对应关系的原始─对偶表：
原问题（或对偶问题）
目标函数maxZ
11
线性规划问题标准型的对偶问题
minZ=CT X
考虑一个标准形式的线性规划问题
AX=b
X 0
由于任何一个等式约束都可以用两个不等式约束等价地表示，所以标准形
线性规划问题可等价表示为：
minZ=CT X
它的对偶规划为：
maxW=(bT
,-bT
)
Y1 Y2
=bT
(Y1
-Y2
)
A -A
X* = ( 4 , 8)T
2 maxZ=282
3
3
minW=36y1 +40y2 +76y3
3y1 +5y2 +9y3 32 4y1 +4y2 +8y3 30 y1 0,y2 0,y3 0
Y* = ( 7 , 0 , 19 )
2 minW=282
66
3
6
矩阵形式：
maxZ=(32,30)
2y1 +2y3 -y4 4
y2 +y3 +y4 6
y1 0, y2 0, y3 0, y4无约束
16
例3 写出下列线性规划的对偶问题
minZ= 9x1 +6x2 -3x3
2x1 + x2 -4 x3 4
-3x1 -x2 +x3 =-2
2x 1
+2x2 +x3 6
x1, x2 ,x3 0
必要性 YT b YT AX CT X
YT b=YT AX=CT X YT AX=YT b, YT (AX-b)=0 YT AX=CT X, (YT A-CT )X=0
24
例5、已知线性规划问题:
maxZ=4x1 3x2
其对偶问题的最优解。
Y=(1,0,0,0,1), min W 5
试用互补松弛定理找出原问题的最优解。
设备
A B C
每吨产品的加工台时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
可供台时数
36 40 76
利润（元/吨）
32
30
3
设备
A B C 利润（元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
可供台时数
36 40 76
假设计划期内甲乙两种产品各生产 用图解法或单纯形法可求得最优解
吨x，1,x 2
maxZ=32x1 +30x2 3x1 +4x2 36 5x1 +4x2 40
证明：由弱对偶定理，对于原始问题的所有可行解 X ， 都有CT X bT Y=CT X因此 X是原问题的最优解。 同理，对于对偶问题的所有可行解 Y，都有 bT Y=CT X bT Y
所以 Y是对偶问题的最优解。
20
定理3: 强对偶定理 如果原问题（min)与对偶问题(max)之一有最优解， 那么另一个也有最优解，而且目标函数值相等。
个基本可行解。
证明基：Ｂ设必有X 满足原问题(min)的最优性条件，则对应的
CT -CBT B-1A 0 。
若定义
T
Y
=CBT
B-1
，则
T
Y AC
，
因此
T
Y
=CBT
B-1
为对偶问题的基本可行解。
22
原问题与对偶问题可能出现的情况 （1）两者都有最优解，且最优值相等； （2）一个有可行解，但无界，则另一个无可行解； （3）两者都无可行解。
对偶（极大化）问题的最优目标函数值以原问题任一 可行解的目标函数值为上界。
推论1：如果原问题没有下界（即minZ→－∞），则对偶 问题不可行。
如果对偶问题没有上界（即maxW→＋∞），则原问题 不可行。
若原问题与对偶问题之一无界，则另一个无可行解。 19
推论2：最优性定理 若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解，而 且两者的目标函数值相等，即 CT X=bT Y ，则 X 和 Y 分别是原问题和对偶问题的最优解。