线性代数_第一章

i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列 式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题
(1)
a11 行列式 D = a21 an1
a12 a22 an2

a1n a2n 称为方程组(1)的系数行列式 ann
证明:
将方程组（1）改为写如下形式：
需要证明（2）是（1）的唯一解，分两步进行， j =1 首先证明（2）是（1）的解，然后再证明唯一 n i= 性。 2时, a2 j x j = b2 ,即 : a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 j =1 为了证明（2）是（1）的解，只需将（2）代入 n （1）中计算，验证等式左右两边是否相等即 i = n时, anj x j = bn ,即 : an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = bn j =1 可。
|5|=5，|-2|=-2
上三角行列式——对角线以下的元 素全为零（即：当i>j时， ）
下三角行 列式
对角形行 列式
例4：计算n阶行列式

在一个n元排列 j1 jk jl jn中，如果仅 将 jk 与 jl 对调，其他数位置不变，得到 另一个排列 j1 jl jk jn ，这样的变换 称为一个对换。特别地，当l=k+1时称此 对换为邻换。

解：τ(13254) =0 +1+0+0+1+0 =2
如果
，称
为偶排列；否则，称为奇排列。
自然排列123…n是偶排列；
利用奇偶排列的概念，可以将二、 三阶行列式改写为：
1.1.2 n阶行列式的定义
表示，对123…n的所有 排列取和。
例3：计算

对于由一个数组成的行列式，即一阶行列 式，其值就是这个数本身，如：
1 n n 1 n n = aij bk Akj = bk aij Akj D j =1 k =1 D k =1 j =1
1 n = bk ai1 Ak1 + ai1 Ak 2 + + ain Akn D k =1
提示
Dj = a11 a1( j -1) a21 a2( j -1) an1 an ( j -1) b1 b2 bn a1( j +1) a1n a2( j +1) a2 n an ( j +1) ann

推论2 某行（列）元素全为零的行列式， 其值为零。
推论3 若有两行（列）的元素对应成比 例，行列式的值为零。

例1 计算三阶行列式
解：
例2 计算
例3
计算n阶行列式
提示：除主对角线上元素外，其余元素均为2。
例4 证明
§1.3 行列式的展开与计算
例 四阶行列式
例 在4阶行列式
= b1 A1 j + b2 A2 j + + bn Anj = bk Akj
k =1
n
( j = 1,2,, n)
1 n = bk ai1 Ak1 + ai1 Ak 2 + + ain Akn D k =1
1 = [b1 (ai1 A11 + ai 2 A12 + + ain A1n ) + b2 (ai1 A21 + ai 2 A22 + + ain A2 n ) D
得
b1a22 - a12b2 - a12b2 a11b2 - b1a212 - b1a21 b1a22 a b x2 = x2 = 11 x1 = x1 = a12a21 a11a22 -a11a22 - a12a21 a11a22 -a11a22 - a12a21 a12a21
提示: [a11x1+a12x2=b1] a21 a11a21x1+a12a21x2=b1a21
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
则上述三元一次方程的解，当D≠0时， 可表求为：
D3 D1 D2 x2 = x3 = x1 = D D D
其中：
a11 a31 a12 a32 a13 a23 a33
a11x1 + a12 x2 + +a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + +a2n xn = b2 a x + a x + +a x = b nn n n n1 1 n2 2

1）三阶行列式是3！项的代数和； 2）每项是行列式中在不同行不同列的3 个元素的乘积； 3）每项有确定的符号；


1、把自然数1，2，3，…，n的每一 种有确定次序的排列简称为一个n元 排列；如：125634；25413； 2、称123…n为自然排列。
例２：求排列13254； n(n-1)…321的逆序数
线性代数讲义
第一章 行列式 (determinant)
§1.1 n阶行列式的定义
1.1.1 二阶与三阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号。
=
( j1 j2 jn )

(-1) ( j1 jl jm jn )+1 a1 j1 amjm aljl anjn

推论1 有两行（列）相同的行列式，其值为零。 性质3 若行列式某行（列）有公因数k，则k可 提出到行列式符号外，即：
+ + bi -1 (ai1 A(i -1)1 + ai 2 A(i -1) 2 + + ain A(i -1) n )
+ bi (ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain )
+ bi +1 (ai1 A(i +1)1 + ai 2 A(i +1) 2 + + ain A( i +1) n )
(i, j = 1,2,, n)
第二步：证明（2）是（1）的惟一解。
设（1）有解xk=ck (k=1,2,…,n) 因ck 是（1）的解，因此，
即：
即：
D1 x1 = D
D2 x2 = D
同理，考虑三元一次方程：
a11x1+a12x2+a13x3=b1 a x +a x +a x =b 21 1 22 2 23 3 2 a31x1+a32x2+a33x3=b3
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31
row
column
为了简化记录，用ri、cj分别表示行列式的 第 i 行及 j 列，ri rj表示第 i 行与第 j 行交 换，ri÷k表示对第i行提到公因数 k，ri+k·j表 r 示将第 j 行的 k 倍加到 i 行。
例2 计算n阶行列式
提示：除第1列、第1行、主对角线元素外， 其余元素均为零； 这样的行列式称为爪型行列式。
中选取第1，4行，第2，3列 得到一个2阶子式 则M的余子式和代数余子式分别为：
Laplace定理
M1 =
2 1 1 2
=3
M2 =
2 0 1 1
1 0 2 0
=2
M3 =
M7 =
1 0 2 1
1 0 2 0
=1
=0
M4 =
2 0 1 0
=0
M5 =
M9 =
2 0 1 0
0 0 1 0
= 0 M6 =
D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
=0
M8 =
0 0 1 0
=0
= 0 M 10 =
0 0 0 0
=0
但不为零的2阶子式，只有3 个，即：M1，M2，M3，对应 的代数余子式分别为：
M1 =
2 1 1 2
=3
M2 =
2 0 1 1
=2
M3 =
1 0 2 1
=1
根据Laplace定理，得：
Hale Waihona Puke 注意：在做行列计算时，应根据行列式的特点， 利用行列式的性质，将其化简，然后再进 行计算。
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 a33
D = a21 a22
a11
b1
a13 a23 a33
a11 a31
a12 a32
b1 b2 b3
D2 = a21 b2 a31 b3
D3 = a21 a22
例1：解三元一次方程组
解: 因
D=
观察上面三阶行列，有如下特点：

定理1 一次对换改变排列的奇偶性。
推论1 任何一个n元排列都可通过对 换成自然排列，且所需对换次数与该 排列的奇偶性相同。
例5 计算四阶行列式
解：
§1.2 行列式的性质
把行列式
的行与列互换，不改变它们前后的顺序得到新的行列式
称为D的转置行列式，显然D也是DT的转置。
性质1 行列式与它的转置相等，即： D=DT 。
+ + bn (ai1 An1 + ai 2 An 2 + + ain Ann )]
0, i j 因此，在D≠0时，（2）是方程（1）的解。即（1）有解。
k =1
1 (i = 1,2,, n) = b 提示 i Dn = bi D aik A jk = ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + + ain A jn = D, i = j
提示: [a11x1+a12x2=b1] a22 a11a22x1+a12a22x2=b1a22 [a21x1+a22x2=b2] a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
[a21x1+a22x2=b2] a11a11a21x1+a11a22x2=a11b2
(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21
我们用符号
a11 a12 表示代数和a11a22-a12a21 a21 a22
上式表示的数，称为二阶行列式；为了 便于记忆，可以看成
D=