第20讲 直角三角形

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC， CD的中点，连 结BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
11．(2018·预测)如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交 于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，求△CDE周长的最小值． 【解析】作点C关于y轴的对称点C1(－1， 0)， 点C关于AB的对称点C2， 连结 C1C2交OA于点E， 交AB于点D， 则此时△CDE的周长最小， 且最小值等于 C1C2的长．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中 点，CD＝DE＝a，求AB的长．
25
【解析】易知AB＝BC＝10，四边形BDEF为正方形，∴EF＝DE＝AF＝DC， ∴ 正方形的周长为AB＋BC＝20， ∴正方形边长为5， ∴S正方形EFBD＝5×5＝25.
6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a， 将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，求FP的长．
解：(1)展开侧面，如图.
14．如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离 AC＝1 km， B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上． (1)求出A，B两村之间的距离； (2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村 的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．(保留清晰的作图痕迹，并简 要写明作法)
12．一住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝3米B，BC＝4米，CD＝12 米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是( ) A．24平方米 B．36平方米 C．48平方米 D．72平方米
13．如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm. (1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细 线最短的长度需要多少厘米？ (2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短的长度 需要多少厘米？
第20讲 直角三角形
数学
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2．(2017·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一 幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，求正方形EFGH的边长．
3．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端 位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 解：在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°， BC＝0.7米， AC＝2.4米， ∴AB2＝ 0.72＋2.42＝6.25.在Rt△A′BD中， ∵∠A′DB＝90°， A′D＝2米， BD2＋ A′D2＝A′B2， ∴BD2＋22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米， ∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2米
C
解：连结CD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB ＝2BC＝8.∵作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜 边AB的中线， ∴BD＝AD＝4，∴BF＝DF＝2，∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6
3．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互 平行的三条直线l1， l2， l3上， 且l1， l2之间的距离为2,l2， l3之间的距离为3 ， 求AC的长． 【解析】分别过点A， C作AF⊥l3, CE⊥l3， 构造一对全等的三角形．