浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题
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7．C
【分析】
由分布列可知，随机变量 服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【详解】
由题意可知，随机变量 满足二项分布，即 ，易得 ，所以当 且不断增大Байду номын сангаас， 增大， 先增大后减小.故选C.
【点睛】
本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.
2．A
【分析】
根据点到直线的距离公式列方程可得 ，再根据离心率公式以及 可解得结果.
【详解】
取双曲线的右顶点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
所以离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的顶点、渐近线、离心率，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
3．A
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形求出 的最小值.
浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知R为实数集，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 的顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（）
故选：B.
【点睛】
本题考查分步乘法计数原理与排列（限制条件的插空法），是中档题.
9．D
【分析】
作出二面角 的平面角 ,根据最小角定理，判断出正确选项.
【详解】
将该三视图还原之后，可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱
其中底面等腰梯形的面积为 ，高
所以四棱柱的体积
故选：A
【点睛】
本题考查立体几何中三视图还原求体积问题，属于中档题.
5．A
【分析】
将 两边平方可以推出 ；当 时，取 ，不能推出 .
【详解】
当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时，取 ，此时 ，
（Ⅱ）当 时， 的最大值为 ，求 的对称中心．
19．在正三棱台 中， ，BC的中点为E， ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求 与面 所成角的正弦值．
20．已知数列 是等差数列， ， 的前 项和为 ，满足 ， 是数列 的前 项和，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 前 项的和 ．
三、填空题
15．已知点 ， 是椭圆 两个不同的动点，且满足 ，则 的值是_____．
16．设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，则实数b的取值范围为______．
17． 是边长为6的正三角形，点C满足 ，且 ， ， ，则 的取值范围是__________．
四、解答题
18．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间．
A． B．2C． D．
3．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A．-4B．-2C．0D．2
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．162B．126C．144D．108+36
5．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．B
【分析】
先排甲、乙、戊、己，共 种，又因为甲排在乙前面，故有 种，第二步在将丙与丁插空（不插最后一空位），即可求得.
【详解】
第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有 种.
A．72种B．144种C．360种D．720种
9．如图，矩形 中心为 ，现将 沿着对角线 翻折成 ，记 ，二面角 的平面角为 ，直线 和 所成角为 ，则（）
A． B．
C． D．
10．设常数 ，无穷数列 满足 ， ，若存在常数 ，使得对于任意 ，不等式 恒成立，则 的最大值为（）
A．1B． C． D．
6．函数 的部分图像大致为（）
A． B．
C． D．
7．已知随机变量 满足下列分布列，当 且不断增大时，（）
0
1
2
A． 增大， 增大
B． 减小， 减小
C． 增大， 先增大后减小
D． 增大， 先减小后增大
8．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）
二、双空题
11．已知i是虚数单位，若 ，则复数z的虚部为__________， __________．
12．直线 过定点_____，若直线l与直线 平行，则 ___．
13．在二项式 的展开式中倒数第3项的系数为45，则 __________；含有 的项的系数为______．
14．在 中，内角 的对边分别为 且 ，则角 的大小为____；若 ， ，则 的面积 ______．
【详解】
做出满足 的可行域，如下图所示，
根据图象，当目标函数 过 时，
取得最小值为 .
故答案为:A.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.
4．A
【分析】
将该三视图还原之后，可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱，分别求得底面等腰梯形的面积和该立体图形的高，利用柱体体积运算公式求得答案.
22．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，若函数 存在零点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 恒成立，求 的最小值.
参考答案
1．D
【分析】
先求得集合 或 ，再结合集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ， ，
则 或 ，所以 或 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件的概念，属于基础题.
6．C
【分析】
由函数的奇偶性及特殊值代入即排除错误选项,得出结果.
【详解】
，
为奇函数,排除选项D,
因为 ,排除选项A, ,排除选项B,
故选:C.
【点睛】
本题考查已知函数解析式判断函数图象问题,考查函数性质,及特殊值代入的排除法,属于基础题.
21．
已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐标为 时， 为正三角形.
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
（ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
【分析】
由分布列可知，随机变量 服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【详解】
由题意可知，随机变量 满足二项分布，即 ，易得 ，所以当 且不断增大Байду номын сангаас， 增大， 先增大后减小.故选C.
【点睛】
本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.
2．A
【分析】
根据点到直线的距离公式列方程可得 ，再根据离心率公式以及 可解得结果.
【详解】
取双曲线的右顶点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
所以离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的顶点、渐近线、离心率，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
3．A
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形求出 的最小值.
浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知R为实数集，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 的顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（）
故选：B.
【点睛】
本题考查分步乘法计数原理与排列（限制条件的插空法），是中档题.
9．D
【分析】
作出二面角 的平面角 ,根据最小角定理，判断出正确选项.
【详解】
将该三视图还原之后，可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱
其中底面等腰梯形的面积为 ，高
所以四棱柱的体积
故选：A
【点睛】
本题考查立体几何中三视图还原求体积问题，属于中档题.
5．A
【分析】
将 两边平方可以推出 ；当 时，取 ，不能推出 .
【详解】
当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时，取 ，此时 ，
（Ⅱ）当 时， 的最大值为 ，求 的对称中心．
19．在正三棱台 中， ，BC的中点为E， ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求 与面 所成角的正弦值．
20．已知数列 是等差数列， ， 的前 项和为 ，满足 ， 是数列 的前 项和，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 前 项的和 ．
三、填空题
15．已知点 ， 是椭圆 两个不同的动点，且满足 ，则 的值是_____．
16．设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，则实数b的取值范围为______．
17． 是边长为6的正三角形，点C满足 ，且 ， ， ，则 的取值范围是__________．
四、解答题
18．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间．
A． B．2C． D．
3．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A．-4B．-2C．0D．2
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．162B．126C．144D．108+36
5．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．B
【分析】
先排甲、乙、戊、己，共 种，又因为甲排在乙前面，故有 种，第二步在将丙与丁插空（不插最后一空位），即可求得.
【详解】
第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有 种.
A．72种B．144种C．360种D．720种
9．如图，矩形 中心为 ，现将 沿着对角线 翻折成 ，记 ，二面角 的平面角为 ，直线 和 所成角为 ，则（）
A． B．
C． D．
10．设常数 ，无穷数列 满足 ， ，若存在常数 ，使得对于任意 ，不等式 恒成立，则 的最大值为（）
A．1B． C． D．
6．函数 的部分图像大致为（）
A． B．
C． D．
7．已知随机变量 满足下列分布列，当 且不断增大时，（）
0
1
2
A． 增大， 增大
B． 减小， 减小
C． 增大， 先增大后减小
D． 增大， 先减小后增大
8．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）
二、双空题
11．已知i是虚数单位，若 ，则复数z的虚部为__________， __________．
12．直线 过定点_____，若直线l与直线 平行，则 ___．
13．在二项式 的展开式中倒数第3项的系数为45，则 __________；含有 的项的系数为______．
14．在 中，内角 的对边分别为 且 ，则角 的大小为____；若 ， ，则 的面积 ______．
【详解】
做出满足 的可行域，如下图所示，
根据图象，当目标函数 过 时，
取得最小值为 .
故答案为:A.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.
4．A
【分析】
将该三视图还原之后，可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱，分别求得底面等腰梯形的面积和该立体图形的高，利用柱体体积运算公式求得答案.
22．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，若函数 存在零点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 恒成立，求 的最小值.
参考答案
1．D
【分析】
先求得集合 或 ，再结合集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ， ，
则 或 ，所以 或 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件的概念，属于基础题.
6．C
【分析】
由函数的奇偶性及特殊值代入即排除错误选项,得出结果.
【详解】
，
为奇函数,排除选项D,
因为 ,排除选项A, ,排除选项B,
故选:C.
【点睛】
本题考查已知函数解析式判断函数图象问题,考查函数性质,及特殊值代入的排除法,属于基础题.
21．
已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐标为 时， 为正三角形.
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
（ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.